Trigonométrie dans le triangle rectangle

3e Maths — sinus • cosinus • tangente • calculs d’angles et de longueurs • problèmes type Brevet.

Cours Exercices Fiche Quiz
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Exercices PREMIUM — Trigonométrie (triangle rectangle) — 3e

Série progressive (facile → Brevet → pièges 19–20/20). À chaque exercice : figure, identification \(Opp/Adj/Hyp\), choix de \(\sin/\cos/\tan\), puis calcul et arrondi.

Longueurs Angles Problèmes Pièges
Mini-rappel (à avoir sous les yeux)
\[ \sin(\theta)=\frac{Opp}{Hyp}\qquad \cos(\theta)=\frac{Adj}{Hyp}\qquad \tan(\theta)=\frac{Opp}{Adj} \]
Calculatrice : mode DEG (degrés). Arrondir selon la consigne.
Exercice 1 — Calculer une longueur (cosinus)

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), on a \(\widehat{B}=35^\circ\) et \(BC=10\) cm (hypoténuse). Calculer \(AB\). Arrondir au dixième.

A B C BC = 10 cm 35° AB = ?
Correction détaillée

Le triangle est rectangle en \(A\). Par rapport à l’angle \(\widehat{B}=35^\circ\) : \(BC\) est l’hypoténuse et \(AB\) est le côté adjacent.

\[ \cos(35^\circ)=\frac{AB}{BC} \quad\Rightarrow\quad AB=BC\cos(35^\circ)=10\cos(35^\circ) \] \[ AB\approx 10\times 0{,}8192 \approx 8{,}19\ \text{cm}\approx 8{,}2\ \text{cm} \]
Réponse : \(AB \approx 8{,}2\) cm.
Exercice 2 — Calculer une longueur (tangente)

Dans le triangle \(DEF\) rectangle en \(D\), \(\widehat{E}=28^\circ\) et \(DE=12\) cm. Calculer \(DF\). Arrondir au dixième.

D E F DE = 12 cm 28° DF = ?
Correction détaillée

Par rapport à \(\widehat{E}=28^\circ\), \(DF\) est le côté opposé et \(DE\) est le côté adjacent. Donc on utilise la tangente.

\[ \tan(28^\circ)=\frac{DF}{DE} \quad\Rightarrow\quad DF=DE\tan(28^\circ)=12\tan(28^\circ) \] \[ DF\approx 12\times 0{,}5317 \approx 6{,}38\ \text{cm}\approx 6{,}4\ \text{cm} \]
Réponse : \(DF \approx 6{,}4\) cm.
Exercice 3 — Retrouver un angle (arcsin)

Dans un triangle rectangle, on sait que \(Opp=7\) cm et \(Hyp=11\) cm (par rapport à l’angle \(\theta\)). Calculer \(\theta\) au dixième de degré.

\(\theta\) Hyp = 11 Opp = 7
Correction détaillée

On connaît \(Opp\) et \(Hyp\), donc on utilise le sinus.

\[ \sin(\theta)=\frac{Opp}{Hyp}=\frac{7}{11} \quad\Rightarrow\quad \theta=\arcsin\!\left(\frac{7}{11}\right) \] \[ \theta \approx \arcsin(0{,}6364)\approx 39{,}5^\circ \]
Réponse : \(\theta \approx 39{,}5^\circ\).
Exercice 4 — Problème (hauteur / distance) — niveau 19–20/20

Une rampe forme un angle de \(17^\circ\) avec le sol. La rampe mesure \(6{,}5\) m. Calculer la hauteur \(h\) atteinte. Arrondir au centimètre (0,01 m).

17° Sol h = ? 6,5 m
Correction détaillée

On modélise par un triangle rectangle : la rampe est l’hypoténuse (\(Hyp=6{,}5\)). La hauteur \(h\) est le côté opposé à l’angle \(17^\circ\). Donc on utilise le sinus.

\[ \sin(17^\circ)=\frac{h}{6{,}5} \quad\Rightarrow\quad h=6{,}5\sin(17^\circ) \] \[ h\approx 6{,}5\times 0{,}2924 \approx 1{,}9006\ \text{m} \]
Réponse : \(h\approx 1{,}90\ \text{m}\) (au centimètre).
Piège : si tu prends \(\tan\), tu utilises \(Opp/Adj\) : ici on n’a pas \(Adj\) → mauvais choix.
Exercice 5 — Piège opposé/adjacent (changer d’angle)

Dans un triangle rectangle, \(Hyp=13\) cm et un côté vaut \(5\) cm. (a) Calculer l’angle \(\theta\) dont le côté opposé vaut \(5\) cm. (b) Calculer l’autre angle aigu. Arrondir au dixième.

\[ \sin(\theta)=\frac{5}{13}\Rightarrow \theta=\arcsin\!\left(\frac{5}{13}\right) \]
Correction détaillée

(a) On connaît \(Opp=5\) et \(Hyp=13\), donc :

\[ \theta=\arcsin\!\left(\frac{5}{13}\right)\approx \arcsin(0{,}3846)\approx 22{,}6^\circ \]

(b) Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires :

\[ \theta_2=90^\circ-\theta \approx 90^\circ-22{,}6^\circ=67{,}4^\circ \]
Réponses : \(\theta\approx 22{,}6^\circ\) et l’autre angle \(\approx 67{,}4^\circ\).