Exercices corrigés — Trigonométrie Dans Le Triangle Rectangle (3e)

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), \(BC=9\,\text{cm}\) et \(\widehat{ABC}=32^\circ\).

1. Identifier l'hypoténuse.
2. Calculer \(AB\), au dixième de cm près.
3. Calculer \(AC\), au dixième de cm près.

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), \(AB=6,5\,\text{cm}\) et \(\widehat{ABC}=36^\circ\).

1. Calculer \(AC\), au dixième de cm près.
2. Calculer \(BC\), au dixième de cm près.
3. Calculer le périmètre du triangle \(ABC\), au dixième de cm près.

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), on donne \(AB=8\,\text{cm}\) et \(AC=15\,\text{cm}\).

1. Calculer \(BC\).
2. Calculer \(\widehat{ABC}\), au degré près.
3. Calculer \(\widehat{ACB}\), au degré près.

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), on donne \(AB=15\,\text{cm}\) et \(AC=28\,\text{cm}\).

1. Calculer \(BC\), au dixième de cm près.
2. Calculer \(\widehat{ABC}\), au degré près.
3. Calculer \(\widehat{ACB}\), au degré près.

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), on donne \(AB=16\,\text{cm}\) et \(AC=30\,\text{cm}\).

1. Calculer \(BC\).
2. Calculer \(\widehat{ABC}\), au degré près.
3. Calculer \(\widehat{ACB}\), au degré près.

Le quadrilatère \(ABCD\) est un rectangle avec \(AB=9\,\text{cm}\) et \(BC=7\,\text{cm}\).

1. Calculer la diagonale \(AC\), au dixième de cm près.
2. Calculer \(\widehat{BAC}\), au degré près.
3. Calculer le périmètre du triangle \(ABC\), au dixième de cm près.

La face avant d'un toit est modélisée par le triangle isocèle \(ABC\), de base \(BC=9\,\text{m}\) et de côtés \(AB=AC=5,8\,\text{m}\). La hauteur \([AH]\) coupe \([BC]\) en son milieu.

1. Calculer \(BH\), au dixième de m près.
2. Calculer la hauteur \(AH\), au dixième de m près.
3. Calculer l'angle que forme \([AB]\) avec l'horizontale, au degré près.
4. Calculer l'aire de la face triangulaire \(ABC\), au dixième de m² près.

Une longueur inclinée de \(8,1\,\text{m}\) forme un angle de \(58^\circ\) avec l'horizontale.

1. Calculer le dénivelé franchi, au dixième de m près.
2. Calculer la distance horizontale, au dixième de m près.
3. Nommer les deux rapports trigonométriques utilisés.

Une longueur inclinée de \(6,4\,\text{m}\) forme un angle de \(15^\circ\) avec l'horizontale.

1. Calculer le dénivelé franchi, au dixième de m près.
2. Calculer la distance horizontale, au dixième de m près.
3. Nommer les deux rapports trigonométriques utilisés.

Une longueur inclinée de \(20\,\text{m}\) forme un angle de \(35^\circ\) avec l'horizontale.

1. Calculer le dénivelé franchi, au dixième de m près.
2. Calculer la distance horizontale, au dixième de m près.
3. Nommer les deux rapports trigonométriques utilisés.

Dans le triangle \(ABC\), \([AH]\) est la hauteur issue de \(A\). On donne \(AC=5,1\,\text{cm}\), \(BH=1,6\,\text{cm}\) et \(\widehat{ACB}=35^\circ\).

1. Calculer \(AH\), au dixième de cm près.
2. Calculer \(HC\), au dixième de cm près.
3. En déduire \(BC\), au dixième de cm près.
4. Calculer l'aire de \(ABC\), au dixième de cm² près.

Dans le triangle \(ABC\), \([AH]\) est la hauteur issue de \(A\). On donne \(AC=5,8\,\text{cm}\), \(BH=1,5\,\text{cm}\) et \(\widehat{ACB}=49^\circ\).

1. Calculer \(AH\), au dixième de cm près.
2. Calculer \(HC\), au dixième de cm près.
3. En déduire \(BC\), au dixième de cm près.
4. Calculer l'aire de \(ABC\), au dixième de cm² près.

Les triangles \(ABC\) et \(BCD\) sont rectangles respectivement en \(A\) et en \(C\). On donne \(AB=4,8\,\text{cm}\), \(AC=2,9\,\text{cm}\) et \(BD=6,9\,\text{cm}\).

