Exercices corrigés — Calcul littéral (4e)

Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 4ème sur Calcul littéral. Tu vas t’entraîner sur réduction d’expressions, développement, factorisation, identités remarquables avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
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Exercice 1 — Somme ou produit ?
*
Indiquer si chaque expression est principalement une somme ou un produit :
  1. A.\(3x+12\)
  2. B.\(3(x+4)\)
  3. C.\(5x-7\)
  4. D.\(4x(2+x)\)
  5. E.\(2x^2+5x\)
  6. F.\(-3(2x-5)\)
Exercice 2 — Réduire des termes semblables
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Réduire chaque expression :
  1. A.\(3x+5x\)
  2. B.\(7x-11x\)
  3. C.\(2x^2+5x^2\)
  4. D.\(4x+3x^2-2x\)
  5. E.\(5x^2-3x+2x^2+7x\)
  6. F.\(-4x^2+6x+9x^2-x\)
Exercice 3 — Calculer la valeur d’une expression
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Calculer la valeur de chaque expression :
  1. A.\(3x+12\) pour \(x=5\)
  2. B.\(4x-7\) pour \(x=-2\)
  3. C.\(2x^2+3x\) pour \(x=4\)
  4. D.\(x(5-x)\) pour \(x=3\)
  5. E.\(3x(4+2x)\) pour \(x=-1\)
  6. F.\(6(3-1,5x)-9x\) pour \(x=2\)
Exercice 4 — Opposé d’une expression
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Supprimer les parenthèses puis réduire si possible :
  1. A.\(-(x+5)\)
  2. B.\(-(3x-7)\)
  3. C.\(5-(x+3)\)
  4. D.\(8-(4x-2)\)
  5. E.\(2x-(5x+4)\)
  6. F.\(7x-(3x-6)\)
Exercice 5 — Distributivité sur des calculs numériques
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Calculer en utilisant une distributivité adaptée :
  1. A.\(52\times101\)
  2. B.\(25\times99\)
  3. C.\(48\times102\)
  4. D.\(37\times98\)
  5. E.\(64\times19\)
  6. F.\(125\times32\)
Exercice 6 — Développer — distributivité simple
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Développer :
  1. A.\(2(x+3)\)
  2. B.\(5(2x+4)\)
  3. C.\(3(x-2)\)
  4. D.\(4(3x-5)\)
  5. E.\(6(3-1,5x)\)
  6. F.\(0,5(8x+6)\)
Exercice 7 — Développer avec un facteur négatif
**
Développer et réduire :
  1. A.\(-5(2x+2)\)
  2. B.\(-4(3x-2)\)
  3. C.\(-3(x+7)\)
  4. D.\(-2(5-4x)\)
  5. E.\(-0,5(6x-8)\)
  6. F.\(-(7-3x)\)
Exercice 8 — Développer avec un facteur littéral
**
Développer et ordonner :
  1. A.\(3x(4+8x)\)
  2. B.\(4x(2+3x)\)
  3. C.\(x(5-x)\)
  4. D.\(2x(3-x)\)
  5. E.\(-3x(2+x)\)
  6. F.\(5x(x-4)\)
Exercice 9 — Développer puis réduire
**
Développer et réduire :
  1. A.\(17x+4x(5-x)\)
  2. B.\(6(3-1,5x)-9x\)
  3. C.\(3x+2(4x-5)\)
  4. D.\(5x-3(2x+4)\)
  5. E.\(2x(3+x)+5x\)
  6. F.\(7x-2x(4-x)\)
Exercice 10 — Deux distributivités simples
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Développer et réduire :
  1. A.\(3(x+4)+2(x-5)\)
  2. B.\(4(2x-3)-5(x+1)\)
  3. C.\(6(x-1)-2(3x+4)\)
