Objectif Brevet : repérer les homologues, écrire les rapports dans le bon sens, calculer des longueurs avec \(k\), et traiter le piège des aires. Corrigés complets et rédigés.
Deux triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont semblables.
On sait que \(AB\) est homologue de \(A'B'\).
Données : \(AB=6\) cm et \(A'B'=9\) cm.
1) Calculer le rapport de similitude \(k\) (de \(ABC\) vers \(A'B'C'\)).
2) Calculer \(A'C'\) si \(AC=8\) cm et \(AC\) est homologue de \(A'C'\).
Comme \(AB\) correspond à \(A'B'\), le rapport de similitude (de \(ABC\) vers \(A'B'C'\)) est :
\[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2} \]On applique ensuite le même coefficient à la longueur homologue \(AC\) :
\[ A'C' = k \times AC = \frac{3}{2}\times 8 = 12 \ \text{cm} \]
Les triangles \(DEF\) et \(D'E'F'\) sont semblables.
\(DE\) est homologue de \(D'E'\).
Données : \(DE=14\) cm, \(D'E'=10{,}5\) cm, et \(EF=9\) cm (homologue de \(E'F'\)).
1) Calculer \(k\) (de \(DEF\) vers \(D'E'F'\)).
2) Calculer \(E'F'\).
Le rapport (de \(DEF\) vers \(D'E'F'\)) est :
\[ k=\frac{D'E'}{DE}=\frac{10{,}5}{14}=\frac{3}{4} \]Comme \(EF\) est homologue de \(E'F'\), on multiplie \(EF\) par \(k\) :
\[ E'F' = k \times EF = \frac{3}{4}\times 9 = 6{,}75 \ \text{cm} \]
On sait que \(\widehat{A}=\widehat{D}\) et \(\widehat{B}=\widehat{E}\).
1) Écrire la correspondance des sommets.
2) Donner les couples de côtés homologues.
3) Compléter : \(\triangle ABC \sim \triangle \dots\)
Si \(\widehat{A}=\widehat{D}\), alors le sommet \(A\) correspond à \(D\). Si \(\widehat{B}=\widehat{E}\), alors \(B\) correspond à \(E\). Le troisième sommet correspond donc : \(C \leftrightarrow F\).
Donc les côtés homologues sont :
\[ AB \leftrightarrow DE,\quad BC \leftrightarrow EF,\quad AC \leftrightarrow DF \]On a \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\) avec \(A \leftrightarrow A'\), \(B \leftrightarrow B'\), \(C \leftrightarrow C'\). Compléter avec des rapports corrects (même sens partout) :
Les côtés homologues sont \(AB \leftrightarrow A'B'\), \(BC \leftrightarrow B'C'\), \(AC \leftrightarrow A'C'\). Donc :
\[ \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'} \]Et si on inverse tout (on garde le même sens partout) :
\[ \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC} \]Deux triangles semblables \(ABC\) et \(A'B'C'\) vérifient : \(AB=7\) cm, \(BC=5\) cm, \(A'B'=10{,}5\) cm et \(B'C'\) est homologue de \(BC\). Calculer \(B'C'\).
Le coefficient (de \(ABC\) vers \(A'B'C'\)) s’obtient avec un couple de côtés homologues :
\[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{10{,}5}{7}=1{,}5 \]Comme \(BC\) correspond à \(B'C'\), on multiplie \(BC\) par \(k\) :
\[ B'C' = k \times BC = 1{,}5 \times 5 = 7{,}5 \ \text{cm} \]Les triangles \(RST\) et \(R'S'T'\) sont semblables. On sait que \(R'S'=12\) cm est homologue de \(RS\) et que \(RS=8\) cm. On sait aussi que \(R'T'=18\) cm est homologue de \(RT\). Calculer \(RT\).
