Exercices corrigés de maths 3ème : Trigonométrie dans le triangle rectangle
Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 3ème sur Trigonométrie dans le triangle rectangle. Tu vas t’entraîner sur sinus, cosinus, tangente, calculs d’angles et de longueurs avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
Série progressive (facile → Brevet → pièges 19–20/20). À chaque exercice : figure, identification \(Opp/Adj/Hyp\), choix de \(\sin/\cos/\tan\), puis calcul et arrondi.
Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), on a \(\widehat{B}=35^\circ\) et \(BC=10\) cm (hypoténuse). Calculer \(AB\). Arrondir au dixième.
Le triangle est rectangle en \(A\). Par rapport à l’angle \(\widehat{B}=35^\circ\) : \(BC\) est l’hypoténuse et \(AB\) est le côté adjacent.
\[ \cos(35^\circ)=\frac{AB}{BC} \quad\Rightarrow\quad AB=BC\cos(35^\circ)=10\cos(35^\circ) \] \[ AB\approx 10\times 0{,}8192 \approx 8{,}19\ \text{cm}\approx 8{,}2\ \text{cm} \]Dans le triangle \(DEF\) rectangle en \(D\), \(\widehat{E}=28^\circ\) et \(DE=12\) cm. Calculer \(DF\). Arrondir au dixième.
Par rapport à \(\widehat{E}=28^\circ\), \(DF\) est le côté opposé et \(DE\) est le côté adjacent. Donc on utilise la tangente.
\[ \tan(28^\circ)=\frac{DF}{DE} \quad\Rightarrow\quad DF=DE\tan(28^\circ)=12\tan(28^\circ) \] \[ DF\approx 12\times 0{,}5317 \approx 6{,}38\ \text{cm}\approx 6{,}4\ \text{cm} \]Dans un triangle rectangle, on sait que \(Opp=7\) cm et \(Hyp=11\) cm (par rapport à l’angle \(\theta\)). Calculer \(\theta\) au dixième de degré.
On connaît \(Opp\) et \(Hyp\), donc on utilise le sinus.
\[ \sin(\theta)=\frac{Opp}{Hyp}=\frac{7}{11} \quad\Rightarrow\quad \theta=\arcsin\!\left(\frac{7}{11}\right) \] \[ \theta \approx \arcsin(0{,}6364)\approx 39{,}5^\circ \]Une rampe forme un angle de \(17^\circ\) avec le sol. La rampe mesure \(6{,}5\) m. Calculer la hauteur \(h\) atteinte. Arrondir au centimètre (0,01 m).
On modélise par un triangle rectangle : la rampe est l’hypoténuse (\(Hyp=6{,}5\)). La hauteur \(h\) est le côté opposé à l’angle \(17^\circ\). Donc on utilise le sinus.
\[ \sin(17^\circ)=\frac{h}{6{,}5} \quad\Rightarrow\quad h=6{,}5\sin(17^\circ) \] \[ h\approx 6{,}5\times 0{,}2924 \approx 1{,}9006\ \text{m} \]Dans un triangle rectangle, \(Hyp=13\) cm et un côté vaut \(5\) cm. (a) Calculer l’angle \(\theta\) dont le côté opposé vaut \(5\) cm. (b) Calculer l’autre angle aigu. Arrondir au dixième.
(a) On connaît \(Opp=5\) et \(Hyp=13\), donc :
\[ \theta=\arcsin\!\left(\frac{5}{13}\right)\approx \arcsin(0{,}3846)\approx 22{,}6^\circ \](b) Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires :
\[ \theta_2=90^\circ-\theta \approx 90^\circ-22{,}6^\circ=67{,}4^\circ \]