  4. D.\(-3(2x-5)+4(x+1)\)
  5. E.\(2x(x+3)-x(4-x)\)
  6. F.\(5x(2-x)+2x(x+1)\)
Exercice 11 — Double distributivité — initiation
***
Développer, réduire et ordonner :
  1. A.\((x+3)(x+5)\)
  2. B.\((x+2)(x-4)\)
  3. C.\((2x+1)(x+3)\)
  4. D.\((3x-2)(x+4)\)
  5. E.\((2x-5)(x-2)\)
  6. F.\((4x+3)(2x-1)\)
Exercice 12 — Factoriser — facteur numérique commun
**
Factoriser :
  1. A.\(12x-30\)
  2. B.\(18x+24\)
  3. C.\(15x-20\)
  4. D.\(21x+35\)
  5. E.\(16x-12\)
  6. F.\(27x+9\)
Exercice 13 — Factoriser — facteur littéral commun
**
Factoriser :
  1. A.\(15x^2+18x\)
  2. B.\(8x^2+12x\)
  3. C.\(10x^2-25x\)
  4. D.\(6x^2+9x\)
  5. E.\(14x^2-21x\)
  6. F.\(4x^2+20x\)
Exercice 14 — Factoriser — choisir le facteur commun
***
Factoriser :
  1. A.\(27x^2+3\)
  2. B.\(35x^2-14x\)
  3. C.\(24x+36\)
  4. D.\(9x^2-3x\)
  5. E.\(20x^2+30x\)
  6. F.\(42x-28\)
Exercice 15 — Factoriser — parenthèse commune
***
Repérer le facteur commun puis factoriser et simplifier :
  1. A.\(5x(x+2)+3(x+2)\)
  2. B.\(4(x-3)+x(x-3)\)
  3. C.\(5(x+4)-2(x+4)\)
  4. D.\(4x(x-5)-3(x-5)\)
  5. E.\((2x+1)(x-4)+7(2x+1)\)
  6. F.\(3(x+2)^2-5(x+2)\)
Exercice 16 — Développer ou factoriser ?
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Effectuer la transformation la plus adaptée :
  1. A.\(5(3x-2)\)
  2. B.\(18x+12\)
  3. C.\(4x(2+x)\)
  4. D.\(12x^2-8x\)
  5. E.\(-3(5-2x)\)
  6. F.\(21x^2+14x\)
Exercice 17 — Comparer deux programmes de calcul
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Montrer si les deux programmes sont équivalents :
  1. A.Tripler un nombre puis ajouter 15 ; ou ajouter 5 puis multiplier par 3.
  2. B.Doubler un nombre puis retirer 8 ; ou retirer 4 puis doubler.
  3. C.Multiplier par 5 puis ajouter 20 ; ou ajouter 4 puis multiplier par 5.
  4. D.Multiplier par 4 puis retirer 12 ; ou retirer 3 puis multiplier par 4.
  5. E.Doubler puis ajouter 6 ; ou ajouter 6 puis doubler.
  6. F.Tripler puis ajouter le nombre choisi ; ou multiplier directement par 4.
Exercice 18 — Retrouver un programme à partir d’une expression
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Décrire un programme de calcul possible :
  1. A.\(3(x+5)\)
  2. B.\(4x-7\)
  3. C.\(2(x-3)+5\)
  4. D.\(5(2x+1)\)
  5. E.\(7-3x\)
  6. F.\(x(5-x)\)
Exercice 19 — Vrai ou faux ? — justifier par le calcul
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Dire si chaque égalité est vraie pour tout \(x\). Justifier en développant ou en factorisant :
  1. A.\(3(x+2)=3x+2\)
  2. B.\(5x+10=5(x+2)\)
  3. C.\((x+4)(x+2)=x^2+6x+8\)
  4. D.\(6x-18=6(x-3)\)
  5. E.\(2(x-5)+3x=5x-10\)
  6. F.\((2x-3)(x+4)=2x^2+5x-12\)
Exercice 20 — Introduire une lettre pour démontrer
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Démontrer chaque affirmation :
