Translation • Rotation • Homothétie • Symétries • Frises/pavages • Constructions. Niveau exigeant : pièges de sens, rapport négatif, enchaînements, justifications “propres”.
- Justifier avec les invariants : longueurs/angles/alignements/parallélisme.
- En construction, écrire les étapes (compas/rapporteur/règle) sans sauter d’étape.
- Si coordonnées : soigner la notation \((x; y)\).
Dans un repère, on considère la translation \(T_{\vec{u}}\) de vecteur \(\vec{u}=(-4; 3)\). Soient \(A(5; -2)\), \(B(-1; 4)\), \(C(2; 1)\).
- Calculer les images \(A'\), \(B'\), \(C'\).
- Montrer que \(AB= A'B'\) et que \((AB)\parallel(A'B')\).
- En déduire la nature de \(ABA'B'\).
1) Translation : on ajoute le vecteur \((-4; 3)\). \[ \begin{aligned} A'(5-4;\ -2+3)&=(1;\ 1)\\ B'(-1-4;\ 4+3)&=(-5;\ 7)\\ C'(2-4;\ 1+3)&=(-2;\ 4) \end{aligned} \]
2) Une translation est une isométrie : elle conserve les longueurs et le parallélisme. Donc \(AB=A'B'\) et \((AB)\parallel(A'B')\).
3) Dans le quadrilatère \(ABA'B'\), on a une paire de côtés opposés parallèles et égaux (\(AB\) et \(A'B'\)). Donc \(ABA'B'\) est un parallélogramme.
On a deux points \(A\) et \(A'\), deux points \(B\) et \(B'\). On sait que \(AA'=BB'\) et que \(\widehat{(AA');(BB')}=0^\circ\) (donc \(AA'\parallel BB'\)). De plus, \(AB=A'B'\).
- Peut-on affirmer que la transformation est une translation ? Justifier.
- On observe sur la figure (non fournie ici) que \(AA'\) et \(BB'\) n’ont pas le même sens. Quelle transformation est plausible ?
- Expliquer comment retrouver le centre \(O\) de la rotation à partir de \(A,A',B,B'\).
- Non : pour une translation il faut \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}\) (même direction, même longueur et même sens). Ici on ne sait pas le sens, donc impossible de conclure.
- Si le sens n’est pas le même, ce n’est pas une translation. Une rotation est plausible : elle conserve les longueurs (\(AB=A'B'\)) mais “tourne” la figure.
- Pour une rotation de centre \(O\) : \(OA=OA'\) et \(OB=OB'\). Donc \(O\) est l’intersection des médiatrices de \([AA']\) et \([BB']\). Construction : tracer la médiatrice de \([AA']\), puis celle de \([BB']\) ; leur intersection est \(O\).
On considère la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(90^\circ\) (sens anti-horaire). On donne un triangle \(ABC\).
- Construire \(A'=R(A)\), \(B'=R(B)\), \(C'=R(C)\).
- Montrer que \(AB \perp A'B'\) et que \(AB=A'B'\).
- En déduire la nature du quadrilatère \(ABA'B'\).
1) Pour construire \(A'\) : tracer le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\), puis placer l’angle \(90^\circ\) à partir de \([OA)\) (sens anti-horaire), et prendre l’intersection avec le cercle. Idem pour \(B',C'\).
2) Une rotation est une isométrie donc \(AB=A'B'\). De plus, l’image de la droite \((AB)\) par la rotation de \(90^\circ\) est une droite perpendiculaire à \((AB)\), donc \((A'B')\perp(AB)\).
3) Dans \(ABA'B'\), on a \(AB\perp A'B'\) et \(AB=A'B'\). De plus, \((AB)\parallel(A'B')\) n’est pas vrai ici, donc ce n’est pas un parallélogramme. Mais \(O\) centre de rotation assure que \(A\to A'\) et \(B\to B'\) conserve l’angle : on obtient un cerf-volant avec deux côtés consécutifs égaux (selon la figure), et un angle droit. (À l’écrit Brevet : on conclut surtout sur perpendicularité + égalité des longueurs.)
On considère l’homothétie \(H\) de centre \(O\) et de rapport \(k=-\dfrac{3}{2}\). Un point \(A\) vérifie \(OA=4\) cm.
