Objectif Brevet : reconnaître et utiliser translation, rotation, homothétie (et symétries) pour construire des images, prouver des alignements, des parallélismes, des angles et des longueurs, et comprendre frises/pavages.
- Transformation : opération qui associe à chaque point \(A\) un point \(A'\) (son image).
- Image d’une figure : on transforme tous ses points (les sommets suffisent souvent).
- Isométrie : conserve les longueurs et les angles (translation, rotation, symétries).
- Homothétie : agrandit/rétrécit (longueurs multipliées par \(|k|\)).
- Longueurs
- Angles
- Parallélisme
- Alignement
- Aires
- Alignement
- Angles
- Parallélisme
- Longueurs × \(|k|\)
- Aires × \(k^2\)
La translation de vecteur \(\vec{u}\) envoie tout point \(A\) sur \(A'\) tel que : \[ \overrightarrow{AA'}=\vec{u}. \] On note souvent : \(A' = T_{\vec{u}}(A)\).
- \(AA' = BB'\) et \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}\) (même “déplacement”).
- Conserve longueurs, angles, parallélisme, aire.
- L’image d’un segment est un segment parallèle et de même longueur.
- Choisir un point \(A\) de la figure, puis “reproduire” le vecteur \(\vec{u}\) à partir de \(A\).
- On obtient \(A'\). Refaire pour les autres sommets (ex : \(B \mapsto B'\), \(C \mapsto C'\)).
- Relier \(A'B'C'\) : c’est l’image de la figure.
La rotation de centre \(O\) et d’angle \(\theta\) envoie \(A\) sur \(A'\) tel que :
- \(OA = OA'\) (même distance au centre)
- \(\widehat{AOA'} = \theta\) (sens positif = anti-horaire)
On note : \(A' = R_{O,\theta}(A)\).
- Conserve longueurs, angles, aire, parallélisme, alignement.
- L’image d’un segment est un segment de même longueur, tourné du même angle.
- Le centre \(O\) est invariant : \(R_{O,\theta}(O)=O\).
- Tracer le cercle de centre \(O\) passant par \(A\) (rayon \(OA\)).
- À partir de la demi-droite \([OA)\), placer l’angle \(\theta\) (en respectant le sens).
- Sur la demi-droite obtenue, placer \(A'\) sur le cercle : alors \(OA'=OA\).
L’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) envoie \(A\) sur \(A'\) tel que : \[ \overrightarrow{OA'} = k\ \overrightarrow{OA}. \]
- Si \(k>0\) : \(A'\) est sur la demi-droite \([OA)\).
- Si \(k<0\) : \(A'\) est sur la demi-droite opposée (de l’autre côté de \(O\)).
- Si \(|k|>1\) : agrandissement ; si \(|k|<1\) : réduction.
- Conserve les angles et le parallélisme.
- Multiplie toutes les longueurs par \(|k|\) : \(A'B' = |k|\cdot AB\).
- Multiplie les aires par \(k^2\).
- Alignement conservé : si \(A,B,O\) alignés alors \(A',B',O\) alignés.
- Tracer la droite \((OA)\).
- Placer \(A'\) sur \((OA)\) tel que \(OA' = |k|\cdot OA\) (même côté si \(k>0\), côté opposé si \(k<0\)).
- Recommencer pour les autres sommets de la figure.
Par rapport à une droite \((d)\) : l’image \(A'\) de \(A\) vérifie : \((d)\) est la médiatrice de \([AA']\).
- \((d)\perp (AA')\)
- Le milieu de \([AA']\) est sur \((d)\)
- Conserve longueurs et angles
De centre \(O\) : l’image \(A'\) de \(A\) vérifie que \(O\) est le milieu de \([AA']\). C’est une rotation de \(180^\circ\) ou une homothétie de rapport \(k=-1\).
- \(\overrightarrow{OA'}=-\overrightarrow{OA}\)
- Conserve longueurs et angles
Une frise est un motif qui se répète dans une direction (souvent par translation). On peut aussi y trouver des symétries et des rotations.
Un pavage recouvre le plan sans trous ni chevauchements. Il s’explique souvent par des translations + rotations + symétries.
- Si un polygone pave : les angles autour d’un sommet “font” \(360^\circ\).
- Les parallélogrammes et triangles pavent toujours (par translations).
- Translation : segments \(AA'\), \(BB'\) parallèles et de même longueur, même sens.
- Rotation : distances au centre égales (\(OA=OA'\)) et angle constant autour du centre.
- Homothétie : points \(O,A,A'\) alignés et rapports constants \(\dfrac{OA'}{OA}=|k|\).
- Symétrie axiale : la droite axe est médiatrice de \([AA']\).
- Symétrie centrale : le centre est le milieu de \([AA']\).
- Ne pas confondre rotation (angle) et homothétie (rapport).
- En homothétie, le rapport peut être négatif : l’image “passe de l’autre côté” du centre.
- Sur un dessin, vérifier les invariants : longueurs (isométries) ou longueurs × \(|k|\) (homothétie).
Si \(\vec{u}=(a; b)\) et \(A(x; y)\), alors \[ A' = (x+a;\ y+b). \]
Pour prouver une homothétie : montrer que \(O,A,A'\) sont alignés et que \[ \frac{OA'}{OA}=|k|. \]
Une rotation de \(180^\circ\) de centre \(O\) est une symétrie centrale : \(O\) est le milieu de \([AA']\).
- Construire l’image d’une figure par translation / rotation / homothétie / symétrie.
- Utiliser les invariants pour prouver parallélisme, égalités de longueurs, égalités d’angles.
- Identifier la transformation à partir d’un motif (frise/pavage).