  1. A.La somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
  2. B.La somme de deux entiers consécutifs est impaire.
  3. C.La somme de deux entiers pairs est paire.
  4. D.La somme de deux entiers impairs est paire.
  5. E.Le produit d’un entier pair par un entier quelconque est pair.
  6. F.Le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Exercice 21 — Calcul littéral et géométrie
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Exprimer la grandeur demandée en fonction de \(x\), puis réduire :
  1. A.Périmètre d’un rectangle de côtés \(x\) et \(x+4\).
  2. B.Aire d’un rectangle de côtés \(x\) et \(x+4\).
  3. C.Périmètre d’un carré de côté \(3x-1\).
  4. D.Périmètre d’un triangle de côtés \(x\), \(x+2\) et \(2x-1\).
  5. E.Aire d’un rectangle de côtés \(5x\) et \(x+2\).
  6. F.Périmètre d’un pentagone régulier de côté \(2x+3\).
Exercice 22 — Aires — développer un produit
***
Exprimer l’aire en fonction de \(x\), puis développer, réduire et ordonner :
  1. A.Rectangle de côtés \(2x+3\) cm et \(x+4\) cm.
  2. B.Rectangle de côtés \(3x-2\) cm et \(x+5\) cm.
  3. C.Carré de côté \(x+3\) cm.
  4. D.Rectangle de côtés \(2x-1\) cm et \(2x+3\) cm.
  5. E.Somme des aires de deux rectangles : \((x+2)(x+5)\) et \(x(x+3)\).
  6. F.Différence entre l’aire du rectangle \((x+6)\times(x+2)\) et celle du carré de côté \(x+1\).
Exercice 23 — Tester si un nombre est solution
***
Dire si le nombre proposé est solution :
  1. A.\(x=4\) pour \(3x+2=8\)
  2. B.\(x=4\) pour \(5x-6=3x+2\)
  3. C.\(x=4\) pour \(x^2-9=3x-5\)
  4. D.\(x=4\) pour \(\dfrac{x-1}{4}=1\)
  5. E.\(x=-3\) pour \(2x+5=-x-4\)
  6. F.\(x=2\) pour \(4(x+1)=2x+8\)
Exercice 24 — Équations du type \(ax+b=c\)
***
Résoudre algébriquement :
  1. A.\(4x+2=0\)
  2. B.\(5x-7=3\)
  3. C.\(3x+5=20\)
  4. D.\(-2x+7=15\)
  5. E.\(0,5x+3=8\)
  6. F.\(7-3x=-5\)
Exercice 25 — Équations avec \(x\) dans les deux membres
****
Résoudre algébriquement :
  1. A.\(2x+5=-x-4\)
  2. B.\(5x-6=3x+2\)
  3. C.\(7x+1=4x+13\)
  4. D.\(9-2x=3x-6\)
  5. E.\(4x-11=x+7\)
  6. F.\(6-5x=2x+20\)
Exercice 26 — Équations avec distributivité
****
Résoudre :
  1. A.\(3(x+2)=15\)
  2. B.\(4(x-1)=2x+6\)
  3. C.\(5(2x+1)=3x+26\)
  4. D.\(2(3x-4)=4x+6\)
  5. E.\(-3(x-5)=2x\)
  6. F.\(6(x+1)-4=2x+18\)
Exercice 27 — Mettre un problème en équation
****
Mettre en équation puis résoudre :
