Objectif Brevet : reconnaître des triangles semblables, identifier les côtés homologues, calculer des longueurs avec le rapport de similitude, et relier tout ça à l’homothétie (agrandissement / réduction). Attention aux pièges : homologues, sens du rapport, et aires.
Deux triangles sont semblables s’ils ont la même forme : leurs angles « correspondent » et leurs côtés se déduisent par un même coefficient.
Les côtés homologues sont les côtés qui se correspondent dans les deux triangles (même place, en face des angles correspondants).
C’est un nombre positif \(k\) qui « multiplie » toutes les longueurs d’un triangle pour obtenir l’autre.
Si deux triangles ont deux angles égaux deux à deux, alors ils sont semblables.
\[ \widehat{A}=\widehat{A'} \ \text{et}\ \widehat{B}=\widehat{B'} \quad \Rightarrow \quad \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \]Si les trois rapports des côtés correspondants sont égaux, alors les triangles sont semblables.
\[ \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'} \]Si des droites sont parallèles, alors on obtient des triangles semblables et des rapports de longueurs.
\[ (MN)\parallel(BC)\quad\Rightarrow\quad \triangle AMN \sim \triangle ABC \] \[ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC} \]Si \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\) et si \(AB\) est homologue de \(A'B'\), etc., alors il existe \(k>0\) tel que :
\[ \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k \]- si \(k>1\) : agrandissement ;
- si \(0
- Associer les angles égaux → déterminer les côtés homologues.
- Écrire les rapports avec des côtés homologues dans le même ordre.
- Trouver \(k\), puis calculer la longueur manquante.
Quand on passe d’un triangle à un triangle semblable avec rapport \(k\), toutes les longueurs sont multipliées par \(k\).
\[ A'B' = k \times AB,\quad B'C' = k \times BC,\quad A'C' = k \times AC \]Les aires sont multipliées par \(k^2\) (et pas par \(k\)).
\[ \mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A} \]Une homothétie est une transformation définie par un centre \(O\) et un rapport \(k>0\). Elle envoie chaque point \(A\) sur un point \(A'\) aligné avec \(O\) et \(A\), tel que :
Si un triangle est l’image d’un autre par une homothétie, alors les deux triangles sont semblables et le rapport de similitude est exactement le rapport \(k\) de l’homothétie.
On sait que \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\) et que \(AB\) est homologue de \(A'B'\). Données : \(AB=4\) cm et \(A'B'=6\) cm. Calculer \(k\) puis \(A'C'\) si \(AC=10\) cm.
Étape 1 : calcul de \(k\)
\[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \]Étape 2 : appliquer \(A'C'=k\times AC\)
\[ A'C'=\frac{3}{2}\times 10=15\ \text{cm} \]Deux triangles semblables ont \(BC=12\) cm et \(B'C'=9\) cm, avec \(BC\) homologue de \(B'C'\). Trouver le coefficient de réduction de \(\triangle ABC\) vers \(\triangle A'B'C'\), puis calculer \(A'B'\) si \(AB=10\) cm et \(AB\) homologue de \(A'B'\).
\[ k=\frac{B'C'}{BC}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4} \] \[ A'B'=k\times AB=\frac{3}{4}\times 10=7{,}5\ \text{cm} \]Deux triangles sont semblables avec un rapport \(k=2\). L’aire du petit triangle vaut \(6\ \text{cm}^2\). Donner l’aire du grand triangle.
\[ \mathcal{A}_{grand}=k^2\times \mathcal{A}_{petit}=2^2\times 6=24\ \text{cm}^2 \]- Erreur d’homologues : toujours associer d’abord les angles (ou la position) avant d’écrire des rapports.
- Ordre des rapports : écrire les trois rapports dans le même sens (ex : triangle 2 / triangle 1 partout).
- Aires : ce n’est pas \(\times k\) mais \(\times k^2\).
- Thalès : sans parallélisme, pas de Thalès.