La racine carrée \(\sqrt{64}\) est le nombre \(\ge 0\) dont le carré vaut 64. Or \(8^2=64\). Donc \(\sqrt{64}=\boxed{8}\).
Par définition, \(\sqrt{a}\) est le nombre \(\ge 0\) dont le carré vaut \(a\). Ici \((-5)^2=25\), mais la racine carrée est la valeur positive : \(\sqrt{25}=5\). Donc l’affirmation est FAUSSE.
Une racine carrée \(\sqrt{a}\) est définie dans \(\mathbb{R}\) seulement si \(a\ge 0\). Ici \(-9<0\), donc \(\sqrt{-9}\) n’est pas définie dans \(\mathbb{R}\). Réponse : \(\boxed{\text{NON}}\).
On factorise par un carré parfait : \(12=4\times 3\). Alors \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\). Réponse : \(\boxed{2\sqrt{3}}\).
On cherche un carré parfait : \(72=36\times 2\). Donc \(\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}\). Réponse : \(\boxed{6\sqrt{2}}\).
On écrit \(200=100\times 2\). Alors \(\sqrt{200}=\sqrt{100}\sqrt{2}=10\sqrt{2}\). Réponse : \(\boxed{10\sqrt{2}}\).
On écrit \(98=49\times 2\). Donc \(\sqrt{98}=\sqrt{49}\sqrt{2}=7\sqrt{2}\). Réponse : \(\boxed{7\sqrt{2}}\).
À gauche : \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\). À droite : \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\). Comme \(5\neq 7\), l’égalité est fausse. Réponse : \(\boxed{\text{FAUX}}\).
On écrit \(45=9\times 5\). Alors \(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\). Le coefficient manquant est \(\boxed{3}\).
On utilise \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) : \(\sqrt{6}\sqrt{24}=\sqrt{6\times 24}=\sqrt{144}=12\). Réponse : \(\boxed{12}\).
On regroupe : \(\sqrt{8}\sqrt{50}=\sqrt{8\times 50}=\sqrt{400}=20\). Réponse : \(\boxed{20}\).
Les trois termes sont en \(\sqrt{2}\). On additionne les coefficients : \(3+5-1=7\). Donc \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}=7\sqrt{2}\). Réponse : \(\boxed{7\sqrt{2}}\).
On simplifie : \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}\) et \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3}\). Donc \(2\sqrt{3}+\sqrt{12}-\sqrt{27}=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(4-3)\sqrt{3}=\sqrt{3}\). Réponse : \(\boxed{\sqrt{3}}\).
Comme \(18<20\) et que la fonction racine carrée est croissante sur \([0;+\infty[\), on a \(\sqrt{18}<\sqrt{20}\). Réponse : \(\boxed{<}\).
On sait que \(5^2=25\) et \(6^2=36\). Comme \(25<29<36\), en prenant les racines carrées (tout est positif), on obtient \(5<\sqrt{29}<6\). Réponse : \(\boxed{5<\sqrt{29}<6}\).
Dans un triangle rectangle en \(A\), \(BC\) est l’hypoténuse. Par Pythagore : \(BC^2=AB^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225\). Donc \(BC=\sqrt{225}=15\). Réponse : \(\boxed{15}\).
Comme \(BC\) est l’hypoténuse, \(BC^2=AB^2+AC^2\). Donc \(AC^2=BC^2-AB^2=13^2-5^2=169-25=144\). Ainsi \(AC=\sqrt{144}=12\). Réponse : \(\boxed{12}\).
La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés 7 et 11. Donc \(d^2=7^2+11^2=49+121=170\). Ainsi \(d=\sqrt{170}\). Comme 170 n’a pas de carré parfait (autre que 1) en facteur, on ne simplifie pas. Réponse : \(\boxed{\sqrt{170}}\).
Dans un carré, \(d=c\sqrt{2}\). Donc \(c=\dfrac{d}{\sqrt{2}}=\dfrac{10}{\sqrt{2}}\). On simplifie en multipliant par \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) : \(\dfrac{10}{\sqrt{2}}=\dfrac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\). Réponse : \(\boxed{5\sqrt{2}}\).