- Calculer \(OA'\) où \(A'=H(A)\).
- Où se situe \(A'\) par rapport à \(O\) et \(A\) ? (même côté / autre côté)
- On considère un segment \([AB]\) de longueur \(6\) cm. Quelle est la longueur de \([A'B']\) ?
- \(\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA}\) donc \(OA' = |k|\cdot OA = \dfrac{3}{2}\times 4 = 6\) cm.
- Comme \(k<0\), \(A'\) est sur la droite \((OA)\) mais sur la demi-droite opposée à \([OA)\) : \(O\) est entre \(A\) et \(A'\).
- Les longueurs sont multipliées par \(|k|=\dfrac{3}{2}\). Donc \(A'B'=\dfrac{3}{2}\times 6 = 9\) cm.
Dans le triangle \(ABC\), \(M\in[AB]\) et \(N\in[AC]\). On sait que \((MN)\parallel(BC)\) et que \(AM=3\) cm, \(AB=5\) cm, \(AC=10\) cm.
- Justifier qu’il existe une homothétie de centre \(A\) envoyant \(B\) sur \(M\) et \(C\) sur \(N\).
- Calculer le rapport \(k\).
- En déduire \(AN\).
- Si \((MN)\parallel(BC)\), alors les triangles \(AMN\) et \(ABC\) sont semblables (Thalès), ce qui correspond à une homothétie de centre \(A\) envoyant \(B\to M\) et \(C\to N\).
- Le rapport vaut \(k=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{5}\) (réduction).
- Alors \(AN = k\cdot AC = \dfrac{3}{5}\times 10 = 6\) cm.
On applique d’abord la translation \(T_{\vec{u}}\) de vecteur \(\vec{u}=(3; -2)\), puis la symétrie centrale de centre \(O(1; 1)\).
- Déterminer l’image \(A''\) d’un point \(A(4; 5)\) par cet enchaînement.
- Donner une méthode générale pour trouver l’image d’un point \(P(x; y)\).
1) Translation : \(A'(4+3;\ 5-2)=(7;\ 3)\). Symétrie centrale de centre \(O(1; 1)\) : \[ \begin{aligned} x''&=2\cdot 1 - 7 = -5\\ y''&=2\cdot 1 - 3 = -1 \end{aligned} \] Donc \(A''(-5; -1)\).
2) Pour \(P(x; y)\) : \[ \begin{aligned} P'(x+3;\ y-2) \\ P''(2- (x+3);\ 2- (y-2)) = (-x-1;\ -y+4) \end{aligned} \]
Soit \((d)\) une droite. Deux points \(A\) et \(A'\) sont situés de part et d’autre de \((d)\). On sait que \((d)\perp(AA')\) et que le milieu \(I\) de \([AA']\) appartient à \((d)\).
- Montrer que \((d)\) est la médiatrice de \([AA']\).
- En déduire que \(A'\) est l’image de \(A\) par la symétrie axiale d’axe \((d)\).
- Une médiatrice est une droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu. Ici \((d)\perp(AA')\) et \(I\in(d)\) avec \(I\) milieu de \([AA']\) : donc \((d)\) est la médiatrice.
- Par définition de la symétrie axiale : l’axe est la médiatrice de \([AA']\). Donc \(A'\) est l’image de \(A\) par la symétrie d’axe \((d)\).
Une frise est obtenue en répétant un motif. On observe qu’en plus de la translation de pas \(p\), le motif possède une symétrie axiale verticale au milieu de chaque motif.
- Donner la liste des transformations visibles (au minimum).
- Expliquer comment vérifier rapidement l’existence d’une symétrie axiale sur une frise.
- Si la frise possède aussi une rotation de \(180^\circ\), à quoi correspond-elle (nom) ?
- Au minimum : une translation (pas \(p\)) + une symétrie axiale (axes verticaux).
- Prendre un point du motif, vérifier que son image par réflexion est un point du motif, et que l’axe est la médiatrice des segments reliant les points correspondants.
- Une rotation de \(180^\circ\) est une symétrie centrale.