Ici, on veut retrouver une longueur du triangle de départ (le « petit »). On utilise donc :
\[ R'T' = k \times RT \quad \Rightarrow \quad RT=\frac{R'T'}{k} \] \[ RT=\frac{18}{\frac{3}{2}}=18\times\frac{2}{3}=12 \ \text{cm} \]Deux triangles semblables ont un rapport de similitude \(k=\dfrac{5}{3}\) (du petit vers le grand). L’aire du petit triangle vaut \(27\ \text{cm}^2\). Calculer l’aire du grand triangle.
Quand les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\).
\[ \mathcal{A}_{grand}=k^2 \times \mathcal{A}_{petit} =\left(\frac{5}{3}\right)^2 \times 27 =\frac{25}{9}\times 27 \]On calcule :
\[ \frac{25}{9}\times 27 = 25 \times \frac{27}{9} = 25\times 3 = 75 \]Deux triangles semblables ont des aires \( \mathcal{A}_{1}=48\ \text{cm}^2\) et \( \mathcal{A}_{2}=75\ \text{cm}^2\). On passe du triangle 1 au triangle 2 par un agrandissement. Déterminer le rapport de similitude \(k\).
Pour les aires, on a :
\[ \mathcal{A}_{2}=k^2 \times \mathcal{A}_{1} \quad \Rightarrow \quad k^2=\frac{\mathcal{A}_{2}}{\mathcal{A}_{1}}=\frac{75}{48}=\frac{25}{16} \]On prend la racine carrée (car \(k>0\)) :
\[ k=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4} \]On effectue une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k=1{,}8\). On sait que \(OA=5\) cm. Calculer \(OA'\), image de \(OA\) par cette homothétie.
Par définition de l’homothétie, les longueurs à partir du centre sont multipliées par \(k\) :
\[ OA' = k \times OA = 1{,}8 \times 5 = 9 \]
Dans un triangle \(ABC\), \(M\) est un point de \([AB]\) et \(N\) est un point de \([AC]\).
On sait que \((MN)\parallel(BC)\).
1) Montrer que les triangles \(AMN\) et \(ABC\) sont semblables.
2) Si \(AB=12\) cm, \(AM=8\) cm, \(AC=15\) cm, calculer \(AN\).
1) Triangles semblables : Comme \((MN)\parallel(BC)\), on a :
- \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) (angles correspondants, droites parallèles)
- \(\widehat{ANM}=\widehat{ACB}\) (angles correspondants, droites parallèles)
Donc les triangles \(AMN\) et \(ABC\) ont deux angles égaux, ils sont semblables :
\[ \triangle AMN \sim \triangle ABC \]2) Calcul de \(AN\) : Les côtés homologues sont \(AM \leftrightarrow AB\) et \(AN \leftrightarrow AC\). On écrit le rapport dans le même sens :
\[ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC} \] \[ \frac{8}{12}=\frac{AN}{15} \]On résout par produit en croix :
\[ 8\times 15 = 12\times AN \] \[ 120 = 12\times AN \quad \Rightarrow \quad AN = \frac{120}{12}=10 \]Les triangles \(UVW\) et \(U'V'W'\) sont semblables. On sait que \(U'V'=21\) cm est homologue de \(UV=14\) cm. Calculer \(UW\) si \(U'W'=30\) cm est homologue de \(UW\).
Deux triangles semblables ont un rapport de similitude \(k\) (du petit vers le grand).
On sait que l’aire du grand triangle est \(196\ \text{cm}^2\) et l’aire du petit triangle est \(49\ \text{cm}^2\).
1) Déterminer \(k\).
2) Si un côté du petit triangle mesure \(6\) cm, donner la longueur du côté homologue du grand triangle.
Pour les aires :
\[ \mathcal{A}_{grand}=k^2\times \mathcal{A}_{petit} \Rightarrow k^2=\frac{196}{49}=4 \Rightarrow k=2 \]Les longueurs sont multipliées par \(k\), donc :
\[ 6 \times 2 = 12 \]- Repérer les angles → déduire les homologues.
- Écrire les rapports dans le même sens partout.
- Longueurs : \(\times k\) • Aires : \(\times k^2\).
- Thalès = triangles semblables si parallélisme.