Trigonométrie dans le triangle rectangle

3e Maths — sinus • cosinus • tangente • calculs d’angles et de longueurs • problèmes type Brevet.

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Fiche PREMIUM — Trigonométrie (triangle rectangle) — 3e

Objectif Brevet 19–20/20 : reconnaître hypoténuse / opposé / adjacent, choisir la bonne formule (SOH-CAH-TOA), calculer une longueur ou un angle, et réussir les problèmes (hauteur, distance, pente) sans pièges de calculatrice.

SOH-CAH-TOA Longueurs Angles Arcsin/Arccos/Arctan Pièges Brevet
1) Vocabulaire clé (à écrire dans ta copie)
Hypoténuse

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le plus long côté.

Opposé / Adjacent (par rapport à \(\theta\))
  • Opposé : le côté en face de l’angle \(\theta\).
  • Adjacent : le côté qui touche \(\theta\) (mais qui n’est pas l’hypoténuse).
Piège : “opposé/adjacent” change si on change d’angle.
2) Formules indispensables (SOH-CAH-TOA)
\[ \sin(\theta)=\frac{Opp}{Hyp} \qquad \cos(\theta)=\frac{Adj}{Hyp} \qquad \tan(\theta)=\frac{Opp}{Adj} \]
Mémo : SOH (Sin=Opp/Hyp) • CAH (Cos=Adj/Hyp) • TOA (Tan=Opp/Adj)
Choisir la bonne formule en 2 secondes
  • Si l’hypoténuse est dans l’histoire → pense \(\sin\) ou \(\cos\).
  • Si on ne voit que opposé et adjacent → pense \(\tan\).
3) Calculer une longueur (méthode Brevet)
Méthode en 5 lignes (copiable)
  1. Le triangle est rectangle en \(\dots\), donc on peut utiliser la trigonométrie.
  2. Par rapport à l’angle \(\theta=\dots\), on repère \(Opp=\dots\), \(Adj=\dots\), \(Hyp=\dots\).
  3. On choisit \(\sin\) / \(\cos\) / \(\tan\).
  4. On écrit la formule puis on isole la longueur cherchée.
  5. On calcule à la calculatrice (mode DEG) et on conclut avec l’unité.
Mini-exemple (longueur)

Triangle rectangle, \(\theta=38^\circ\), \(Hyp=10\) cm, on cherche \(Opp\).

\[ \sin(38^\circ)=\frac{Opp}{10} \quad\Rightarrow\quad Opp=10\sin(38^\circ)\approx 10\times 0{,}6157\approx 6{,}16 \]
Conclusion : \(Opp\approx 6{,}2\) cm (au dixième).
4) Calculer un angle (arcsin / arccos / arctan)
Formules “inverse”
\[ \theta=\arcsin\!\left(\frac{Opp}{Hyp}\right) \qquad \theta=\arccos\!\left(\frac{Adj}{Hyp}\right) \qquad \theta=\arctan\!\left(\frac{Opp}{Adj}\right) \]
Calculatrice : toujours en degrés (DEG).
Mini-exemple (angle)

Triangle rectangle, \(Opp=5\) cm, \(Adj=12\) cm. Calculer \(\theta\) (au dixième).

\[ \tan(\theta)=\frac{5}{12} \quad\Rightarrow\quad \theta=\arctan\!\left(\frac{5}{12}\right)\approx \arctan(0{,}4167)\approx 22{,}6^\circ \]
Conclusion : \(\theta \approx 22{,}6^\circ\).
5) Problèmes (hauteur, distance, pente) — le plan gagnant
Checklist “problème”
  • Je fais un schéma clair.
  • Je prouve/repère le triangle rectangle.
  • Je place l’angle donné et j’identifie \(Opp\), \(Adj\), \(Hyp\).
  • Je choisis la formule et j’écris l’égalité avant de calculer.
  • Je donne une réponse avec unité + arrondi demandé.
Mini-problème — hauteur

Un point est à \(25\) m d’un poteau. L’angle d’élévation vaut \(28^\circ\). Estimer la hauteur \(h\) du poteau (au dixième).

Ici \(Adj=25\), \(Opp=h\) donc on utilise \(\tan\).

\[ \tan(28^\circ)=\frac{h}{25} \quad\Rightarrow\quad h=25\tan(28^\circ)\approx 25\times 0{,}5317\approx 13{,}29 \]
Réponse : \(h\approx 13{,}3\) m.
6) Pièges 19–20/20 (à éviter absolument)
  • Mode calculatrice : DEG (degrés) sinon résultats absurdes.
  • Hypoténuse : toujours en face de \(90^\circ\) (et la plus longue).
  • Opp/Adj : dépend de l’angle \(\theta\). Toujours écrire “par rapport à \(\theta\)”.
  • Arrondis : respecter la consigne (dixième, centième…).
  • Unité : toujours conclure : “Donc \(x \approx ...\) cm/m/°”.
  • Choix de formule : si tu as \(Opp\) et \(Hyp\) → \(\sin\) ; \(Adj\) et \(Hyp\) → \(\cos\) ; \(Opp\) et \(Adj\) → \(\tan\).
Astuce Brevet : même sans finir, une formule correcte + côtés bien repérés donne des points.
7) Mémo final (1 écran)
\[ \sin(\theta)=\frac{Opp}{Hyp} \qquad \cos(\theta)=\frac{Adj}{Hyp} \qquad \tan(\theta)=\frac{Opp}{Adj} \] \[ Opp=Hyp\sin(\theta)\qquad Adj=Hyp\cos(\theta)\qquad Opp=Adj\tan(\theta) \] \[ \theta=\arcsin\!\left(\frac{Opp}{Hyp}\right)\quad \theta=\arccos\!\left(\frac{Adj}{Hyp}\right)\quad \theta=\arctan\!\left(\frac{Opp}{Adj}\right) \]