On a \(c=5\sqrt{2}\). L’aire du carré vaut \(\mathcal{A}=c^2\). Donc \(\mathcal{A}=(5\sqrt{2})^2=25\times 2=50\). Réponse : \(\boxed{50}\).
Quiz HARD — Racines carrées (20 questions • 19–20/20)
Objectif Brevet 19–20/20 : simplifier vite • éviter les pièges (\(\sqrt{a+b}\)) • comparer • calculer avec \(\sqrt{\ }\) • Pythagore (valeurs exactes) • aires (carré/rectangle).
Exercice 1. Donner la valeur de \(\sqrt{64}\).
Non vérifié
Indice
64 est un carré parfait : \(8^2=64\).
Exercice 2. Vrai ou faux : \(\sqrt{25}=-5\). (répondre VRAI ou FAUX)
Non vérifié
Indice
La racine carrée est toujours \(\ge 0\).
Exercice 3. Dire si l’expression est définie dans \(\mathbb{R}\) : \(\sqrt{-9}\). (répondre OUI ou NON)
Non vérifié
Indice
On doit avoir le nombre sous la racine \(\ge 0\).
Exercice 4. Simplifier \(\sqrt{12}\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(12=4\times 3\).
Exercice 5. Simplifier \(\sqrt{72}\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(72=36\times 2\).
Exercice 6. Simplifier \(\sqrt{200}\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(200=100\times 2\).
Exercice 7. Simplifier \(\sqrt{98}\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(98=49\times 2\).
Exercice 8. Vrai ou faux : \(\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}\). (répondre VRAI ou FAUX)
Non vérifié
Indice
Calcule les deux côtés.
Exercice 9. Compléter : \(\sqrt{45}=\ldots\sqrt{5}\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(45=9\times 5\).
Exercice 10. Calculer : \(\sqrt{6}\times\sqrt{24}\).
Non vérifié
Indice
Regrouper sous une seule racine : \(\sqrt{6\times 24}\).
Exercice 11. Calculer : \(\sqrt{8}\times\sqrt{50}\).
Non vérifié
Indice
8×50 = 400.
Exercice 12. Réduire : \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}\).
Non vérifié
Indice
Ce sont des racines semblables : on additionne les coefficients.
Exercice 13. Simplifier puis réduire : \(2\sqrt{3}+\sqrt{12}-\sqrt{27}\).
Non vérifié
Indice
Simplifier \(\sqrt{12}\) et \(\sqrt{27}\).
Exercice 14. Comparer : \(\sqrt{18}\) et \(\sqrt{20}\) (répondre par <, > ou =).
Non vérifié
Indice
Comparer 18 et 20.
Exercice 15. Encadrer \(\sqrt{29}\) entre deux entiers consécutifs : \(\ldots < \sqrt{29} < \ldots\). (répondre sous la forme "5<\sqrt{29}<6")
Non vérifié
Indice
Comparer 29 avec des carrés parfaits : \(25\) et \(36\).
Exercice 16. Triangle rectangle en A : \(AB=9\) cm, \(AC=12\) cm. Calculer \(BC\).
Non vérifié
Indice
Pythagore : \(BC^2=AB^2+AC^2\).
Exercice 17. Triangle rectangle en A : \(BC=13\) cm et \(AB=5\) cm. Calculer \(AC\).
Non vérifié
Indice
Ici \(BC\) est l’hypoténuse : \(AC^2=BC^2-AB^2\).
Exercice 18. Rectangle : \(7\) cm × \(11\) cm. Donner la longueur exacte de la diagonale \(d\).
Non vérifié
Indice
Pythagore : \(d^2=7^2+11^2\).
Exercice 19. Carré de diagonale \(d=10\) cm : donner le côté exact \(c\).
Non vérifié
Indice
Dans un carré : \(d=c\sqrt{2}\).
Exercice 20. Carré de diagonale \(d=10\) cm : donner l’aire \(\mathcal{A}\) (en cm\(^2\)).
Non vérifié
Indice
Avec \(c=5\sqrt{2}\), calculer \(c^2\).