1. Calculer \(BC\), au dixième de cm près.
2. Calculer l'aire de \(ABC\), au dixième de cm² près.
3. Calculer \(CD\), au dixième de cm près.
4. Calculer l'aire de \(BCD\), au dixième de cm² près.

Les triangles \(ABC\) et \(BCD\) sont rectangles respectivement en \(A\) et en \(C\). On donne \(AB=6,9\,\text{cm}\), \(AC=4,3\,\text{cm}\) et \(BD=9,7\,\text{cm}\).

1. Calculer \(BC\), au dixième de cm près.
2. Calculer l'aire de \(ABC\), au dixième de cm² près.
3. Calculer \(CD\), au dixième de cm près.
4. Calculer l'aire de \(BCD\), au dixième de cm² près.

Un observateur se trouve au point \(O\), à \(OP=20,5\,\text{m}\) du pied \(P\) d'un monument vertical. Ses yeux sont au point \(E\), à \(OE=1,7\,\text{m}\) du sol.

Le point \(H\) du monument est à la même hauteur que \(E\). L'angle d'élévation \(\widehat{HEM}\) vaut \(39^\circ\).

1. Calculer \(HM\), au dixième de m près.
2. En déduire la hauteur \(PM\) du monument, au dixième de m près.
3. Compléter : l'angle d'élévation est observé depuis les ______ de l'observateur.

Un observateur se trouve au point \(O\), à \(OP=26\,\text{m}\) du pied \(P\) d'un monument vertical. Ses yeux sont au point \(E\), à \(OE=1,7\,\text{m}\) du sol.

Le point \(H\) du monument est à la même hauteur que \(E\). L'angle d'élévation \(\widehat{HEM}\) vaut \(34^\circ\).

1. Calculer \(HM\), au dixième de m près.
2. En déduire la hauteur \(PM\) du monument, au dixième de m près.
3. Compléter : l'angle d'élévation est observé depuis les ______ de l'observateur.

Un piquet vertical de \(9,2\,\text{m}\) projette une ombre horizontale de \(6,1\,\text{m}\). Les rayons du Soleil sont considérés parallèles.

1. Calculer l'angle d'élévation du Soleil, au degré près.
2. Une personne mesure \(1{,}68\,\text{m}\). Calculer la longueur de son ombre, au dixième de m près.
3. Compléter : les triangles ont un angle droit et le même angle du ______.

Un piquet vertical de \(13,1\,\text{m}\) projette une ombre horizontale de \(8,7\,\text{m}\). Les rayons du Soleil sont considérés parallèles.

1. Calculer l'angle d'élévation du Soleil, au degré près.
2. Une personne mesure \(1{,}68\,\text{m}\). Calculer la longueur de son ombre, au dixième de m près.
3. Compléter : les triangles ont un angle droit et le même angle du ______.

Un piquet vertical de \(7,6\,\text{m}\) projette une ombre horizontale de \(4,8\,\text{m}\). Les rayons du Soleil sont considérés parallèles.

1. Calculer l'angle d'élévation du Soleil, au degré près.
2. Une personne mesure \(1{,}68\,\text{m}\). Calculer la longueur de son ombre, au dixième de m près.
3. Compléter : les triangles ont un angle droit et le même angle du ______.

Un observateur se trouve au point \(O\), à \(OP=29\,\text{m}\) du pied \(P\) d'un monument vertical. Ses yeux sont au point \(E\), à \(OE=1,7\,\text{m}\) du sol.

Le point \(H\) du monument est à la même hauteur que \(E\). L'angle d'élévation \(\widehat{HEM}\) vaut \(35^\circ\).

1. Calculer \(HM\), au dixième de m près.
2. En déduire la hauteur \(PM\) du monument, au dixième de m près.
3. Compléter : l'angle d'élévation est observé depuis les ______ de l'observateur.

Dans \(ABC\) rectangle en \(A\), \(D\in[AC]\). On donne \(AB=5,4\,\text{cm}\), \(AD=2,6\,\text{cm}\) et \(DC=4,9\,\text{cm}\).

1. Calculer \(AC\).
2. Calculer \(BC\), au dixième de cm près.
3. Calculer \(\widehat{ABC}\), au degré près.
4. Calculer \(\widehat{ABD}\), au degré près.
5. Calculer \(\widehat{DBC}\), au degré près.

Dans \(ABC\) rectangle en \(A\), \(D\in[AC]\). On donne \(AB=8,4\,\text{cm}\), \(AD=4,3\,\text{cm}\) et \(DC=6,4\,\text{cm}\).

