Exercices corrigés — Triangles Semblables Et Agrandissements (3e)

Deux triangles sont dits semblables lorsque :

1. leurs angles correspondants sont égaux et leurs côtés homologues sont proportionnels
2. leurs trois côtés ont exactement les mêmes longueurs
3. leurs aires sont nécessairement égales
4. ils sont toujours rectangles

Le triangle ABC a pour côtés 5 cm, 8 cm et 9 cm. Le triangle DEF lui est semblable et le côté homologue à 5 cm mesure 7,5 cm.

1. Déterminer le rapport de similitude de ABC vers DEF.
2. Calculer la longueur homologue à 8 cm.
3. Calculer la longueur homologue à 9 cm.

Un triangle d’aire \(7\,\text{cm}^2\) est agrandi avec un rapport \(k=2\). Déterminer l’aire de l’image.

Vrai ou faux ? Les triangles de côtés 10, 15, 20 et 6, 9, 12 sont semblables.

Une homothétie de centre O et de rapport 3 transforme A en A′ et B en B′. On sait \(OA=2{,}5\) cm et \(OB=4{,}5\) cm.

1. Calculer \(OA′\).
2. Calculer \(OB′\).
3. Donner le facteur multiplicateur des aires.

Les triangles ABC et DEF ont pour côtés respectifs 6, 8, 10 et 9, 12, 15.

1. Déterminer le coefficient de ABC vers DEF.
2. Calculer le périmètre de ABC.
3. Calculer le périmètre de DEF.
4. Déterminer le rapport des aires \(\mathcal A_{DEF}/\mathcal A_{ABC}\).

Les aires de deux triangles semblables valent \(25\,\text{cm}^2\) et \(81\,\text{cm}^2\). Déterminer le coefficient de passage du petit au grand.

Les côtés d’un triangle sont 8 cm, 15 cm et 17 cm. Ceux d’un second sont 25,5 cm, 12 cm et 22,5 cm.

1. Ranger les côtés du second triangle dans l’ordre croissant.
2. Déterminer le coefficient du premier vers le second.
3. Donner le côté homologue à 15 cm.
4. Conclure si les triangles sont semblables.

Une photo rectangulaire de 14 cm sur 9 cm est agrandie sans déformation pour mesurer 21 cm de longueur.

1. Calculer le coefficient d’agrandissement.
2. Calculer la nouvelle largeur.
3. Calculer le nouveau périmètre.
4. Donner le facteur multiplicateur des aires.

Dans une homothétie de centre O, A est envoyé sur A′ avec \(OA=5\) cm et \(OA′=12{,}5\) cm. Un second point B vérifie \(OB=7\) cm et son image est B′.

1. Déterminer le rapport de l’homothétie.
2. Calculer \(OB′\).
3. Donner le facteur multiplicateur des aires.

On compare deux triangles dont les côtés mesurent respectivement 7,2 cm ; 9,6 cm ; 12 cm et 10,8 cm ; 14,4 cm ; 18 cm.

1. Calculer le rapport des plus petits côtés.
2. Calculer le rapport des côtés moyens.
3. Calculer le rapport des plus grands côtés.
4. Conclure sur la similitude des deux triangles.

Dans le triangle ABC, D appartient à [AB], E à [AC] et \(DE\parallel BC\). On donne \(AB=15\) cm, \(AD=10\) cm, \(AC=18\) cm et \(BC=24\) cm.

1. Déterminer le rapport de réduction de ABC vers ADE.
2. Calculer AE.
3. Calculer DE.
4. Déterminer le rapport des aires ADE/ABC.

A, O, B sont alignés et C, O, D sont alignés. Les segments \(AC\) et \(BD\) sont parallèles. On donne \(AO=5\) cm, \(CO=7{,}5\) cm, \(BO=8\) cm, \(DO=12\) cm et \(AC=6\) cm.

1. Calculer \(BO/AO\).
2. Calculer \(DO/CO\).
3. Justifier que AOC et BOD sont semblables.
4. Calculer BD.
5. Déterminer le rapport des aires BOD/AOC.

Deux triangles semblables ont des périmètres de 32 cm et 48 cm. L’aire du plus grand vaut 90 cm².

1. Déterminer le coefficient du petit triangle vers le grand.
2. Déterminer le rapport des aires grand/petit.
3. Calculer l’aire du petit triangle.

Deux triangles semblables vérifient : un côté de \(x+2\) cm correspond à 18 cm, tandis qu’un côté de 10 cm correspond à 15 cm. Un troisième côté du premier vaut 12 cm.

1. Déterminer le rapport du second sur le premier.
2. Calculer x.
3. Calculer le troisième côté du second triangle.
4. Calculer le périmètre du premier triangle.

Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit 9 cm et 12 cm. Un triangle semblable a le côté homologue à 9 cm égal à 12 cm.

1. Calculer l’hypoténuse du petit triangle.
2. Déterminer le coefficient petit vers grand.
3. Calculer l’autre côté de l’angle droit du grand triangle.
4. Calculer l’hypoténuse du grand triangle.

Un piquet de 1,8 m projette une ombre de 2,4 m. Au même instant, un arbre projette une ombre de 14 m.

