Calcul littéral

Réduction d’expressions • distributivité • développer et factoriser • programmes de calcul (programme de 4e).

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Exercices premium — Calcul littéral
Réduire • distribuer • développer • factoriser • programmes de calcul — avec pièges fréquents (niveau 4e ++).
Niveau 19–20 Exercices Pièges 4e
Exercice 1 — Réduire des expressions
Réduire (regrouper les termes semblables). Attention : \(x\) et \(x^2\) ne sont pas semblables.
  1. \(7x + 3x\)
  2. \(12a - 5a + 2a\)
  3. \(9y - 4 + 2y + 11\)
  4. \(5x^2 + 3x - 2x^2 + 7x\)
  5. \(3(2x) + 4x - x\)
  6. \(6m - 2(3m - 5)\)
Afficher / masquer la correction
  • \(7x+3x = 10x\)
  • \(12a-5a+2a = 9a\)
  • \(9y+2y + (-4+11) = 11y + 7\)
  • \((5x^2-2x^2) + (3x+7x) = 3x^2 + 10x\)
  • \(3(2x)+4x-x = 6x+4x-x = 9x\)
  • \(6m - 2(3m-5) = 6m - (6m-10) = 6m-6m+10 = 10\)
Exercice 2 — Utiliser la distributivité
Développer et réduire. Soigne les signes : \(-(a+b)=-a-b\).
  1. \(4(x+7)\)
  2. \(3(2a-5)\)
  3. \(-5(y-3)\)
  4. \(2(3m+1) - 4(m-2)\)
  5. \(-\,(7x-4) + 2(3x+5)\)
  6. \(6(2t-1) - 3(4t+2)\)
Afficher / masquer la correction
  • \(4(x+7)=4x+28\)
  • \(3(2a-5)=6a-15\)
  • \(-5(y-3)=-5y+15\)
  • \(2(3m+1)-4(m-2)= (6m+2) - (4m-8)= 6m+2-4m+8 = 2m+10\)
  • \(-\,(7x-4)+2(3x+5)=(-7x+4)+(6x+10)= -x+14\)
  • \(6(2t-1)-3(4t+2)=(12t-6)-(12t+6)=12t-6-12t-6=-12\)
Exercice 3 — Développer puis réduire
Méthode propre : on développe une parenthèse à la fois, puis on réduit.
  1. \(2(x-4) + 3(x+1)\)
  2. \(5(2a+3) - 2(4a-1)\)
  3. \(7(3y-2) + (y+8)\)
  4. \(-3(2m-5) + 4(m-1)\)
  5. \(2(3x+4) - (5x-7) - 3(x+2)\)
Afficher / masquer la correction
  • \(2(x-4)+3(x+1)=(2x-8)+(3x+3)=5x-5\)
  • \(5(2a+3)-2(4a-1)=(10a+15)-(8a-2)=2a+17\)
  • \(7(3y-2)+(y+8)=(21y-14)+y+8=22y-6\)
  • \(-3(2m-5)+4(m-1)=(-6m+15)+(4m-4)=-2m+11\)
  • \(2(3x+4)-(5x-7)-3(x+2)=(6x+8)+(-5x+7)+(-3x-6)\)
    \(=(6x-5x-3x)+(8+7-6)=(-2x)+9\)
Exercice 4 — Factoriser (mise en évidence)
Mettre un facteur commun en évidence. Vérifie en redéveloppant.
  1. \(6x + 18\)
  2. \(12a - 8\)
  3. \(15y + 10\)
  4. \(9m^2 - 6m\)
  5. \(4x(2x-3) + 7(2x-3)\)
  6. \(5(3t-1) - 2t(3t-1)\)
Afficher / masquer la correction
  • \(6x+18 = 6(x+3)\)
  • \(12a-8 = 4(3a-2)\)
  • \(15y+10 = 5(3y+2)\)
  • \(9m^2-6m = 3m(3m-2)\)
  • \(4x(2x-3)+7(2x-3)=(2x-3)(4x+7)\)
  • \(5(3t-1)-2t(3t-1)=(3t-1)(5-2t)\)
Astuce : dès que tu vois “le même paquet” \((2x-3)\), pense facteur commun.