  1. A.Le triple d’un nombre, augmenté de 5, vaut 29.
  2. B.Le double d’un nombre, diminué de 7, vaut 19.
  3. C.La somme de deux entiers consécutifs vaut 51.
  4. D.Trois billets au même prix et 4 euros de frais coûtent 40 euros.
  5. E.La moitié d’un nombre, augmentée de 6, vaut 17.
  6. F.On retire 8 au quadruple d’un nombre et on obtient 36.
Exercice 28 — Problèmes géométriques et équations
****
Mettre en équation et déterminer \(x\) :
  1. A.Un rectangle de largeur \(x\) et de longueur \(x+3\) a un périmètre de 34.
  2. B.Un triangle équilatéral de côté \(x+2\) et un carré de côté \(x\) ont le même périmètre.
  3. C.Un carré de côté \(x+1\) a un périmètre de 28.
  4. D.Un rectangle de côtés \(x\) et \(2x+1\) a un périmètre de 38.
  5. E.Un triangle a pour côtés \(x+1\), \(x+3\) et \(2x\), et son périmètre vaut 28.
  6. F.Un pentagone régulier de côté \(2x-1\) a un périmètre de 45.
Exercice 29 — Bilan complet — vrai niveau 4e
****
Traiter chaque question avec une rédaction complète :
  1. A.Développer et réduire \(6(3-1,5x)-9x\).
  2. B.Factoriser \(15x^2+18x\).
  3. C.Développer et réduire \((2x-3)(x+5)\).
  4. D.Tester si \(-2\) est solution de \(x^2-9=3x-5\).
  5. E.Résoudre \(2x+5=-x-4\).
  6. F.Un rectangle de largeur \(x\) et longueur \(x+4\) a un périmètre de 36. Déterminer ses dimensions.
Exercice 30 — Développements et réductions — niveau avancé
****
Développer et réduire.
  1. A.\((5x+3x)(4-2x)\)
  2. B.\((4x-2)(3x-5)-7x\)
  3. C.\((2x-3)(5-x)\)
  4. D.\((-3x+2)(2x+5)\)
  5. E.\((6-2x)(2x-3)\)
  6. F.\((8x-2x)(3x-7)+5(x-2)\)
Exercice 31 — Factorisations
****
Factoriser puis vérifier en développant.
  1. A.\(24x^2-36x\)
  2. B.\(35x^2+49x\)
  3. C.\(18x^2-6x\)
  4. D.\(32x^2+16x\)
  5. E.\(45x^2-30x\)
  6. F.\(36x^2+12\)
Exercice 32 — Calcul littéral enchaîné — raisonnement
****
Développer, réduire et ordonner.
  1. A.\(3(2x-5)+4x(3-x)-2x\)
  2. B.\(-2x(5-3x)+4(2x-1)\)
  3. C.\(5x(2-x)-3(4x-1)+x^2\)
  4. D.\(7-2(3x-4)+x(5-2x)\)
  5. E.\(3x(4+x)-2x(5-x)-6\)
  6. F.\(4(1-2x)+3x(2x+1)-x\)
Exercice 33 — Équations avancées avec distributivité
****
Résoudre algébriquement et vérifier.
  1. A.\(3(x+4)=2x+11\)
  2. B.\(5(2x-3)=3x+13\)
  3. C.\(4x-3(2-x)=17\)
  4. D.\(2(3x-5)+4=x+9\)
  5. E.\(7-2(x+5)=3x-8\)
  6. F.\(0,5(6x-4)=2x+5\)
Exercice 34 — Synthèse — problèmes avancés de 4e
****
Mettre en équation, résoudre et conclure.
  1. A.Un taxi facture 5 euros de prise en charge puis 2,4 euros par kilomètre. Une course coûte 29 euros.
  2. B.Un adulte a 6 ans de plus que le double de l'âge d'un enfant. Ensemble, ils ont 42 ans.
  3. C.La somme de trois entiers consécutifs vaut 72.
  4. D.Un carré de côté \(x+2\) et un rectangle de côtés \(x\) et \(x+6\) auraient-ils le même périmètre ?
  5. E.Deux forfaits coûtent respectivement \(12+1,5x\) euros et \(30+0,75x\) euros. Pour quelle valeur de \(x\) ont-ils le même coût ?
