Fiche ultra-synthèse — Calcul avec rationnels
Relatifs • fractions • inverses • priorités opératoires • exact/approché.
Checklist express (à savoir faire)
- Comparer des relatifs (et surtout deux négatifs).
- Transformer \(a-b\) en \(a+(-b)\).
- Appliquer la règle des signes en \(\times\) / \(\div\).
- Simplifier une fraction (et rendre irréductible).
- Mettre au même dénominateur pour additionner/soustraire.
- Diviser par une fraction = multiplier par son inverse.
- Respecter les priorités opératoires.
- Garder l’exact tant que possible, arrondir à la fin.
1) Relatifs — l’essentiel
Opposé & valeur absolue
- Opposé de \(a\) : \(-a\). Exemple : opposé de \(-7\) = \(7\).
- \(|a|\) = distance à 0. Exemple : \(|-5|=5\).
- \(a + (-a) = 0\).
Comparer
- Tout positif \(>\) tout négatif.
- Entre deux négatifs : le plus proche de 0 est le plus grand. Exemple : \(-2 > -9\).
2) Addition / soustraction de relatifs
Addition
- Même signe : on additionne les valeurs absolues, on garde le signe.
- Signes différents : on soustrait les valeurs absolues, on garde le signe du plus grand en valeur absolue.
Soustraction
\[
a - b = a + (-b)
\]
Exemple : \(5 - (-2) = 5 + 2 = 7\).
Mini-exemples
- \(-6 + (-4) = -10\)
- \(-7 + 3 = -4\)
- \(9 + (-12) = -3\)
- \(-2 - 5 = -7\)
3) Multiplication / division — règle des signes
Signe du résultat
- \((+)\times(+)=(+)\)
- \((+)\times(-)=(-)\)
- \((-)\times(+) = (-)\)
- \((-)\times(-) = (+)\)
- Même règle pour la division.
Exemples
- \((-3)\times 5 = -15\)
- \((-4)\times(-2)=8\)
- \(18 \div (-6) = -3\)
4) Fractions — bases
Définition & interdits
- \(\dfrac{a}{b}\) avec \(b \neq 0\).
- Le signe peut être au numérateur ou au dénominateur : \(\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}\).
Simplifier
Diviser numérateur et dénominateur par un même nombre non nul :
\[
\frac{18}{24}=\frac{18\div6}{24\div6}=\frac{3}{4}
\]
5) Calculs avec fractions — formules
Addition / soustraction
Même dénominateur :
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}
\]
Dénominateurs différents (méthode sûre) :
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}
\]
Multiplication / division
\[
\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}
\]
\[
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\quad (c\neq0)
\]
Exemples rapides
- \(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{6}\)
- \(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{8}\)
- \(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{10}=\dfrac{3}{5}\)
- \(\dfrac{5}{6}\div\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{4}\)
6) Inverse — à connaître
- L’inverse de \(a\neq0\) est \(\dfrac{1}{a}\).
- \(a\times\dfrac{1}{a}=1\).
- \(0\) n’a pas d’inverse.
- Inverse de \(\dfrac{a}{b}\) (avec \(a\neq0\)) : \(\dfrac{b}{a}\).
7) Priorités opératoires
- Parenthèses
- × et ÷ (de gauche à droite)
- + et − (de gauche à droite)
Piège classique
\[
6 - 2\times 5 = 6 - 10 = -4
\qquad\text{mais}\qquad
(6-2)\times 5 = 20
\]
8) Exact vs approché
- Exact : fraction, écriture exacte (ex : \(\dfrac{7}{3}\)).
- Approché : décimal arrondi (ex : \(\dfrac{7}{3}\approx 2{,}33\) au centième).
- On arrondit à la fin (sauf consigne).
Pièges à éviter (très fréquent)
Relatifs
- Oublier : \(a-b=a+(-b)\).
- Erreur de signe en \(\times\) / \(\div\).
- Comparer deux négatifs à l’envers.
Fractions
- Ajouter les dénominateurs (interdit).
- Ne pas mettre au même dénominateur.
- Oublier l’inverse pour la division.
- Arrondir trop tôt.
✅ Résumé ultra-court
Signes fiables + fractions bien gérées + priorités opératoires = calculs justes.
En contrôle, fais d’abord l’exact, puis l’arrondi si demandé.