Exercice 5 — Simplifier des expressions fractionnaires
On factorise numérateur et dénominateur, puis on simplifie les facteurs communs (si possible). Interdit : “simplifier des termes” dans une somme.
  1. \(\dfrac{6x}{18}\)
  2. \(\dfrac{12a-8}{4}\)
  3. \(\dfrac{15y+10}{5}\)
  4. \(\dfrac{9m^2-6m}{3m}\) (avec \(m\neq 0\))
  5. \(\dfrac{4x(2x-3)+7(2x-3)}{2x-3}\) (avec \(2x-3\neq 0\))
  6. \(\dfrac{6x+18}{3(x+3)}\) (avec \(x\neq -3\))
Afficher / masquer la correction
  • \(\dfrac{6x}{18}=\dfrac{x}{3}\)
  • \(\dfrac{12a-8}{4}=\dfrac{4(3a-2)}{4}=3a-2\)
  • \(\dfrac{15y+10}{5}=\dfrac{5(3y+2)}{5}=3y+2\)
  • \(\dfrac{9m^2-6m}{3m}=\dfrac{3m(3m-2)}{3m}=3m-2\)
  • \(\dfrac{(2x-3)(4x+7)}{2x-3}=4x+7\)
  • \(\dfrac{6(x+3)}{3(x+3)}=2\)
✅ On a toujours précisé les conditions (ex : \(m\neq 0\), \(x\neq -3\)) quand on simplifie un facteur.
Exercice 6 — Programmes de calcul : écrire, réduire, tester
Pour chaque programme : (1) écrire l’expression en fonction de \(x\), (2) réduire, (3) tester pour \(x=4\).
  1. Programme A : “Choisir un nombre. Le multiplier par 3. Ajouter 7.”
  2. Programme B : “Choisir un nombre. Lui soustraire 5. Multiplier le résultat par 2.”
  3. Programme C : “Choisir un nombre. Ajouter 4. Multiplier par 5. Retrancher 20.”
  4. Programme D : “Choisir un nombre. Le multiplier par 6. Ajouter 18. Diviser par 3.”
Afficher / masquer la correction
  • A : \(3x+7\). Test \(x=4\) : \(3\times4+7=19\).
  • B : \(2(x-5)=2x-10\). Test \(x=4\) : \(2(4-5)=-2\).
  • C : \(5(x+4)-20 = 5x+20-20=5x\). Test \(x=4\) : \(20\).
    Piège : ici le programme est équivalent à “multiplier par 5”.
  • D : \(\dfrac{6x+18}{3}=\dfrac{3(2x+6)}{3}=2x+6\). Test \(x=4\) : \(14\).
Exercice 7 — Vrai ou faux ? (justifier)
Dire si l’égalité est vraie pour tout \(x\). Sinon, donner un contre-exemple.
  1. \(2(x+3)=2x+3\)
  2. \(-\,(x-5) = -x+5\)
  3. \(5x+10 = 5(x+2)\)
  4. \(3x+6 = 3(x+3)\)
  5. \((2x-3)(4x+7) = 8x^2 + 14x - 12x - 21\)
Afficher / masquer la correction
  • Faux : \(2(x+3)=2x+6\), pas \(2x+3\). Contre-exemple \(x=0\) : gauche \(=6\), droite \(=3\).
  • Vrai : \(-\,(x-5)= -x+5\).
  • Vrai : \(5x+10 = 5(x+2)\).
  • Faux : \(3(x+3)=3x+9\), pas \(3x+6\). Contre-exemple \(x=1\) : gauche \(=9\), droite \(=7\).
  • Vrai : développer \((2x-3)(4x+7)\) donne \(8x^2+14x-12x-21=8x^2+2x-21\).
Méthode sûre : développer correctement OU tester avec une valeur simple (\(x=0\), \(x=1\), \(x=2\)) pour réfuter.
Bilan — compétences validées
  • Réduire une expression en regroupant des termes semblables.
  • Appliquer la distributivité (y compris avec des signes “−”).
  • Développer puis réduire proprement.
  • Factoriser par mise en évidence (facteur commun).
  • Traduire un programme de calcul en expression et simplifier.