Exercices premium HARD — Calcul avec rationnels
Relatifs • fractions • inverses • priorités opératoires • exact/approché.
Niveau 19–20/20 : pièges Bac (adaptés 4e), justification courte, calculs propres.
Consignes (mode contrôle)
- Écrire les étapes-clés (1 ligne suffit) : surtout pour les signes et les fractions.
- Garder le calcul exact jusqu’à la fin, puis arrondir seulement si demandé.
- Pour les priorités : parenthèses → \( \times,\div \) → \( +,- \) (de gauche à droite).
Exercice 1 — Relatifs : comparaison (pièges)
1) Classer dans l’ordre décroissant : \(-8\), \(-1\), \(0\), \(4\), \(-3\), \(2\).
2) Compléter :
\[
-7 \ \square \ -2
\qquad
-0{,}5 \ \square \ -\frac{1}{3}
\qquad
-\frac{9}{4} \ \square \ -2
\]
3) Donner un exemple de deux nombres \(a\) et \(b\) négatifs tels que \(a>b\) mais \(|a|<|b|\).
✅ Corrigé (cliquer)
1) Décroissant : \(4 > 2 > 0 > -1 > -3 > -8\).
2) \(-7 < -2\).
\(-0{,}5 = -\frac{1}{2}\) et \(-\frac{1}{2} < -\frac{1}{3}\) donc \(-0{,}5 < -\frac{1}{3}\).
\(-\frac{9}{4} = -2{,}25\) donc \(-\frac{9}{4} < -2\).
3) Exemple : \(a=-3\), \(b=-5\). Alors \(a>b\) (car \(-3>-5\)) et \(|a|=3<5=|b|\).
Idée : entre deux négatifs, le “moins négatif” est le plus grand.
Exercice 2 — Additions/Soustractions : sécuriser les signes
Calculer en transformant d’abord toute soustraction :
\[
A = -12 - (-7) + (-3)
\qquad
B = 5 - (-9) - 14
\]
\[
C = -8 + 3 - (-6) - 5
\qquad
D = -4 - ( -2 - 7 )
\]
Question piège : expliquer en une phrase pourquoi \(a-b\neq b-a\) en général.
✅ Corrigé (cliquer)
\(A=-12+7-3=-8\).
\(B=5+9-14=0\).
\(C=-8+3+6-5=-4\).
\(D=-4-( -2-7)=-4-(-9)=-4+9=5\).
Explication : l’ordre change le résultat car soustraire n’est pas commutatif (ex : \(7-2=5\) mais \(2-7=-5\)).
Réflexe : \(a-b = a+(-b)\) avant de calculer.
Exercice 3 — Produits/Quotients : signe + simplification
Calculer :
\[
A = (-3)\times(-4)\times 5
\qquad
B = \frac{-36}{9}\times(-2)
\]
\[
C = (-48)\div( -6 )\div 2
\qquad
D = -\left( (-5)\times 3 - 4 \right)
\]
Donner seulement le signe de :
\[
E = (-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)
\]
✅ Corrigé (cliquer)
\(A=(+12)\times 5=60\).
\(B=\left(-4\right)\times(-2)=8\).
\(C=8\div 2=4\).
\(D=-\left((-15)-4\right)=-(-19)=19\).
\(E\) : 5 facteurs négatifs → signe \(-\).
Astuce : compte le nombre de “\(-\)” : pair → \(+\), impair → \(-\).
Exercice 4 — Fractions : simplifier avant de multiplier
Calculer et donner une fraction irréductible :
\[
A=\frac{14}{27}\times\frac{9}{7}
\qquad
B=\frac{-45}{64}\times\frac{32}{15}
\]
\[
C=\frac{18}{35}\times\frac{-21}{24}
\qquad
D=\left(\frac{-5}{12}\right)\times\left(\frac{-18}{25}\right)
\]
Indiquer à chaque fois ce que tu simplifies (au moins une simplification).
✅ Corrigé (cliquer)
\(A=\frac{14}{27}\times\frac{9}{7}\) : simplifie \(14\) avec \(7\) → \(14/7=2\), et \(9\) avec \(27\) → \(9/27=1/3\).
Donc \(A=\frac{2}{3}\).
\(B=\frac{-45}{64}\times\frac{32}{15}\) : \(45/15=3\) et \(32/64=1/2\). Donc \(B=-\frac{3}{2}\).
\(C=\frac{18}{35}\times\frac{-21}{24}\) : \(18/24=3/4\) et \(21/35=3/5\). Donc \(C=-\frac{9}{20}\).
\(D=\frac{-5}{12}\times\frac{-18}{25}\) : double négatif → positif, \(18/12=3/2\) et \(5/25=1/5\). Donc \(D=\frac{3}{10}\).
