Équations du premier degré

Tester une solution • résoudre une équation du type \(ax+b=0\) • mise en équation • résolution de problèmes (programme de 4e).

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Fiche méthode — Équations du premier degré
Réflexes • méthodes rapides • pièges classiques • rédaction propre (niveau 4e)
Ultra-synthèse Méthodes Pièges
1) Définitions express
  • Équation : égalité contenant une inconnue (souvent \(x\)).
  • Solution : valeur de \(x\) qui rend l’égalité vraie.
  • Résoudre : trouver toutes les solutions (souvent une seule en 4e).
Réflexe : une solution se teste toujours en remplaçant \(x\).
2) Tester une solution
Checklist en 3 lignes :
  1. Remplacer \(x\) par la valeur proposée
  2. Calculer le membre de gauche et le membre de droite
  3. Comparer : si c’est égal → c’est une solution
Exemple : tester \(x=4\) dans \(2x+1=9\).
\(2\times 4+1=9\) ✔ donc \(x=4\) est solution.
Piège : si tu oublies les parenthèses en remplaçant, tu peux conclure faux.
3) Résoudre \(ax+b=0\)

Forme la plus fréquente en 4e : \[ ax+b=0 \quad \text{avec } a\neq 0 \]

Recette :
  1. Isoler le terme en \(x\) : \(ax=-b\)
  2. Diviser par \(a\) : \(x=\dfrac{-b}{a}\)
Exemple : \(3x-6=0\)
\(3x=6\) puis \(x=2\).
Piège : on divise par le coefficient de \(x\) (le \(a\)), pas par \(b\).
4) Quand il y a \(x\) des deux côtés
Objectif : mettre tous les \(x\) d’un côté et tous les nombres de l’autre.
  1. Soustraire (ou ajouter) le même terme aux deux membres
  2. Réduire
  3. Diviser pour isoler \(x\)
Exemple : \(5x+2=3x+10\)
\(5x-3x=10-2\)
\(2x=8\)
\(x=4\).
Piège : déplacer un terme = faire la même opération des deux côtés (pas “changer au hasard”).
5) Les 5 règles d’or
  • Même opération des deux côtés (ajouter, soustraire, multiplier, diviser).
  • Écrire une étape par ligne pour éviter les erreurs.
  • Réduire (regrouper les termes semblables) avant de conclure.
  • Diviser en dernier, une fois \(ax=c\) obtenu.
  • Vérifier la solution dans l’équation de départ.
6) Mise en équation : la méthode qui marche
Plan en 4 étapes :
  1. Choisir l’inconnue : “Soit \(x\) …”
  2. Traduire le texte en égalité
  3. Résoudre
  4. Répondre avec une phrase + unité si besoin
Exemple : “Un nombre augmenté de 7 vaut 25.”
Soit \(x\) ce nombre. \(x+7=25\). Donc \(x=18\).
Piège : ne pas confondre “augmenté de 7” (\(+7\)) et “multiplié par 7” (\(\times 7\)).
7) Anti-pièges (à relire avant un contrôle)
  • Parenthèses : si tu remplaces \(x\) par \(-3\), tu écris \(2(-3)+5\).
  • Signe “-” : \(x-5=12\) → tu ajoutes 5 aux deux côtés → \(x=17\).
  • Division : \( -4x = 20 \Rightarrow x = 20/(-4) = -5\).
  • Rédaction : une ligne = une opération (évite les sauts).
  • Vérification : tu dois retrouver une égalité vraie.
Résumé flash
  • Tester : remplacer \(x\) et comparer les deux membres.
  • Résoudre : isoler \(x\) avec les mêmes opérations des deux côtés.
  • \(ax+b=0 \Rightarrow ax=-b \Rightarrow x=\dfrac{-b}{a}\).
  • Si \(x\) des deux côtés : regrouper les \(x\) ensemble.
  • Mise en équation : choisir \(x\), traduire, résoudre, répondre.
  • Toujours vérifier la solution.