On veut paver le plan avec des polygones réguliers identiques. On rappelle : l’angle intérieur d’un \(n\)-gone régulier vaut \[ \alpha=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}. \]
- Montrer qu’un hexagone régulier pave le plan.
- Montrer qu’un pentagone régulier ne peut pas paver le plan.
- Trouver tous les \(n\) possibles pour un pavage régulier “tout seul”.
- Hexagone : \(n=6\). \[ \alpha=\frac{(6-2)\cdot 180^\circ}{6}=\frac{720^\circ}{6}=120^\circ. \] Autour d’un point : \(3\times 120^\circ=360^\circ\). Donc pavage possible.
- Pentagone : \(n=5\). \[ \alpha=\frac{(5-2)\cdot 180^\circ}{5}=\frac{540^\circ}{5}=108^\circ. \] Or \(360^\circ/108^\circ=3{,}333...\) (pas un entier), donc on ne peut pas remplir autour d’un point sans trou/chevauchement.
- Il faut que \(m\alpha=360^\circ\) pour un entier \(m\ge 3\). Donc \(\alpha\) doit être un diviseur de \(360^\circ\). On teste \(n=3\) : \(\alpha=60^\circ\), \(6\times 60^\circ=360^\circ\) OK. \(n=4\) : \(\alpha=90^\circ\), \(4\times 90^\circ=360^\circ\) OK. \(n=6\) : \(\alpha=120^\circ\), \(3\times 120^\circ=360^\circ\) OK. Pour \(n\ge 7\), \(\alpha>128^\circ\) et \(2\alpha>360^\circ\) (et \(3\alpha>360^\circ\) très vite), aucun \(m\) entier possible. Donc seuls \(n\in\{3,4,6\}\).
On donne deux triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) tels que \((AB)\parallel(A'B')\), \((AC)\parallel(A'C')\), \((BC)\parallel(B'C')\).
- Montrer qu’il existe une homothétie envoyant \(ABC\) sur \(A'B'C'\).
- Expliquer comment construire le centre \(O\) de cette homothétie.
- Si les côtés correspondants sont parallèles, les triangles sont homothétiques (triangles semblables avec côtés parallèles). Il existe donc une homothétie envoyant \(ABC\) sur \(A'B'C'\).
- Dans une homothétie, \(O,A,A'\) sont alignés, de même \(O,B,B'\) et \(O,C,C'\). Donc \(O\) est l’intersection des droites \((AA')\) et \((BB')\) (ou \((CC')\)).
On effectue la symétrie d’axe \((d_1)\) puis celle d’axe \((d_2)\).
- Si \((d_1)\parallel(d_2)\), quelle transformation obtient-on ? (nom + justification)
- Si \((d_1)\) et \((d_2)\) sont sécantes en \(O\) et forment un angle \(\theta\), quelle transformation obtient-on ?
- Deux symétries d’axes parallèles donnent une translation. Le vecteur de translation est perpendiculaire aux axes et vaut deux fois la distance entre les axes (sens selon l’ordre).
- Deux symétries d’axes sécants donnent une rotation de centre \(O\) et d’angle \(2\theta\) (sens dépend de l’ordre).
On affirme : “La transformation qui envoie \(A\) sur \(A'\) et \(B\) sur \(B'\) est une homothétie”. On sait que \(A,B,A',B'\) sont tels que \((AB)\parallel(A'B')\) et \(AB\neq A'B'\). Mais on observe que les droites \((AA')\) et \((BB')\) sont parallèles.
- Expliquer pourquoi une homothétie est impossible ici.
- Quelle transformation est alors la plus plausible ?
- Dans une homothétie, le centre \(O\) vérifie \(O,A,A'\) alignés et \(O,B,B'\) alignés. Donc les droites \((AA')\) et \((BB')\) doivent se couper en \(O\) (sauf cas dégénéré). Ici elles sont parallèles, donc il n’existe pas de centre commun : pas d’homothétie.
- Si \((AA')\parallel(BB')\), on pense plutôt à une translation (même vecteur) : il faut alors vérifier \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}\).
- Tu sais reconnaître la transformation avec le bon invariant.
- Tu sais construire proprement et justifier (médiatrices, alignements, rapports, angles).
- Tu maîtrises les pièges : sens de vecteur, rapport négatif, composition de symétries.