Objectif Brevet : utiliser sinus, cosinus et tangente pour calculer des longueurs et des angles dans un triangle rectangle. On apprend la méthode “SOH-CAH-TOA”, on choisit la bonne formule, puis on calcule proprement (avec la calculatrice en degrés).
On travaille dans un triangle rectangle (un angle vaut \(90^\circ\)). Le côté en face de l’angle droit est l’hypoténuse : c’est le plus long côté.
Dans un triangle rectangle, si on choisit un angle aigu \(\theta\) :
- hypoténuse : le côté opposé à l’angle droit ;
- côté opposé à \(\theta\) : en face de \(\theta\) ;
- côté adjacent à \(\theta\) : touche \(\theta\) (mais ce n’est pas l’hypoténuse).
- Repérer l’angle \(\theta\) (toujours en degrés au Brevet).
- Nommer : hypoténuse, opposé, adjacent (par rapport à \(\theta\)).
- Regarder quelles longueurs on a / quelle longueur on cherche.
- Choisir \(\sin\), \(\cos\) ou \(\tan\) en fonction des côtés impliqués.
- Écrire l’égalité, isoler la longueur, puis calculer à la calculatrice.
Dans le triangle rectangle \(ABC\) rectangle en \(A\), on connaît \(\widehat{B}=40^\circ\) et \(BC=12\) cm (hypoténuse). Calculer \(AB\) (côté adjacent à \(\widehat{B}\)).
Étape 1 : écrire la formule
\[ \cos(40^\circ)=\frac{AB}{BC} \]Étape 2 : isoler \(AB\)
\[ AB=BC\times \cos(40^\circ)=12\cos(40^\circ) \]Étape 3 : calculer
\[ AB \approx 12\times 0{,}7660 \approx 9{,}19\ \text{cm} \]Triangle rectangle \(DEF\) rectangle en \(D\). On connaît \(\widehat{E}=35^\circ\) et \(DE=7\) cm (adjacent à \(\widehat{E}\)). Calculer \(DF\) (opposé à \(\widehat{E}\)).
\[ \tan(35^\circ)=\frac{DF}{DE} \quad\Rightarrow\quad DF=DE\times \tan(35^\circ)=7\tan(35^\circ) \] \[ DF \approx 7\times 0{,}7002 \approx 4{,}90\ \text{cm} \]Pour retrouver un angle, on utilise les fonctions réciproques : \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\).
\[ \sin(\theta)=\frac{Opp}{Hyp}\Rightarrow \theta=\arcsin\!\left(\frac{Opp}{Hyp}\right) \] \[ \cos(\theta)=\frac{Adj}{Hyp}\Rightarrow \theta=\arccos\!\left(\frac{Adj}{Hyp}\right) \] \[ \tan(\theta)=\frac{Opp}{Adj}\Rightarrow \theta=\arctan\!\left(\frac{Opp}{Adj}\right) \]Triangle rectangle. Par rapport à l’angle \(\theta\), on a \(Opp=6\) cm et \(Adj=8\) cm. Calculer \(\theta\) (au dixième de degré).
\[ \tan(\theta)=\frac{6}{8}=0{,}75 \quad\Rightarrow\quad \theta=\arctan(0{,}75) \] \[ \theta \approx 36{,}87^\circ \approx 36{,}9^\circ \]- Faire un schéma et placer l’angle donné.
- Repérer le triangle rectangle (sinon, trigonométrie impossible).
- Nommer Opp/Adj/Hyp par rapport à l’angle.
- Choisir \(\sin\), \(\cos\) ou \(\tan\).
- Écrire la formule, isoler l’inconnue, calculer et conclure avec unité.
Un observateur est à \(18\) m du pied d’un arbre. L’angle d’élévation du sommet vaut \(32^\circ\). Estimer la hauteur \(h\) de l’arbre (au dixième).
Le triangle est rectangle : distance au sol = adjacent, hauteur = opposé.
\[ \tan(32^\circ)=\frac{h}{18} \quad\Rightarrow\quad h=18\tan(32^\circ) \] \[ h\approx 18\times 0{,}6249 \approx 11{,}25\ \text{m} \approx 11{,}3\ \text{m} \]- Calculatrice : mode degrés (DEG), pas RAD.
- Hypoténuse : toujours en face de \(90^\circ\).
- Opposé/adjacent : dépend de l’angle choisi.
- Arrondis : lire la consigne (au dixième, au centième…).
- Unité : toujours écrire cm, m, °… dans la conclusion.