Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est l’\textbf{hypoténuse} (et c’est le plus long côté).
Le triangle est rectangle en \(A\) donc l’hypoténuse est \(BC\). Par rapport à \(\widehat{B}\), le côté \(Opp\) est le côté en face de \(B\), donc \(AC\).
On a \(Opp\) et \(Hyp\), donc on utilise \(\sin(\theta)=\dfrac{Opp}{Hyp}\) (SOH).
On a \(Adj\) et \(Hyp\), donc on utilise \(\cos(\theta)=\dfrac{Adj}{Hyp}\) (CAH).
On a \(Opp\) et \(Adj\), donc on utilise \(\tan(\theta)=\dfrac{Opp}{Adj}\) (TOA).
On connaît \(Hyp\) et on cherche \(Adj\), donc \(\cos(35^\circ)=\dfrac{Adj}{12}\). Ainsi \(Adj=12\cos(35^\circ)\approx 12\times 0{,}8192\approx 9{,}83\). Donc \(Adj\approx 9{,}8\) cm (au dixième).
On connaît \(Adj\) et on cherche \(Opp\), donc \(\tan(27^\circ)=\dfrac{Opp}{15}\). Ainsi \(Opp=15\tan(27^\circ)\approx 15\times 0{,}5095\approx 7{,}64\). Donc \(Opp\approx 7{,}6\) cm.
On a \(\sin(48^\circ)=\dfrac{Opp}{20}\), donc \(Opp=20\sin(48^\circ)\approx 20\times 0{,}7431\approx 14{,}86\). Donc \(Opp\approx 14{,}9\) cm.
On a \(\sin(\theta)=\dfrac{Opp}{Hyp}=\dfrac{9}{15}=0{,}6\). Donc \(\theta=\arcsin(0{,}6)\approx 36{,}87^\circ\). Ainsi \(\theta\approx 36{,}9^\circ\) (au dixième).
On a \(\cos(\theta)=\dfrac{Adj}{Hyp}=\dfrac{8}{10}=0{,}8\). Donc \(\theta=\arccos(0{,}8)\approx 36{,}87^\circ\). Ainsi \(\theta\approx 36{,}9^\circ\).
On a \(\tan(\theta)=\dfrac{Opp}{Adj}=\dfrac{5}{12}\approx 0{,}4167\). Donc \(\theta=\arctan\left(\dfrac{5}{12}\right)\approx 22{,}62^\circ\). Ainsi \(\theta\approx 22{,}6^\circ\).
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse ne change pas (côté opposé à l’angle droit). En revanche, \(Opp\) et \(Adj\) dépendent de l’angle choisi : si on change d’angle (de \(\widehat{B}\) à \(\widehat{C}\)), les rôles de “opposé” et “adjacent” \textbf{s’échangent}.
On modélise un triangle rectangle : \(Adj=30\) m et \(Opp=h\). Donc \(\tan(22^\circ)=\dfrac{h}{30}\), d’où \(h=30\tan(22^\circ)\approx 30\times 0{,}4040\approx 12{,}12\). Ainsi \(h\approx 12{,}1\) m.
Le triangle est rectangle (mur/sol). L’échelle est l’hypoténuse : \(Hyp=5\). La hauteur est le côté opposé à \(68^\circ\). Donc \(\sin(68^\circ)=\dfrac{h}{5}\), d’où \(h=5\sin(68^\circ)\approx 5\times 0{,}9272\approx 4{,}636\). Au centième : \(h\approx 4{,}64\) m.
On a \(Adj=40\) m et \(Opp=h\). Donc \(\tan(35^\circ)=\dfrac{h}{40}\), d’où \(h=40\tan(35^\circ)\approx 40\times 0{,}7002\approx 28{,}01\). Ainsi \(h\approx 28{,}0\) m.
Dans \([0^\circ;90^\circ]\), \(\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}=0{,}5\). Donc \(\theta=30^\circ\).
Dans \([0^\circ;90^\circ]\), \(\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Donc \(\theta=30^\circ\).
On a \(\cos(40^\circ)=\dfrac{14}{Hyp}\). Donc \(Hyp=\dfrac{14}{\cos(40^\circ)}\approx \dfrac{14}{0{,}7660}\approx 18{,}28\). Ainsi \(Hyp\approx 18{,}3\) cm.
On a \(\sin(25^\circ)=\dfrac{6}{Hyp}\). Donc \(Hyp=\dfrac{6}{\sin(25^\circ)}\approx \dfrac{6}{0{,}4226}\approx 14{,}198\). Au centième : \(Hyp\approx 14{,}20\) cm.
Au Brevet, les angles sont en \textbf{degrés}. Il faut donc mettre la calculatrice en mode \textbf{DEG} (et non RAD).
Quiz HARD — Trigonométrie (triangle rectangle) (20 questions)
Objectif Brevet 19–20/20 : identifier Hyp/Opp/Adj • SOH-CAH-TOA • calculs de longueurs • angles (arcsin/arccos/arctan) • problèmes (hauteur, distance) • pièges (DEG, arrondis, Opp/Adj).
Exercice 1. Dans un triangle rectangle, comment s’appelle le côté opposé à l’angle droit ?
Non vérifié
Indice
C’est toujours le plus long côté.