  6. F.Un triangle équilatéral de côté \(x+3\) et un carré de côté \(x\) ont le même périmètre.
Exercice 35 — Développer, réduire et ordonner par puissances décroissantes
****
Développer, réduire et ordonner par puissances décroissantes.
  1. A.\(A=3(2x+1)-(3x-2)(3x+2)\)
  2. B.\(B=(2x+3)-(2x+3)(x-7)\)
  3. C.\(C=2(3x-4)-(x+2)\)
  4. D.\(D=(2x-1)(3x+2)-2(2x+1)\)
  5. E.\(E=-2(3x-1)(3x+1)-(2x+3)\)
  6. F.\(F=(3x-2)(3x+2)-3(x+2)\)
Exercice 36 — Double distributivité — coefficients et fractions
****
Développer, réduire et ordonner par puissances décroissantes.
  1. A.\(A=(3x+2)(-x+2)\)
  2. B.\(B=-(x-3)(-2x+5)\)
  3. C.\(C=\left(3x+\dfrac35\right)\left(\dfrac53x-\dfrac{10}{3}\right)\)
  4. D.\(D=\left(\dfrac32x+\dfrac92\right)\left(\dfrac23x+2\right)\)
  5. E.\(E=(2x-3)(3x+1)-(2x-3)(-2x+3)\)
  6. F.\(F=(3x-1)(-2x-3)-3(x-3)(2-x)\)
Exercice 37 — Factoriser et simplifier
****
Factoriser et simplifier.
  1. A.\(A=49x^2-7x\)
  2. B.\(B=(3x-4)(3x+1)-(3x+1)(2x+3)\)
  3. C.\(C=9x^2+12x\)
  4. D.\(D=(5x-3)(2x+5)+(5x-3)^2\)
  5. E.\(E=(3x+2)^2-(3x+2)\)
  6. F.\(F=(x+3)(3x-1)-(x+3)\)
Exercice 38 — Double distributivité — développements enchaînés
****
Développer, réduire et ordonner par puissances décroissantes.
  1. A.\(A=(2x+5)(3x-4)+(x-2)\)
  2. B.\(B=2(x-1)(3x+2)-(x+4)\)
  3. C.\(C=(4x-3)(2x+5)-(x-1)(3x+2)\)
  4. D.\(D=-(2x+1)(x-5)+3(2x-1)\)
  5. E.\(E=3(x+2)(2x-3)-2(x-1)(x+4)\)
  6. F.\(F=(5x-2)(x+3)-2(2x+1)(x-4)\)
Exercice 39 — Double distributivité — fractions avancées
****
Développer, réduire et ordonner par puissances décroissantes.
  1. A.\(A=\left(\dfrac12x+3\right)(4x-2)\)
  2. B.\(B=\left(\dfrac34x-2\right)\left(2x+\dfrac53\right)\)
  3. C.\(C=-\left(\dfrac52x+1\right)\left(\dfrac25x-3\right)\)
  4. D.\(D=\left(\dfrac23x-\dfrac52\right)\left(\dfrac32x+4\right)\)
  5. E.\(E=\left(x+\dfrac12\right)\left(3x-\dfrac23\right)-\left(x-\dfrac12\right)\left(x+\dfrac23\right)\)
  6. F.\(F=2\left(\dfrac35x-1\right)\left(\dfrac52x+4\right)\)
Exercice 40 — Factorisation — parenthèse commune avancée
****
Factoriser et simplifier.
  1. A.\(A=(2x+5)(3x-1)+(2x+5)(x+4)\)
  2. B.\(B=(4x-3)(2x+1)-(4x-3)(x-5)\)
  3. C.\(C=(3x+2)^2+5(3x+2)\)
  4. D.\(D=(5x-1)(2x+3)-4(5x-1)\)
  5. E.\(E=3(x-2)(2x+5)+(x-2)(x-1)\)
  6. F.\(F=2(3x+1)(x-4)-(3x+1)(5x-2)\)
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