Objectif : réussir les exercices du Brevet sur les effectifs, fréquences, les classes, les histogrammes et les indicateurs : moyenne, médiane, étendue… et surtout interpréter.
Une série est un ensemble de données (notes, tailles, temps, masses, etc.). L’élément étudié s’appelle le caractère.
- Caractère quantitatif : nombre (ex : note sur 20, taille en cm).
- Caractère qualitatif : catégorie (ex : couleur, mention, sport). (Au Brevet, on travaille surtout le quantitatif.)
L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît.
La fréquence d’une valeur (ou d’une classe) est la proportion correspondante.
On peut l’écrire en décimal ou en pourcentage : \[ f\_\% = 100\times f \]
Une fréquence est toujours comprise entre \(0\) et \(1\). La somme des fréquences vaut \(1\) (ou \(100\%\)).
On liste les valeurs \(x\) et leur effectif \(n\). Puis on calcule les fréquences \(f=\dfrac{n}{N}\).
Pour vérifier vite : \(\sum n = N\) et \(\sum f = 1\).
L’effectif cumulé à la valeur \(x\) est le nombre de données \(\le x\).
Même idée, mais en proportion :
Les cumulés servent surtout à trouver la médiane et les quartiles (si demandé), et à interpréter : « …% des élèves ont une note \(\le 12\) ».
Quand il y a beaucoup de valeurs (ex : tailles entre 140 et 190 cm), on regroupe dans des classes comme \([140 ; 150[\), \([150 ; 160[\), etc.
- \([a ; b[\) signifie : \(a\le x < b\).
- Amplitude d’une classe : \(b-a\).
Pour estimer une moyenne, on utilise souvent le centre :
Même définitions qu’avant, mais pour une classe entière :
Si les classes n’ont pas la même amplitude, on ne peut pas comparer les hauteurs des rectangles d’un histogramme sans passer par la densité (voir section 3).
- Diagramme en bâtons : valeurs séparées (ex : notes entières 0,1,2…). Les bâtons sont espacés.
- Histogramme : données groupées en classes. Les rectangles sont collés.
Si toutes les classes ont la même amplitude, on peut prendre la hauteur proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence). La comparaison est directe.
Le rectangle le plus haut correspond à la classe la plus fréquente (ou l’effectif le plus grand).
Pour que l’aire du rectangle représente l’effectif (ou la fréquence), on utilise la densité.
Dans ce cas : aire du rectangle \(=\) effectif (ou fréquence), et la hauteur est la densité.
« Dans un histogramme, est-ce la hauteur ou l’aire qui représente l’effectif ? » → Si amplitudes différentes : c’est l’aire.
- Tracer l’axe horizontal : les classes (intervalles \([a ; b[\)).
- Choisir une échelle verticale (effectif, fréquence, ou densité).
- Tracer les rectangles collés, largeur = amplitude de classe.
- Vérifier : somme des effectifs \(=N\) (et cohérence globale).
Pour une série avec valeurs \(x_i\) et effectifs \(n_i\), la moyenne est :
\[ \overline{x}=\frac{\sum (x_i \times n_i)}{N} \]Interprétation : valeur « équilibrée » ; si tout le monde avait \(\overline{x}\), la somme resterait la même.
On utilise le centre \(c_i\) de chaque classe :
C’est une estimation car on remplace les valeurs par le centre.
- La moyenne peut ne pas être une valeur de la série.
- Elle est sensible aux valeurs extrêmes.
- Ne pas oublier de multiplier par les effectifs.
La médiane partage la série en deux groupes : au moins 50% des données sont \(\le\) médiane et au moins 50% sont \(\ge\) médiane.
- Trier les valeurs (ou utiliser les effectifs cumulés).
- Repérer la position du milieu.
- Lire la valeur correspondante.
La médiane est entre les deux valeurs de rang \(\dfrac{N}{2}\) et \(\dfrac{N}{2}+1\). (Selon l’énoncé, on peut prendre la moyenne de ces deux valeurs.)
Ne pas confondre « rang » et « valeur ». On cherche une valeur (la médiane), pas un rang.
L’étendue mesure la dispersion totale :
\[ \text{Étendue} = x_{\max}-x_{\min} \]Interprétation : plus l’étendue est grande, plus la série est dispersée (mais elle dépend beaucoup des extrêmes).
- « La classe la plus représentée est … » (classe modale).
- « Environ …% des valeurs sont dans \([a ; b[\) » (lecture fréquence).
- « La médiane est … donc la moitié des valeurs est \(\le\) … »
- « La moyenne est …, mais elle est influencée par … »
- « L’étendue est … donc les valeurs s’étalent de … à … »
- J’ai bien calculé \(N\) (effectif total).
- Mes fréquences sont correctes et leur somme vaut \(1\) (ou \(100\%\)).
- Je n’ai pas confondu histogramme et diagramme en bâtons.
- Si amplitudes différentes : j’ai utilisé la densité.
- Pour la médiane : j’ai utilisé le milieu (rangs / cumulés).
Dans une classe de \(N=25\) élèves, \(n=6\) ont eu une note \(\ge 15\).
Conclusion : 24% des élèves ont eu une note \(\ge 15\).
Notes \(10, 12, 15\) avec effectifs \(4, 3, 1\) (donc \(N=8\)).
La moyenne est \(11{,}375\) (on peut arrondir selon consigne : \(11{,}4\)).
Effectif total \(N=21\) (impair) → rang médian :
La médiane est la valeur de rang 11. Avec les cumulés, on repère où se trouve ce rang.
Moyenne = calcul « somme pondérée ». Médiane = « milieu ». Étendue = « max - min ». Histogramme = classes collées (et si amplitudes différentes : densité).