Fiche ultra-synthèse — Calcul littéral
Réduction • distributivité • développer/factoriser • programmes de calcul (4e).
Checklist express (à savoir faire)
- Traduire une phrase en expression (ex : “le double de \(x\) diminué de 3” → \(2x-3\)).
- Réduire : regrouper les termes semblables (\(3x+5x=8x\)).
- Distribuer : \(k(a+b)=ka+kb\) et \(k(a-b)=ka-kb\).
- Développer puis réduire (méthode propre en 2 étapes).
- Factoriser par un facteur commun (mise en évidence).
- Calculer une valeur numérique en remplaçant \(x\) (attention aux parenthèses).
- Écrire un programme de calcul et le simplifier.
1) Vocabulaire — les bases
- Expression littérale : contient des lettres (ex : \(3x-7\)).
- Terme : morceau séparé par \(+\) ou \(-\) (ex : dans \(5x-2\), les termes sont \(5x\) et \(-2\)).
- Coefficient : nombre devant la lettre (ex : dans \(7x\), coefficient \(7\)).
- Partie littérale : la/les lettres (ex : dans \(-4x\), partie littérale \(x\)).
Traductions rapides (classiques)
- “Le triple de \(x\)” → \(3x\)
- “La moitié de \(x\)” → \(\dfrac{x}{2}\)
- “\(x\) augmenté de 5” → \(x+5\)
- “\(x\) diminué de 5” → \(x-5\)
- “Le produit de \(x\) par 4” → \(4x\)
- “Le carré de \(x\)” → \(x^2\)
2) Réduction — regrouper les termes semblables
Règle
- On additionne/soustrait seulement les termes qui ont la même partie littérale.
- \(ax+bx=(a+b)x\)
- \(ax-bx=(a-b)x\)
Exemples
- \(3x+5x=8x\)
- \(12a-7a=5a\)
- \(4x+3-2x+5 = (4x-2x)+(3+5)=2x+8\)
- \(2x + 3y - 5x + y = (2x-5x) + (3y+y)= -3x + 4y\)
Piège
❌ \(3x + 3\) ne se réduit pas (lettre ≠ nombre).
❌ \(2x + 2y\) ne se réduit pas (partie littérale différente).
❌ \(2x + 2y\) ne se réduit pas (partie littérale différente).
3) Distributivité — le réflexe n°1
Formules
\[
k(a+b)=ka+kb \qquad\text{et}\qquad k(a-b)=ka-kb
\]
👉 “Le nombre devant la parenthèse multiplie chaque terme dedans.”
Exemples
- \(3(x+5)=3x+15\)
- \(4(2x-7)=8x-28\)
- \(-2(x-3)=-2x+6\)
- \(-5(2x+1)=-10x-5\)
Pièges sur le “moins”
- \(-(x+3)=-x-3\)
- \(-(x-3)=-x+3\)
- \(-3(x-4)=-3x+12\)
4) Développer puis réduire — méthode propre
Méthode en 2 étapes
- Développer (distribuer).
- Réduire (regrouper les termes semblables).
Exemples
\[
2(3x-5)+4x
= (6x-10)+4x
= 10x-10
\]
\[
-3(2x+1) + (x-4)
= (-6x-3) + x - 4
= -5x - 7
\]
5) Factoriser — mise en évidence
Idée
On cherche un facteur commun, puis on l’écrit devant une parenthèse.
\[
ka + kb = k(a+b)
\]
Exemples
- \(6x+12 = 6(x+2)\)
- \(15a-10 = 5(3a-2)\)
- \(8x^2-4x = 4x(2x-1)\)
- \(-6x+9 = 3(-2x+3)\)
Astuce (contrôle)
Pour vérifier : redéveloppe ta factorisation → tu dois retomber sur l’expression de départ.
6) Calculer une valeur numérique
Méthode sûre
- Remplacer la lettre par la valeur entre parenthèses.
- Respecter les priorités opératoires.
Exemples
- Pour \(x=-2\), \(3x-5 = 3(-2)-5 = -6-5=-11\).
- Pour \(x=4\), \(-2(x-3) = -2(4-3)=-2\times 1 = -2\).
Piège
❌ \(-2x\) avec \(x=-3\) n’est pas \(-2-3\).
✅ \(-2x=-2\times(-3)=6\).
✅ \(-2x=-2\times(-3)=6\).
7) Programmes de calcul
Méthode
- Choisir une lettre (souvent \(x\)) pour le nombre de départ.
- Traduire chaque étape en expression.
- Simplifier (développer/réduire).
Exemple type
Programme : “Choisir un nombre, le doubler, ajouter 5, puis multiplier par 3.”
On part de \(x\).
Doubler → \(2x\).
Ajouter 5 → \(2x+5\).
Multiplier par 3 → \(3(2x+5)=6x+15\).
Doubler → \(2x\).
Ajouter 5 → \(2x+5\).
Multiplier par 3 → \(3(2x+5)=6x+15\).
Pièges à éviter (très fréquent)
Distributivité
- Oublier de multiplier le 2e terme : \(3(x+5)\neq 3x+5\).
- Gérer le “moins” : \(-(x-3)\neq -x-3\) mais \(-(x-3)=-x+3\).
Réduction
- Réduire des termes différents : \(2x+3y\) ne se réduit pas.
- Oublier les signes : \(x-3x=-2x\).
Valeur numérique
- Remplacer sans parenthèses : \(3x\) avec \(x=-2\) doit être \(3(-2)\).
- Oublier les priorités opératoires.
✅ Résumé ultra-court
Réduire = regrouper les termes semblables. Développer = distribuer. Factoriser = faire l’inverse (facteur commun).
En contrôle : écris proprement en 2 étapes (développer → réduire) et protège-toi avec les parenthèses.