Objectif : simplifier avant → calcul plus rapide et moins d’erreurs.
Exercice 5 — Additions de fractions (PPCM + signes)
Calculer (irréductible) :
\[
A=\frac{5}{12}+\frac{7}{18}
\qquad
B=\frac{-3}{8}+\frac{5}{12}
\]
\[
C=\frac{11}{15}-\frac{2}{9}
\qquad
D=\frac{-7}{6}-\frac{1}{4}
\]
Pour \(B\) et \(D\), expliquer en une phrase comment tu gères le signe.
✅ Corrigé (cliquer)
\(A\) : PPCM\( (12,18)=36\). \(\frac{5}{12}=\frac{15}{36}\), \(\frac{7}{18}=\frac{14}{36}\) donc \(A=\frac{29}{36}\).
\(B\) : PPCM\( (8,12)=24\). \(\frac{-3}{8}=\frac{-9}{24}\), \(\frac{5}{12}=\frac{10}{24}\) donc \(B=\frac{1}{24}\).
\(C\) : PPCM\( (15,9)=45\). \(\frac{11}{15}=\frac{33}{45}\), \(\frac{2}{9}=\frac{10}{45}\) donc \(C=\frac{23}{45}\).
\(D\) : PPCM\( (6,4)=12\). \(\frac{-7}{6}=\frac{-14}{12}\), \(\frac{1}{4}=\frac{3}{12}\) donc \(D=\frac{-17}{12}\).
Signe : on met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs en gardant leurs signes.
Exercice 6 — Division de fractions : inverse & pièges
Calculer :
\[
A=\frac{3}{5}\div\frac{9}{10}
\qquad
B=\frac{-7}{12}\div\left(\frac{-14}{9}\right)
\]
\[
C=\left(\frac{5}{6}\right)\div(-2)
\qquad
D=0\div\left(\frac{3}{4}\right)
\]
Question piège : peut-on calculer \(\dfrac{1}{0}\) ? pourquoi ?
✅ Corrigé (cliquer)
\(A=\frac{3}{5}\times\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}\).
\(B=\frac{-7}{12}\times\frac{9}{-14}\) : double négatif → positif. Simplifie \(7/14=1/2\) et \(9/12=3/4\).
Donc \(B=\frac{3}{8}\).
\(C=\frac{5}{6}\div(-2)=\frac{5}{6}\times\frac{1}{-2}=-\frac{5}{12}\).
\(D=0\) (car \(0\div k=0\) si \(k\neq 0\)).
\(\frac{1}{0}\) n’existe pas : division par 0 interdite.
Exercice 7 — Priorités opératoires : mix relatifs + fractions
Calculer exactement :
\[
A = -3 + 2\times\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{3}\right)
\]
\[
B = \left(\frac{-3}{4}\right) - \left[\, 1 - \left(\frac{5}{8}\div\frac{-1}{2}\right)\right]
\]
Astuce : dans \(B\), fais la division de fractions avant de gérer les crochets.
✅ Corrigé (cliquer)
\(A\) : \(\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).
Donc \(A=-3+2\times\frac{1}{2}=-3+1=-2\).
\(B\) : \(\frac{5}{8}\div\frac{-1}{2}=\frac{5}{8}\times\frac{2}{-1}=\frac{10}{-8}=-\frac{5}{4}\).
Dans le crochet : \(1-(-\frac{5}{4})=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}\).
Donc \(B=-\frac{3}{4}-\frac{9}{4}=-\frac{12}{4}=-3\).
Exercice 8 — Exact puis approché (au centième)
1) Calculer exactement puis donner une valeur approchée au centième :
\[
A=\frac{13}{24}
\qquad
B=\frac{-17}{12}
\]
2) Calculer exactement :
\[
C=\frac{5}{12}+\frac{1}{8}-\frac{7}{18}
\]
puis donner une valeur approchée au centième.
✅ Corrigé (cliquer)
\(A=\frac{13}{24}\approx 0{,}54\).
\(B=\frac{-17}{12}\approx -1{,}42\).
\(C\) : PPCM\( (12,8,18)=72\).
\(\frac{5}{12}=\frac{30}{72}\), \(\frac{1}{8}=\frac{9}{72}\), \(\frac{7}{18}=\frac{28}{72}\).
Donc \(C=\frac{30+9-28}{72}=\frac{11}{72}\approx 0{,}15\).
Règle : on garde l’exact, on arrondit à la fin → plus fiable.
✅ Mini-bilan
Si tu réussis les exercices 4–7 sans erreur de signe ni d’ordre,
tu as un niveau très solide sur les rationnels.