1. Déterminer le rapport hauteur/ombre du petit triangle.
2. Calculer la hauteur de l’arbre.
3. Déterminer le rapport des aires grand/petit.

Dans un repère, \(A(3;-2)\), \(B(-2;4)\) et \(C(1;5)\). Une homothétie de centre \(O(0;0)\) et de rapport \(-2\) transforme ces points.

1. Calculer les coordonnées de A′.
2. Calculer les coordonnées de B′.
3. Calculer les coordonnées de C′.
4. Donner le facteur multiplicateur des aires.

Une homothétie de centre O et de rapport \(-\dfrac43\) transforme A situé à 6 cm de O en A′. Un second point B vérifie \(OB=9\) cm.

1. Calculer \(OA′\).
2. Calculer \(OB′\).
3. Donner le facteur multiplicateur des aires.

On compare les triangles de côtés 6, 10, 14 et 9, 15, 20.

1. Calculer \(9/6\).
2. Calculer \(15/10\).
3. Calculer \(20/14\).
4. Conclure si les triangles sont semblables.

ABC est rectangle en A avec \(AB=12\) cm et \(AC=16\) cm. DEF est semblable à ABC et le côté DE, homologue de AB, mesure 18 cm.

1. Calculer BC.
2. Déterminer le coefficient ABC vers DEF.
3. Calculer DF, homologue de AC.
4. Calculer EF, homologue de BC.
5. Calculer l’aire de DEF.

Une enseigne a la forme du triangle ABC. Une barre DE relie D sur [AB] à E sur [AC] et est parallèle à BC. On connaît \(AB=18\) cm, \(AD=12\) cm, \(AC=21\) cm, \(BC=24\) cm et l’aire totale 126 cm².

1. Déterminer le rapport de réduction ABC vers ADE.
2. Calculer AE.
3. Calculer DE.
4. Calculer l’aire de ADE.
5. Calculer l’aire du quadrilatère DBCE.

Dans la configuration, A, O, B sont alignés, C, O, D sont alignés et \(AC\parallel BD\). On donne \(AO=6\) cm, \(CO=9\) cm, \(BO=10\) cm, \(DO=15\) cm et \(AC=7{,}2\) cm. L’aire du triangle AOC vaut 27 cm².

1. Déterminer le coefficient AOC vers BOD.
2. Calculer BD.
3. Donner le rapport des périmètres BOD/AOC.
4. Donner le rapport des aires BOD/AOC.
5. Calculer l’aire de BOD.

Une personne dont les yeux sont à 1,7 m du sol place un miroir au sol. La distance personne-miroir est 2,5 m et la distance miroir-bâtiment est 20 m. Les triangles formés par les rayons visuels sont semblables.

1. Déterminer le coefficient petit triangle vers grand triangle.
2. Calculer la hauteur du bâtiment.
3. Donner le rapport des aires grand/petit.

Dans un repère, \(A(3;-2)\), \(B(-1;5)\), \(C(4;1)\). On applique l’homothétie de centre \(O(0;0)\) et de rapport \(-2\).

1. Calculer A′.
2. Calculer B′.
3. Calculer C′.
4. Donner le facteur multiplicateur des aires.

Un triangle a pour côtés \(x+2\), \(x+5\) et \(x+8\). Un triangle semblable a pour côtés homologues 14 cm, 20 cm et 26 cm.

1. Déterminer le rapport du second au premier à partir des deux premiers couples.
2. Écrire l’équation avec \(x+2\).
3. Calculer x.
4. Donner les trois côtés du premier triangle.
5. Vérifier le troisième côté image.

ABC est rectangle en A. La hauteur AH coupe l’hypoténuse BC en H. On donne \(BH=16\) cm et \(HC=9\) cm.

1. Calculer BC.
2. Calculer AH.
3. Calculer AB.
4. Calculer AC.
5. Calculer l’aire de ABC.

Une maquette tridimensionnelle est obtenue par une homothétie de rapport \(\dfrac43\). Avant transformation, une longueur vaut 9 cm, une aire vaut 45 cm² et un volume vaut 81 cm³.

1. Calculer la longueur image.
2. Calculer l’aire image.
3. Donner le facteur multiplicateur des volumes.
4. Calculer le volume image.

A, O, B sont alignés, C, O, D sont alignés et \(AC\parallel BD\). On donne \(AO=8\) cm, \(BO=10\) cm, \(CO=12\) cm et \(\mathcal A(AOC)=40\) cm².

1. Déterminer le coefficient AOC vers BOD.
2. Calculer DO.
3. Déterminer le rapport des aires BOD/AOC.
4. Calculer l’aire de BOD.

ABC est rectangle en A avec \(AB=12\) cm et \(AC=16\) cm. La hauteur issue de A coupe BC en H. Puis une homothétie de centre A et de rapport \(-\dfrac34\) transforme ABC en AB′C′.

1. Calculer BC.
2. Calculer BH.
3. Calculer HC.
4. Calculer AH.
5. Calculer AB′ et AC′.
6. Calculer le périmètre du triangle image.
7. Calculer l’aire du triangle image.