Calcul avec rationnels (relatifs + fractions)

Relatifs • fractions • inverses • priorités opératoires • calcul exact et approché (programme de 4e).

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Cours premium — Calcul avec rationnels
Relatifs • fractions • inverses • priorités opératoires • calcul exact et approché.
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Objectifs
  • Comparer, additionner et multiplier des nombres relatifs.
  • Manipuler les fractions : simplifier, rendre irréductible, calculer.
  • Comprendre et utiliser l’inverse d’un nombre (et sa condition d’existence).
  • Appliquer correctement les priorités opératoires (parenthèses, × ÷, + −).
  • Distinguer calcul exact et valeur approchée.
1) Nombres relatifs : sens, opposé, comparaison
Un nombre relatif est un nombre positif, négatif ou nul (ex : \(-3\), \(+5\), \(0\)). On note souvent \(+5\) simplement \(5\).
Opposé
L’opposé de \(a\) est \(-a\).
Exemple : l’opposé de \(-7\) est \(7\), l’opposé de \(4\) est \(-4\).
Propriété : \(a + (-a) = 0\).
Comparer
Sur une droite graduée : plus on va à droite, plus c’est grand.
Règles rapides :
  • Tout nombre positif est > à tout nombre négatif.
  • Entre deux négatifs, le plus proche de 0 est le plus grand : \(-2 > -5\).
Exemples
  • \(-3 < 2\)
  • \(-1 > -4\)
  • \(0\) est entre les négatifs et les positifs.
2) Addition et soustraction de relatifs
Addition
  • Même signe : on additionne les valeurs absolues et on garde le signe.
  • Signes différents : on soustrait les valeurs absolues et on garde le signe du plus grand en valeur absolue.
Valeur absolue : \(|-7| = 7\), \(|3| = 3\).
Soustraction
Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé :
\[ a - b = a + (-b) \]
Exemple : \(5 - (-2) = 5 + 2 = 7\).
Exemples guidés
  • \(-6 + (-4) = -(6+4) = -10\)
  • \(-7 + 3 = -(7-3) = -4\)
  • \(9 + (-12) = -(12-9) = -3\)
  • \(-2 - 5 = -2 + (-5) = -7\)
  • \(4 - (-9) = 4 + 9 = 13\)
3) Multiplication et division : règle des signes
Pour \(\times\) et \(\div\), le signe dépend du nombre de facteurs négatifs.
Multiplication
  • \((+)\times(+) = (+)\)
  • \((+)\times(-) = (-)\)
  • \((-)\times(+) = (-)\)
  • \((-)\times(-) = (+)\)
Division
Même règle que la multiplication :
  • \((+)\div(+) = (+)\)
  • \((+)\div(-) = (-)\)
  • \((-)\div(+) = (-)\)
  • \((-)\div(-) = (+)\)
Exemples
  • \((-3)\times 5 = -15\)
  • \((-4)\times(-2)=8\)
  • \(18 \div (-6) = -3\)
  • \((-21)\div(-7)=3\)
4) Fractions : écriture, simplification, égalités
Une fraction s’écrit \(\dfrac{a}{b}\) avec \(b \neq 0\). Le nombre \(a\) est le numérateur, \(b\) le dénominateur.
Simplifier une fraction
On divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
Exemple : \[ \frac{18}{24} = \frac{18\div 6}{24\div 6} = \frac{3}{4} \]
Une fraction est irréductible si on ne peut plus la simplifier.
Signe d’une fraction
\[ \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b} \qquad\text{et}\qquad \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b} \]
Exemple : \(\dfrac{-3}{5} = -\dfrac{3}{5}\).
5) Calculs avec fractions
Addition / soustraction
Même dénominateur → on additionne les numérateurs : \[ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \]
Dénominateurs différents → on met au même dénominateur : \[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \]
Multiplication / division
\[ \frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \]
Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse : \[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\quad (c\neq 0) \]
Exemples
  • \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{7}{6}\)
  • \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}\)
  • \(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{10} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}\)
  • \(\dfrac{5}{6}\div\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}\)
6) Inverse : définition et pièges
L’inverse d’un nombre non nul \(a\) est le nombre \(\dfrac{1}{a}\) tel que \[ a \times \frac{1}{a} = 1 \]
Points clés
  • \(0\) n’a pas d’inverse (car on ne peut pas diviser par 0).
  • L’inverse de \(\dfrac{a}{b}\) (avec \(a\neq 0\)) est \(\dfrac{b}{a}\).
  • Attention aux signes : inverse de \(-\dfrac{3}{5}\) = \(-\dfrac{5}{3}\).
Exemples
  • Inverse de \(4\) : \(\dfrac{1}{4}\)
  • Inverse de \(-2\) : \(-\dfrac{1}{2}\)
  • Inverse de \(\dfrac{7}{3}\) : \(\dfrac{3}{7}\)
7) Priorités opératoires
Pour calculer une expression, on respecte l’ordre :
  1. Parenthèses (de l’intérieur vers l’extérieur)
  2. Multiplications et divisions (de gauche à droite)
  3. Additions et soustractions (de gauche à droite)
Exemples corrigés
  • \[ 6 - 2\times 5 = 6 - 10 = -4 \]
  • \[ (6 - 2)\times 5 = 4\times 5 = 20 \]
  • \[ \frac{3}{4} + 2\times\frac{1}{8} = \frac{3}{4} + \frac{2}{8} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 \]
8) Calcul exact et valeur approchée
Calcul exact
On garde une fraction, une racine, une écriture exacte.
Exemple : \(\dfrac{7}{3}\) est une valeur exacte.
Valeur approchée
On donne un nombre décimal arrondi.
Exemple : \(\dfrac{7}{3} \approx 2{,}33\) (au centième).
Règle pratique
  • On fait le calcul exact autant que possible.
  • On n’arrondit qu’à la fin (sauf consigne contraire).
  • On indique le niveau d’arrondi : au dixième, au centième, etc.
Checklist : erreurs classiques
Relatifs
  • Confondre \(a-b\) et \(a+(-b)\).
  • Oublier la règle des signes en \(\times\) / \(\div\).
  • Comparer deux négatifs à l’envers.
Fractions
  • Ajouter les dénominateurs (interdit !) : \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\neq\frac{2}{4}\) (même si ici ça tombe juste !)
  • Oublier de simplifier quand c’est possible.
  • Diviser par une fraction sans passer par l’inverse.
  • Arrondir trop tôt et perdre de la précision.
✅ À retenir
Les règles sur les signes, les fractions et les priorités opératoires sont des automatismes : c’est ce qui rend les calculs fiables, rapides et sans erreurs.