Comme \(AB\leftrightarrow A'B'\), le rapport (de \(ABC\) vers \(A'B'C'\)) vaut :\[k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.\]Donc \(k=\dfrac{3}{2}\).
Dans des triangles semblables, les longueurs homologues sont multipliées par \(k\).\[A'C'=k\times AC=\frac{3}{2}\times 10=15.\]Donc \(A'C'=15\) cm.
Comme \(DE\leftrightarrow D'E'\),\[k=\frac{D'E'}{DE}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}.\]Donc \(k=\dfrac{2}{3}\) (réduction).
Les longueurs homologues sont multipliées par \(k\).\[E'F'=k\times EF=\frac{2}{3}\times 9=6.\]Donc \(E'F'=6\) cm.
Si \(\widehat{A}=\widehat{D}\), alors \(A\leftrightarrow D\). Si \(\widehat{B}=\widehat{E}\), alors \(B\leftrightarrow E\). Le troisième sommet correspond donc : \(C\leftrightarrow F\).
Les homologues sont \(AB\leftrightarrow A'B'\), \(BC\leftrightarrow B'C'\), \(AC\leftrightarrow A'C'\). Donc :\[\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}.\]
Les longueurs sont multipliées par \(k\).\[16\times 1{,}25=20.\]Donc la longueur vaut \(20\) cm.
On a \(\mathcal{A}_{grand}=k^2\mathcal{A}_{petit}\).\[\mathcal{A}_{grand}=3^2\times 7=9\times 7=63.\]Donc \(63\ \text{cm}^2\).
On a \(k^2=\frac{81}{36}=\frac{9}{4}\). Donc \(k=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\) (car \(k>0\)).
Par définition de l’homothétie : \(OA'=k\times OA\).\[OA'=0{,}6\times 15=9.\]Donc \(OA'=9\) cm.
Si \((MN)\parallel(BC)\), les angles correspondants sont égaux, donc \(\triangle AMN \sim \triangle ABC\).
Avec \((MN)\parallel(BC)\),\[\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.\]Donc\[\frac{9}{15}=\frac{AN}{20}.\]Produit en croix : \(9\times 20=15\times AN\) donc \(180=15AN\) et \(AN=\frac{180}{15}=12\).
On trouve \(k\) : \(k=\frac{7{,}5}{5}=1{,}5\). Puis \(B'C'=k\times BC=1{,}5\times 8=12\).
Rapport (du petit vers le grand) : \(k=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}\). Or \(U'W'=k\times UW\), donc \(UW=\frac{30}{\frac{3}{2}}=30\times\frac{2}{3}=20\).
Le petit s’obtient en multipliant les longueurs du grand par \(k\) :\[25\times\frac{4}{5}=25\times 0{,}8=20.\]
Aires : \(\mathcal{A}_{grand}=k^2\mathcal{A}_{petit}\).\[\left(\frac{5}{2}\right)^2\times 8=\frac{25}{4}\times 8=25\times 2=50.\]
On a \(k^2=\frac{98}{24{,}5}=4\). Donc \(k=\sqrt{4}=2\) (car \(k>0\)).
Par homothétie : \(OB'=k\times OB\).\[OB'=1{,}4\times 11=15{,}4.\]Donc \(OB'=15{,}4\) cm.
Dans des triangles semblables : (1) les angles correspondants sont égaux ; (2) les aires sont multipliées par \(k^2\). Donc : « angles, aires ».
Avec \((MN)\parallel(BC)\),\[\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.\]Donc\[\frac{6}{10}=\frac{AN}{15}.\]Produit en croix : \(6\times 15=10\times AN\), soit \(90=10AN\), donc \(AN=9\).
Quiz HARD — Triangles semblables & agrandissements (20 questions)
Objectif Brevet 19–20/20 : côtés homologues • rapport de similitude \(k\) • agrandissement/réduction • Thalès • aires en \(k^2\) • pièges d’ordre et de sens.
Exercice 1. Deux triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont semblables. \(AB\leftrightarrow A'B'\). Données : \(AB=8\) cm, \(A'B'=12\) cm. Calculer \(k\) (de \(ABC\) vers \(A'B'C'\)).
Non vérifié
Indice
Utilise \(k=\dfrac{A'B'}{AB}\).
Exercice 2. Avec \(k=\dfrac{3}{2}\) (question 1) et \(AC=10\) cm, \(AC\leftrightarrow A'C'\). Calculer \(A'C'\).
Non vérifié
Indice
Longueurs multipliées par \(k\).
