Calcul littéral

Réduction d’expressions • distributivité • développer et factoriser • programmes de calcul (programme de 4e).

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Cours premium — Calcul littéral
Réduction • distributivité • développer/factoriser • programmes de calcul • pièges classiques.
Premium Méthodes Pièges 4e
Objectifs
  • Traduire une phrase en expression littérale (avec des lettres).
  • Réduire une expression : regrouper les termes semblables.
  • Utiliser la distributivité pour développer et factoriser.
  • Passer d’un programme de calcul à une expression, puis simplifier.
  • Éviter les pièges : signes, parenthèses, lettres, “\(2x\)” vs “\(x^2\)”.
1) Vocabulaire et écriture algébrique
En calcul littéral, on écrit des calculs avec des lettres (souvent \(x\), \(a\), \(n\)) qui représentent des nombres.
a) Écrire plus “mathématique”
  • \(x+x+x = 3x\)
  • \(x \times 5 = 5x\) (on n’écrit pas le signe \(\times\))
  • \(x \times x = x^2\)
  • \(2 \times x \times y = 2xy\)
  • \(a \times (b+1) = a(b+1)\)
⚠️ Attention : \(2x\) signifie “\(2\times x\)”, alors que \(x^2\) signifie “\(x\times x\)”. Ce n’est pas la même chose.
b) Termes, coefficients, constantes
  • Un terme est une “partie” séparée par \(+\) ou \(−\). Exemple : \(3x - 5 + 2x\) a 3 termes : \(3x\), \(-5\), \(2x\).
  • Le coefficient de \(x\) dans \(3x\) est \(3\). Dans \(-7x\), il est \(-7\).
  • Une constante ne dépend pas de la lettre : \(-5\), \(12\), \(0\), etc.
Exemples
  • “Le triple de \(x\)” → \(3x\)
  • “\(x\) augmenté de 7” → \(x+7\)
  • “\(x\) diminué de 7” → \(x-7\)
  • “Le double de la somme de \(x\) et 5” → \(2(x+5)\)
2) Réduire une expression
Réduire, c’est regrouper les termes semblables (même lettre, même puissance) et additionner/soustraire leurs coefficients.
Terme semblable
  • \(3x\) et \(-5x\) sont semblables (même \(x\)).
  • \(2x^2\) et \(-x^2\) sont semblables (même \(x^2\)).
  • \(3x\) et \(3x^2\) ne sont pas semblables.
  • \(4xy\) et \(-2xy\) sont semblables, mais \(4xy\) et \(4x\) ne le sont pas.
Exemples guidés
  • \(3x + 5x = 8x\)
  • \(7x - 2x = 5x\)
  • \(3x + 2 - x + 5 = (3x-x) + (2+5) = 2x + 7\)
  • \(4x^2 - 3x + 2x^2 + 5x = (4x^2+2x^2) + (-3x+5x) = 6x^2 + 2x\)
Pièges fréquents
  • \(3x + 5\) ne se réduit pas : ce ne sont pas des termes semblables.
  • \(x + x^2\) ne se réduit pas non plus.
  • Bien gérer les signes : \(3x - (-2x) = 5x\).
3) Distributivité : développer
La distributivité permet de transformer un produit en somme.
a) Distributivité simple
\[ a(b+c) = ab + ac \]
👉 On multiplie \(a\) par chaque terme dans la parenthèse.
b) Avec une soustraction
\[ a(b-c) = ab - ac \]
⚠️ Le signe devant le second terme reste cohérent : on distribue aussi le “\(-\)”.
Exemples
  • \(3(x+5)=3x+15\)
  • \(2(4x-7)=8x-14\)
  • \(-5(x-2)=-5x+10\)
  • \(-(x+3)=-x-3\) (ici \(-1\) est distribué)
Parenthèses et signes : le réflexe
Quand un “\(-\)” est devant une parenthèse, pense “je multiplie par \(-1\)”.
\[ -(2x-7) = -2x + 7 \]
4) Factoriser : l’opération inverse
Factoriser, c’est transformer une somme en produit en mettant un facteur commun.
Méthode
  1. Repérer le facteur commun (nombre, lettre, ou les deux).
  2. Le sortir en facteur.
  3. Dans la parenthèse, écrire ce qu’il reste.
  4. Vérifier en redéveloppant (contrôle).
Exemples
  • \(6x + 9 = 3(2x+3)\) (facteur commun : \(3\))
  • \(5x + 10 = 5(x+2)\)
  • \(12x^2 - 8x = 4x(3x-2)\) (facteur commun : \(4x\))
  • \(-3x + 6 = -3(x-2)\) (utile pour éviter les signes)
Piège : oublier un signe
Exemple :
\[ -2x + 4 = -2(x - 2)\quad\text{et pas}\quad -2(x+2) \]
5) Programmes de calcul
Un programme de calcul décrit des étapes. On peut le traduire en une expression littérale, puis réduire ou développer pour simplifier.
Exemple 1 — Traduction
“Choisir un nombre, le multiplier par 3, puis ajouter 5.”
\[ 3x + 5 \]
Exemple 2 — Deux écritures pour le même programme
Programme A : “Ajouter 4 au nombre, puis multiplier par 2.” → \(2(x+4)\)
Programme B : “Multiplier le nombre par 2, puis ajouter 8.” → \(2x+8\)
On développe :
\[ 2(x+4)=2x+8 \]
✅ Les deux programmes donnent toujours le même résultat (pour tout \(x\)).
Astuce “preuve”
Pour montrer que deux programmes sont équivalents : traduire en expressions, puis réduire/développer pour obtenir la même forme.
Checklist : erreurs classiques à éviter
  • Confondre \(2x\) et \(x^2\).
  • “Oublier” de distribuer à tous les termes : \(3(x+2)\neq 3x+2\).
  • Erreur de signe : \(-(x-5)\) devient \(-x+5\).
  • Réduire des termes non semblables : \(x+x^2\) ne se réduit pas.
  • Factoriser en oubliant un terme : toujours vérifier en redéveloppant.
✅ À retenir
Réduire = regrouper les termes semblables. Développer = utiliser la distributivité. Factoriser = retrouver un facteur commun. Et avec les parenthèses : les signes sont rois.