Fiche ultra-synthèse — Divisibilité & nombres premiers
Critères • facteurs premiers • simplification de fractions • problèmes (4e).
Checklist express (à savoir faire)
- Tester rapidement la divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11.
- Reconnaître un nombre premier / décomposer un entier en facteurs premiers.
- Utiliser la décomposition pour simplifier une fraction (rendre irréductible).
- Trouver un PGCD (méthode Euclide ou facteurs premiers) pour simplifier.
- Résoudre des problèmes “partage” (PGCD) et “périodes / cycles” (PPCM).
1) Divisibilité — l’essentiel
Définition
On dit que \(a\) divise \(b\) si \(b = a\times k\) avec \(k\) entier.
On note alors : \(a\mid b\).
✅ « divisible par \(a\) » signifie : le quotient est un entier (reste nul).
Critères rapides (les incontournables)
- Par 2 : chiffre des unités pair (0, 2, 4, 6, 8).
- Par 5 : se termine par 0 ou 5.
- Par 10 : se termine par 0.
- Par 4 : les deux derniers chiffres forment un multiple de 4.
- Par 3 : somme des chiffres multiple de 3.
- Par 9 : somme des chiffres multiple de 9.
- Par 11 : (somme des chiffres de rangs impairs) − (somme des chiffres de rangs pairs) est multiple de 11 (ou 0).
⚠️ Piège : divisible par 3 (ou 9) ⇔ on utilise la somme des chiffres, pas les derniers chiffres.
Mini-exemples
- \(7\,236\) divisible par 2 (6 pair) et par 3 car \(7+2+3+6=18\).
- \(3\,124\) divisible par 4 car \(24\) est multiple de 4.
- \(8\,965\) divisible par 5 (se termine par 5) mais pas par 2.
2) Nombres premiers
Définition
Un entier \(p \ge 2\) est premier s’il n’a que deux diviseurs : \(1\) et \(p\).
✅ \(2\) est le seul nombre premier pair.
Tester si un nombre est premier (méthode 4e)
- On teste la divisibilité par les nombres premiers \(2,3,5,7,11,\dots\)
- On s’arrête dès que le diviseur testé dépasse \(\sqrt{n}\).
Pourquoi \(\sqrt{n}\) ? Si \(n=a\times b\), alors l’un des deux facteurs est \(\le \sqrt{n}\).
Exemple rapide
\(91\) : pas divisible par 2, 3, 5 ; divisible par 7 car \(91=7\times13\). Donc \(91\) n’est pas premier.
3) Décomposition en facteurs premiers
Principe
Tout entier \(n \ge 2\) peut s’écrire comme un produit de nombres premiers (décomposition unique à l’ordre près).
Méthode : on divise successivement par \(2\), puis \(3\), puis \(5\), etc.
Exemple
\[
360 = 2\times180 = 2^2\times90 = 2^3\times45 = 2^3\times3^2\times5
\]
On regroupe les mêmes facteurs : \(2^3\times3^2\times5\).
4) PGCD & PPCM — ultra utile
PGCD (partages / simplifier)
- Le PGCD de \(a\) et \(b\) est le plus grand entier qui divise \(a\) et \(b\).
- Usage : partager en parts égales maximales, ou simplifier une fraction.
Méthode Euclide :
\[
\text{PGCD}(a;b)=\text{PGCD}(b; r)\quad \text{si } a=bq+r
\]
PPCM (cycles / rendez-vous)
- Le PPCM de \(a\) et \(b\) est le plus petit multiple commun non nul.
- Usage : périodes (clignotants, bus, tours, etc.).
Relation pratique
\[
a\times b = \text{PGCD}(a;b)\times \text{PPCM}(a;b)
\]
Très utile pour retrouver un PPCM quand on connaît le PGCD (ou inversement).
5) Simplifier une fraction (irréductible)
Méthode sûre
- Trouver \(d=\text{PGCD}(a;b)\).
- Diviser numérateur et dénominateur par \(d\).
\[
\frac{a}{b}=\frac{a\div d}{b\div d}
\]
Exemple
\[
\frac{84}{126} \quad,\quad \text{PGCD}(84;126)=42
\Rightarrow \frac{84}{126}=\frac{2}{3}
\]
Vérification : \(84=2\times42\), \(126=3\times42\).
Pièges fréquents
- Diviser numérateur et dénominateur par deux nombres différents (interdit).
- Oublier de simplifier par un facteur commun “caché” (ex : 12, 15, 21…).
- Confondre “multiple” et “diviseur”.
6) Méthodes problèmes (très utile en contrôle)
a) Problèmes de partage → PGCD
Mot-clés : “répartir”, “même nombre”, “le plus possible”, “sans reste”.
Exemple-type : “On a \(48\) bonbons et \(60\) chocolats. Faire des sachets identiques max.”
→ réponse = \(\text{PGCD}(48;60)=12\) sachets.
b) Problèmes de cycles → PPCM
Mot-clés : “toutes les … minutes”, “se retrouvent”, “en même temps”.
Exemple-type : “Un bus passe toutes les 12 min, un autre toutes les 18 min.
Quand repassent-ils ensemble ?” → réponse = \(\text{PPCM}(12;18)=36\) minutes.
✅ Mémo ultra-court
- Divisibilité : critères (2,3,4,5,9,10,11) = réflexes.
- Nombres premiers : tester jusqu’à \(\sqrt{n}\) avec 2,3,5,7,11…
- Décomposer en facteurs premiers = base pour simplifier et raisonner.
- PGCD → partages / simplifications ; PPCM → cycles / simultanéité.