Divisibilité et nombres premiers

Critères de divisibilité • nombres premiers • décomposition en facteurs premiers • simplification de fractions • problèmes (programme de 4e).

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Cours premium — Divisibilité et nombres premiers
Critères • facteurs premiers • PGCD/PPCM (bases) • simplification de fractions • problèmes.
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Objectifs
  • Utiliser les critères de divisibilité (2, 3, 5, 9, 10, 4, 8, 11).
  • Comprendre la notion de nombre premier et de diviseur.
  • Décomposer un entier en produit de facteurs premiers.
  • Simplifier une fraction en utilisant le PGCD et/ou la décomposition.
  • Résoudre des problèmes (partages, regroupements, cycles) avec méthode.
1) Diviseur, multiple, divisibilité
On dit que \(a\) divise \(b\) (ou \(b\) est multiple de \(a\)) si \[ b = a\times k \quad\text{avec } k \in \mathbb{N}. \] On note : \(a\mid b\).
Exemples
  • \(3\mid 21\) car \(21 = 3\times 7\).
  • \(8\nmid 30\) car il n’existe pas d’entier \(k\) tel que \(30=8k\).
  • Tout entier \(n\) vérifie : \(1\mid n\) et \(n\mid n\).
Piège classique
« \(a\) divise \(b\) » ne veut pas dire « \(a
2) Critères de divisibilité (outils rapides)
Ces critères te permettent de tester vite sans poser de division.
Les indispensables
  • Par 2 : le chiffre des unités est \(0,2,4,6,8\).
  • Par 5 : le chiffre des unités est \(0\) ou \(5\).
  • Par 10 : le chiffre des unités est \(0\).
  • Par 3 : la somme des chiffres est multiple de 3.
  • Par 9 : la somme des chiffres est multiple de 9.
Aller plus loin (très utile)
  • Par 4 : les deux derniers chiffres forment un multiple de 4.
  • Par 8 : les trois derniers chiffres forment un multiple de 8.
  • Par 11 : la différence entre la somme des chiffres de rangs alternés est multiple de 11 (ou 0).
Pour 11 : si le nombre est \(a_1a_2a_3\ldots\), on fait \((a_1+a_3+a_5+\cdots)-(a_2+a_4+a_6+\cdots)\).
Exemples
  • \(7\,236\) est divisible par 2 (unité 6) et par 3 car \(7+2+3+6=18\) multiple de 3.
  • \(3\,124\) est divisible par 4 car \(24\) est multiple de 4.
  • \(51\,208\) est divisible par 8 car \(208\) est multiple de 8.
  • \(4\,872\) est divisible par 9 car \(4+8+7+2=21\) n’est pas multiple de 9 (donc non).
Piège à éviter
« divisible par 3 » ne dépend pas du dernier chiffre mais de la somme des chiffres.
3) Nombres premiers
Un nombre premier est un entier naturel \(\ge 2\) qui a exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.
Exemples
  • \(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\ldots\) sont premiers.
  • \(1\) n’est pas premier (il n’a qu’un seul diviseur).
  • \(0\) n’est pas premier.
Comment tester si \(n\) est premier ? (méthode 4e)
  • On cherche un diviseur \(d\) entre 2 et \(\sqrt{n}\).
  • En pratique en 4e : tester \(2,3,5,7,11,\ldots\) tant que \(d^2 \le n\).
Si aucun diviseur n’est trouvé, alors \(n\) est premier.
Exemple : \(97\) est-il premier ?
On teste \(2\) (non), \(3\) (car \(9+7=16\), non), \(5\) (non), \(7\) (97 n’est pas multiple de 7), \(11\) (car \(11^2=121>97\)). Aucun diviseur trouvé ⇒ \(97\) est premier.
4) Décomposition en facteurs premiers
Décomposer un entier \(n\), c’est l’écrire comme un produit de nombres premiers. Exemple : \(60 = 2^2\times 3\times 5\).
Méthode (arbre ou divisions successives)
  1. On divise par le plus petit nombre premier possible : \(2\), puis \(3\), puis \(5\), etc.
  2. On continue jusqu’à obtenir 1.
  3. On regroupe les mêmes facteurs : puissances.
Exemple : décomposer \(360\)
\[ 360 = 2\times 180 = 2^2\times 90 = 2^3\times 45 = 2^3\times 3\times 15 = 2^3\times 3^2\times 5 \]
Donc \(\boxed{360 = 2^3\times 3^2\times 5}\).
Pourquoi c’est puissant ?
  • Pour simplifier des fractions.