1. Calculer \(AC\).
2. Calculer \(BC\), au dixième de cm près.
3. Calculer \(\widehat{ABC}\), au degré près.
4. Calculer \(\widehat{ABD}\), au degré près.
5. Calculer \(\widehat{DBC}\), au degré près.

\(ABCD\) est un trapèze rectangle en \(A\) et \(D\), avec \(AB\parallel DC\). On donne \(AD=4,4\,\text{cm}\), \(AB=9\,\text{cm}\) et \(DC=AB-2\,\text{cm}\).

1. Calculer \(DC\).
2. Calculer \(BC\), au dixième de cm près.
3. Calculer l'aire du trapèze, au dixième de cm² près.
4. Calculer l'angle aigu entre \([BC]\) et la base, au degré près.

\(ABCD\) est un trapèze rectangle en \(A\) et \(D\), avec \(AB\parallel DC\). On donne \(AD=3,8\,\text{cm}\), \(AB=10\,\text{cm}\) et \(DC=AB-2\,\text{cm}\).

1. Calculer \(DC\).
2. Calculer \(BC\), au dixième de cm près.
3. Calculer l'aire du trapèze, au dixième de cm² près.
4. Calculer l'angle aigu entre \([BC]\) et la base, au degré près.

Les points \(O^{\prime}\), \(O\) et \(P\) sont alignés dans cet ordre, face à un monument vertical de hauteur \(PM=13\,\text{m}\). On donne \(OP=4,5\,\text{m}\) et \(O^{\prime}O=3,5\,\text{m}\).

1. Calculer \(O^{\prime}P\).
2. Calculer \(\widehat{MOP}\), au degré près.
3. Calculer \(\widehat{MO^{\prime}P}\), au degré près.
4. Compléter : \(\widehat{MOP}\) est ______ à \(\widehat{MO^{\prime}P}\).

Les points \(O^{\prime}\), \(O\) et \(P\) sont alignés dans cet ordre, face à un monument vertical de hauteur \(PM=16\,\text{m}\). On donne \(OP=5,5\,\text{m}\) et \(O^{\prime}O=4,5\,\text{m}\).

1. Calculer \(O^{\prime}P\).
2. Calculer \(\widehat{MOP}\), au degré près.
3. Calculer \(\widehat{MO^{\prime}P}\), au degré près.
4. Compléter : \(\widehat{MOP}\) est ______ à \(\widehat{MO^{\prime}P}\).

Les points \(O^{\prime}\), \(O\) et \(P\) sont alignés dans cet ordre, face à un monument vertical de hauteur \(PM=29\,\text{m}\). On donne \(OP=9,5\,\text{m}\) et \(O^{\prime}O=5,5\,\text{m}\).

1. Calculer \(O^{\prime}P\).
2. Calculer \(\widehat{MOP}\), au degré près.
3. Calculer \(\widehat{MO^{\prime}P}\), au degré près.
4. Compléter : \(\widehat{MOP}\) est ______ à \(\widehat{MO^{\prime}P}\).

Un téléphérique est modélisé par le triangle \(MCT\) rectangle en \(C\). Le pylône vertical a pour hauteur \(CT=19\,\text{m}\) et la distance horizontale est \(CM=45\,\text{m}\).

1. Identifier l'hypoténuse.
2. Calculer la longueur du câble \(MT\), au dixième de m près.
3. Calculer l'angle que fait le câble \([MT]\) avec l'horizontale, au degré près.
4. Compléter : \(CT\) représente la ______ du pylône.

Un téléphérique est modélisé par le triangle \(MCT\) rectangle en \(C\). Le pylône vertical a pour hauteur \(CT=24\,\text{m}\) et la distance horizontale est \(CM=53\,\text{m}\).

1. Identifier l'hypoténuse.
2. Calculer la longueur du câble \(MT\), au dixième de m près.
3. Calculer l'angle que fait le câble \([MT]\) avec l'horizontale, au degré près.
4. Compléter : \(CT\) représente la ______ du pylône.

Un téléphérique est modélisé par le triangle \(MCT\) rectangle en \(C\). Le pylône vertical a pour hauteur \(CT=30\,\text{m}\) et la distance horizontale est \(CM=74\,\text{m}\).

1. Identifier l'hypoténuse.
2. Calculer la longueur du câble \(MT\), au dixième de m près.
3. Calculer l'angle que fait le câble \([MT]\) avec l'horizontale, au degré près.
4. Compléter : \(CT\) représente la ______ du pylône.