Exercice 3. Deux triangles semblables : \(DE=18\) cm est homologue de \(D'E'=12\) cm. Calculer \(k\) (de \(DEF\) vers \(D'E'F'\)).
Non vérifié
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Ici on passe du grand au petit : \(k=\dfrac{D'E'}{DE}\).
Exercice 4. Avec \(k=\dfrac{2}{3}\) et \(EF=9\) cm, \(EF\leftrightarrow E'F'\). Calculer \(E'F'\).
Non vérifié
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Multiplier \(9\) par \(\dfrac{2}{3}\).
Exercice 5. On sait \(\widehat{A}=\widehat{D}\) et \(\widehat{B}=\widehat{E}\). Compléter : \(A\leftrightarrow\dots\), \(B\leftrightarrow\dots\), \(C\leftrightarrow\dots\).
Non vérifié
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Le 3e sommet correspond automatiquement.
Exercice 6. Compléter : si \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\) avec \(A\leftrightarrow A'\), \(B\leftrightarrow B'\), \(C\leftrightarrow C'\), alors \(\dfrac{AB}{\dots}=\dfrac{BC}{\dots}=\dfrac{AC}{\dots}\).
Non vérifié
Indice
Mettre les homologues en face.
Exercice 7. Rapport \(k=1{,}25\) (du petit vers le grand). Un côté du petit mesure \(16\) cm. Longueur du côté homologue du grand ?
Non vérifié
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Multiplier par \(1{,}25\).
Exercice 8. Piège aires : \(k=3\) (du petit vers le grand). L’aire du petit triangle vaut \(7\ \text{cm}^2\). Aire du grand ?
Non vérifié
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Aires multipliées par \(k^2\).
Exercice 9. Deux triangles semblables ont des aires \(36\ \text{cm}^2\) et \(81\ \text{cm}^2\) (du premier vers le second : agrandissement). Trouver \(k\).
Non vérifié
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Utilise \(k^2=\dfrac{81}{36}\).
Exercice 10. Homothétie de centre \(O\), rapport \(k=0{,}6\). Si \(OA=15\) cm, calculer \(OA'\).
Non vérifié
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\(OA'=k\times OA\).
Exercice 11. Dans \(ABC\), \(M\in[AB]\), \(N\in[AC]\) et \((MN)\parallel(BC)\). Compléter : \(\triangle AMN \sim \triangle\,\dots\)
Non vérifié
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Thalès → triangles semblables.
Exercice 12. Même figure. Données : \(AB=15\) cm, \(AM=9\) cm, \(AC=20\) cm. Calculer \(AN\).
Non vérifié
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Utilise \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\).
Exercice 13. Triangles semblables : \(AB=5\) cm, \(A'B'=7{,}5\) cm, \(BC=8\) cm (homologue de \(B'C'\)). Calculer \(B'C'\).
Non vérifié
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Calcule \(k=\dfrac{A'B'}{AB}\).
Exercice 14. Piège « inverse » : \(U'V'=24\) cm homologue de \(UV=16\) cm et \(U'W'=30\) cm homologue de \(UW\). Calculer \(UW\).
Non vérifié
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Trouver \(k\) puis diviser.
Exercice 15. Réduction de rapport \(k=\dfrac{4}{5}\) (du grand vers le petit). Un côté du grand vaut \(25\) cm. Longueur du côté homologue du petit ?
Non vérifié
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Multiplier \(25\) par \(\dfrac{4}{5}\).
Exercice 16. Agrandissement : \(k=\dfrac{5}{2}\). Aire du petit : \(8\ \text{cm}^2\). Aire du grand ?
Non vérifié
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Multiplier par \(k^2\).
Exercice 17. Aires : \(\mathcal{A}_{grand}=98\ \text{cm}^2\), \(\mathcal{A}_{petit}=24{,}5\ \text{cm}^2\). On passe du petit au grand. Trouver \(k\).
Non vérifié
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Calcule \(k^2=\dfrac{98}{24{,}5}\).
Exercice 18. Homothétie centre \(O\), rapport \(k=1{,}4\). Si \(OB=11\) cm, calculer \(OB'\).
Non vérifié
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Multiplier par \(1{,}4\).
Exercice 19. Compléter par les mots \("angles"\) ou \("aires"\) : (1) Les \_\_\_ correspondants sont égaux. (2) Les \_\_\_ sont multipliées par \(k^2\).
Non vérifié
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Un mot pour chaque phrase, dans l’ordre.
Exercice 20. Thalès : \((MN)\parallel(BC)\), \(AM=6\) cm, \(AB=10\) cm, \(AC=15\) cm. Calculer \(AN\).
Non vérifié
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Utilise \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\).