  • Pour trouver rapidement PGCD et PPCM.
  • Pour résoudre des problèmes de partage/regroupement.
5) PGCD et PPCM (bases) + applications
Le PGCD de \(a\) et \(b\) est le plus grand entier qui divise \(a\) et \(b\). Le PPCM est le plus petit multiple commun.
Avec les facteurs premiers
  • PGCD : on garde les facteurs communs avec le plus petit exposant.
  • PPCM : on prend tous les facteurs avec le plus grand exposant.
Exemple : \(a=84\) et \(b=210\)
\[ 84 = 2^2\times 3\times 7 \qquad 210 = 2\times 3\times 5\times 7 \]
PGCD : facteurs communs \(2^1\times 3^1\times 7^1 = 42\).
PPCM : \(2^2\times 3\times 5\times 7 = 420\).
Donc \(\boxed{\mathrm{PGCD}(84,210)=42}\) et \(\boxed{\mathrm{PPCM}(84,210)=420}\).
À retenir
  • PGCD → partage (faire des paquets identiques, sans reste).
  • PPCM → synchronisation (événements qui se répètent, cycles, rendez-vous).
6) Simplifier une fraction
Simplifier \(\dfrac{a}{b}\), c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même diviseur (\(\neq 0\)). La méthode la plus sûre : diviser par le PGCD.
Méthode rapide
  1. Trouver \(d=\mathrm{PGCD}(a,b)\).
  2. Écrire \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div d}{b\div d}\).
  3. Vérifier que la fraction est irréductible.
Exemple : \(\dfrac{126}{198}\)
On peut déjà voir que \(126\) et \(198\) sont divisibles par 9 (car \(1+2+6=9\) et \(1+9+8=18\)).
\[ \frac{126}{198}=\frac{126\div 9}{198\div 9}=\frac{14}{22}=\frac{7}{11} \]
Donc \(\boxed{\dfrac{126}{198}=\dfrac{7}{11}}\).
Piège
On ne simplifie pas « en supprimant » des chiffres : \(\dfrac{16}{64}\neq\dfrac{1}{4}\) parce qu’on “enlève les 6”. (Même si ici, par hasard, le résultat est \(\dfrac{1}{4}\) après vraie simplification.)
7) Problèmes — méthodes types
a) Problème de partage (PGCD)
On a \(84\) bonbons et \(210\) chocolats. On veut faire des sachets identiques avec tout utiliser. Combien de sachets au maximum ? Que contient chaque sachet ?
Correction (méthode)
Le nombre de sachets max = \(\mathrm{PGCD}(84,210)=42\).
  • Bonbons par sachet : \(84\div 42 = 2\).
  • Chocolats par sachet : \(210\div 42 = 5\).
Donc \(\boxed{42\text{ sachets, chacun avec }2\text{ bonbons et }5\text{ chocolats.}}\)
b) Problème de synchronisation (PPCM)
Deux voyants clignotent : le premier toutes les \(12\) s, le second toutes les \(18\) s. Ils clignotent en même temps à \(t=0\). Quand reclignoteront-ils ensemble ?
Correction (méthode)
Ils reclignotent ensemble toutes les \(\mathrm{PPCM}(12,18)\) secondes.
\[ 12=2^2\times3,\qquad 18=2\times3^2 \Rightarrow \mathrm{PPCM}=2^2\times3^2=36 \]
Donc \(\boxed{36\ \text{s}}\).
Checklist : erreurs classiques
Divisibilité
  • Confondre « divisible par 4 » (2 derniers chiffres) avec « divisible par 8 » (3 derniers chiffres).
  • Oublier : pour 3 et 9, c’est la somme des chiffres.
Nombres premiers / décomposition
  • Penser que \(1\) est premier (faux).
  • Arrêter trop tôt la recherche de diviseurs (penser à \(d^2 \le n\)).
  • Oublier de regrouper les mêmes facteurs en puissances.
Fractions
  • Simplifier en « supprimant des chiffres » (interdit).
  • Ne pas utiliser le PGCD : la simplification devient longue et source d’erreurs.
À retenir
  • Divisibilité : critères = réflexes (2,3,5,9,10,4,8,11).
  • Nombre premier : seulement \(1\) et lui-même comme diviseurs (et \(1\) n’est pas premier).
  • Décomposition : produit de facteurs premiers (très utile pour PGCD/PPCM et fractions).
  • PGCD → partage ; PPCM → synchronisation.
  • Simplifier une fraction : diviser numérateur et dénominateur par le PGCD.