Fiche PREMIUM — Transformations du plan (3e • Brevet)
Translation • Rotation • Homothétie • Symétries — méthodes, propriétés, pièges et constructions rapides.
Invariants
Constructions
Frises / Pavages
Pièges Brevet
1) Invariants (ce qui “ne change pas”)
| Transformation | Conserve | Change | Reconnaître vite |
|---|---|---|---|
| Translation | Longueurs • Angles • Parallélisme • Aires | Position | \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}\) (même vecteur) |
| Rotation | Longueurs • Angles • Parallélisme • Aires | Orientation (tourne) | \(OA=OA'\) et \(\widehat{AOA'}=\theta\) |
| Symétrie axiale | Longueurs • Angles • Aires | Orientation (miroir) | L’axe est la médiatrice de \([AA']\) |
| Symétrie centrale | Longueurs • Angles • Aires | Orientation (demi-tour) | \(O\) milieu de \([AA']\) (rotation \(180^\circ\)) |
| Homothétie | Angles • Alignement • Parallélisme | Longueurs × \(|k|\) • Aires × \(k^2\) | \(O,A,A'\) alignés et \(\overrightarrow{OA'}=k\overrightarrow{OA}\) |
Isométries = translation + rotation + symétries : elles conservent les longueurs et les angles.
2) Formules express (repère / coordonnées)
Translation de vecteur \(\vec{u}=(a; b)\)
Si \(A(x; y)\) alors : \[ A'(x+a;\ y+b) \]
On ajoute \((a; b)\) aux coordonnées.
Symétrie centrale de centre \(O(x_O; y_O)\)
Si \(A(x; y)\) et \(A'(x'; y')\) : \[ \begin{aligned} x' &= 2x_O - x \\ y' &= 2y_O - y \end{aligned} \]
Parce que \(O\) est le milieu de \([AA']\).
Rotation / homothétie en repère (idée)
- En 3e, on fait surtout des rotations/homothéties par construction (compas/rapporteur), pas par calcul.
- Cas rapide : rotation \(180^\circ\) = symétrie centrale (formule ci-dessus).
3) Constructions (méthodes Brevet)
A) Image par translation \(T_{\vec{u}}\)
- Sur un sommet \(A\), reproduire le vecteur \(\vec{u}\) (même direction, même sens, même longueur).
- On obtient \(A'\). Refaire pour les autres sommets, puis relier.
B) Image par rotation \(R_{O,\theta}\)
- Tracer le cercle de centre \(O\) passant par \(A\) (rayon \(OA\)).
- À partir de \([OA)\), placer l’angle \(\theta\) (sens anti-horaire si \(\theta>0\)).
- Sur la demi-droite obtenue, placer \(A'\) sur le cercle : \(OA'=OA\).
C) Image par homothétie \(H_{O,k}\)
- Tracer la droite \((OA)\).
- Placer \(A'\) tel que \(\overline{OA'}=|k|\cdot \overline{OA}\) (même côté si \(k>0\), côté opposé si \(k<0\)).
- Refaire pour chaque sommet puis relier.
4) Checklist — Reconnaître vite
Translation
- \(AA'\parallel BB'\)
- \(AA'=BB'\)
- même sens
Rotation
- même centre \(O\)
- \(OA=OA'\)
- angle \(\theta\) constant
Homothétie
- \(O,A,A'\) alignés
- \(\overline{OA'}=|k|\cdot\overline{OA}\)
- segments images parallèles
Symétrie axiale
- axe = médiatrice de \([AA']\)
- points à égale distance de l’axe
5) Pièges Brevet (à éviter)
- Homothétie : ne pas oublier que le rapport peut être négatif (image de l’autre côté du centre).
- Rotation : attention au sens (horaire / anti-horaire).
- Translation : reproduire le vecteur = direction + sens + longueur.
- Pavages : autour d’un point, la somme des angles doit faire \(360^\circ\).
Réflexe : avant de conclure, vérifie l’invariant principal (longueur/angle/alignement).
6) Frises / Pavages (lecture rapide)
Frise
Motif répété dans une direction : toujours au moins une translation.
Chercher le “pas” : distance entre deux motifs identiques.
Pavage
Recouvre le plan sans trous/chevauchements. Souvent expliqué par translations + rotations.
- Test : autour d’un sommet, somme des angles = \(360^\circ\).
Résumé (1 minute)
- Translation : même vecteur \(\overrightarrow{AA'}\).
- Rotation : même centre, \(OA=OA'\), angle \(\theta\).
- Homothétie : alignement avec le centre, longueurs × \(|k|\).
- Isométries : longueurs et angles conservés (translation/rotation/symétries).