Exercice 2. Triangle rectangle \(ABC\) rectangle en \(A\). Par rapport à l’angle \(\widehat{B}\), quel est le côté \(Opp\) ? (répondre : \(AB\) ou \(AC\) ou \(BC\))
Non vérifié
Indice
Le côté opposé à \(\widehat{B}\) est celui “en face” de \(B\).
Exercice 3. Triangle rectangle, par rapport à \(\theta\) : on connaît \(Opp\) et \(Hyp\). Quelle formule utilise-t-on : \(\sin\), \(\cos\) ou \(\tan\) ?
Non vérifié
Indice
SOH : \(\sin=\dfrac{Opp}{Hyp}\).
Exercice 4. Triangle rectangle, par rapport à \(\theta\) : on connaît \(Adj\) et \(Hyp\). Quelle formule utilise-t-on : \(\sin\), \(\cos\) ou \(\tan\) ?
Non vérifié
Indice
CAH : \(\cos=\dfrac{Adj}{Hyp}\).
Exercice 5. Triangle rectangle, par rapport à \(\theta\) : on connaît \(Opp\) et \(Adj\). Quelle formule utilise-t-on : \(\sin\), \(\cos\) ou \(\tan\) ?
Non vérifié
Indice
TOA : \(\tan=\dfrac{Opp}{Adj}\).
Exercice 6. Triangle rectangle : \(\theta=35^\circ\), \(Hyp=12\) cm. Calculer \(Adj\) (au dixième).
Non vérifié
Indice
Utilise \(\cos(\theta)=\dfrac{Adj}{Hyp}\).
Exercice 7. Triangle rectangle : \(\theta=27^\circ\), \(Adj=15\) cm. Calculer \(Opp\) (au dixième).
Non vérifié
Indice
Ici \(\tan(\theta)=\dfrac{Opp}{Adj}\).
Exercice 8. Triangle rectangle : \(\theta=48^\circ\), \(Hyp=20\) cm. Calculer \(Opp\) (au dixième).
Non vérifié
Indice
Utilise \(\sin(\theta)=\dfrac{Opp}{Hyp}\).
Exercice 9. Triangle rectangle : \(Opp=9\) cm, \(Hyp=15\) cm. Calculer \(\theta\) (au dixième).
Non vérifié
Indice
Commence par \(\sin(\theta)=\dfrac{9}{15}\).
Exercice 10. Triangle rectangle : \(Adj=8\) cm, \(Hyp=10\) cm. Calculer \(\theta\) (au dixième).
Non vérifié
Indice
Utilise \(\cos(\theta)=\dfrac{8}{10}\).
Exercice 11. Triangle rectangle : \(Opp=5\) cm, \(Adj=12\) cm. Calculer \(\theta\) (au dixième).
Non vérifié
Indice
Utilise \(\tan(\theta)=\dfrac{5}{12}\).
Exercice 12. Piège Opp/Adj : Triangle rectangle \(ABC\) rectangle en \(A\). Si on passe de l’angle \(\widehat{B}\) à l’angle \(\widehat{C}\), que deviennent “Opposé” et “Adjacent” ?
Non vérifié
Indice
Opp/Adj dépendent de l’angle choisi.
Exercice 13. Problème : un point est à \(30\) m d’un arbre (distance au sol). L’angle d’élévation vers le sommet est \(22^\circ\). Calculer la hauteur \(h\) de l’arbre (au dixième).
Non vérifié
Indice
Ici \(Adj=30\) et \(Opp=h\) → \(\tan\).
Exercice 14. Problème : une échelle de \(5\) m est posée contre un mur. L’angle entre l’échelle et le sol est \(68^\circ\). Calculer la hauteur atteinte sur le mur (au centième).
Non vérifié
Indice
L’échelle est l’hypoténuse, la hauteur est le côté opposé.
Exercice 15. Problème “distance” : depuis le sol, on vise le sommet d’une tour avec un angle d’élévation \(35^\circ\). La distance horizontale au pied de la tour est \(40\) m. Calculer la hauteur de la tour (au dixième).
Non vérifié
Indice
Opp/Adj → \(\tan\).
Exercice 16. On sait \(\sin(\theta)=0{,}5\) avec \(0^\circ<\theta<90^\circ\). Quelle est la valeur de \(\theta\) ?
Non vérifié
Indice
Angle remarquable.
Exercice 17. On sait \(\cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) avec \(0^\circ<\theta<90^\circ\). Quelle est la valeur de \(\theta\) ?
Non vérifié
Indice
Angle remarquable : \(\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Exercice 18. Un triangle rectangle a \(Adj=14\) cm et \(\theta=40^\circ\). Calculer l’hypoténuse \(Hyp\) (au dixième).
Non vérifié
Indice
Ici \(\cos(\theta)=\dfrac{Adj}{Hyp}\), donc \(Hyp=\dfrac{Adj}{\cos(\theta)}\).
Exercice 19. Un triangle rectangle a \(Opp=6\) cm et \(\theta=25^\circ\). Calculer l’hypoténuse \(Hyp\) (au centième).
Non vérifié
Indice
Utilise \(\sin(\theta)=\dfrac{Opp}{Hyp}\).
Exercice 20. Question “piège calculatrice” : pour les angles en trigonométrie (Brevet), la calculatrice doit être réglée en mode \(\dots\) : DEG (degrés) ou RAD (radians) ?
Non vérifié
Indice
Au Brevet, les angles sont donnés en degrés.