Fiche de révision — Racines Carrées : Calculs Et Problèmes (3e)

Cette fiche de révision de maths en 3ème résume le chapitre Racines Carrées : Calculs Et Problèmes. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
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Fiche de révision — Racines carrées
L’essentiel à connaître pour le Brevet : définition • carrés parfaits • simplification • comparaison • calculs • Pythagore • problèmes géométriques.
Essentiel Définition Carrés parfaits Simplifier Comparer Calculer Pythagore Aires Méthode Brevet Pièges
1) L’essentiel à retenir
\[ \sqrt{a}=b \iff b\ge 0 \text{ et } b^2=a \qquad (a\ge 0) \] \[ \sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b \qquad (a\ge0,\ b\ge0) \] \[ \sqrt{k^2\times m}=k\sqrt m \qquad (k\ge0,\ m\ge0) \]
Réflexe Brevet : quand une racine n’est pas un entier, on cherche un carré parfait dans le nombre pour simplifier.
2) Définition d’une racine carrée
Définition
Pour un nombre positif ou nul \(a\), la racine carrée de \(a\) est le nombre positif ou nul dont le carré est \(a\). \[ \sqrt a \ge 0 \qquad\text{et}\qquad (\sqrt a)^2=a. \]
Exemples rapides
\[ \sqrt{25}=5 \quad \text{car} \quad 5^2=25 \] \[ \sqrt{0}=0, \qquad \sqrt{1}=1. \]
Attention : \(\sqrt{25}\neq -5\). Même si \((-5)^2=25\), la racine carrée désigne toujours le résultat positif ou nul.
3) Carrés parfaits à connaître
Nombre Racine carrée À retenir
\(1\)\(\sqrt1=1\)\(1^2=1\)
\(4\)\(\sqrt4=2\)\(2^2=4\)
\(9\)\(\sqrt9=3\)\(3^2=9\)
\(16\)\(\sqrt{16}=4\)\(4^2=16\)
\(25\)\(\sqrt{25}=5\)\(5^2=25\)
\(36\)\(\sqrt{36}=6\)\(6^2=36\)
\(49\)\(\sqrt{49}=7\)\(7^2=49\)
\(64\)\(\sqrt{64}=8\)\(8^2=64\)
\(81\)\(\sqrt{81}=9\)\(9^2=81\)
\(100\)\(\sqrt{100}=10\)\(10^2=100\)
\(121\)\(\sqrt{121}=11\)\(11^2=121\)
\(144\)\(\sqrt{144}=12\)\(12^2=144\)
Pour simplifier rapidement, il faut repérer les carrés parfaits : \(4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144\).
4) Simplifier une racine carrée
Méthode
Pour simplifier \(\sqrt n\), on cherche le plus grand carré parfait qui divise \(n\). Si \(n=k^2\times m\), alors : \[ \sqrt n=\sqrt{k^2\times m}=k\sqrt m. \]
Exemple
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\times2} \] \[ \sqrt{72}=\sqrt{36}\times\sqrt2=6\sqrt2. \]
Exemples classiques à savoir refaire
\[ \sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt3 \] \[ \sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt2 \] \[ \sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt2 \] \[ \sqrt{147}=\sqrt{49\times3}=7\sqrt3. \]
5) Comparer des racines carrées
Propriété
Si deux nombres sont positifs ou nuls, le plus grand nombre a la plus grande racine carrée : \[ a
Exemple — comparer \(5\) et \(\sqrt{29}\)
On écrit : \[ 5=\sqrt{25}. \] Comme \(25<29\), alors : \[ \sqrt{25}<\sqrt{29}. \] Donc : \[ \boxed{5<\sqrt{29}}. \]
6) Calculer avec des racines carrées
Multiplier
Pour \(a\ge0\) et \(b\ge0\) : \[ \sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}. \] Exemple : \[ \sqrt5\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10. \]
Additionner
On additionne seulement les racines semblables : \[ k\sqrt a+\ell\sqrt a=(k+ \ell)\sqrt a. \] Exemple : \[ 2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3. \]
Attention : \(\sqrt2+\sqrt3\) ne se simplifie pas, car les racines ne sont pas semblables.
7) Racines carrées et théorème de Pythagore
Calcul d’une hypoténuse
Dans un triangle rectangle, si \(BC\) est l’hypoténuse : \[ BC^2=AB^2+AC^2. \] Donc : \[ BC=\sqrt{AB^2+AC^2}. \]
Exemple direct
Si \(AB=6\) et \(AC=8\), alors : \[ BC=\sqrt{6^2+8^2} \] \[ BC=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10. \]
Exemple avec une racine à simplifier
Si \(AB=5\) et \(AC=7\), alors : \[ BC=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}. \] Ici, \(74=2\times37\) ne contient pas de carré parfait autre que \(1\), donc \(\sqrt{74}\) ne se simplifie pas.
8) Aires avec des racines carrées
Carré et diagonale
Dans un carré de côté \(c\), la diagonale vaut : \[ d=c\sqrt2. \] Donc, si on connaît la diagonale : \[ c=\frac{d}{\sqrt2}. \]
Exemple — carré de diagonale \(6\)
On a : \[ c=\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2. \] L’aire vaut : \[ \mathcal A=c^2=(3\sqrt2)^2=9\times2=18. \] Donc : \[ \boxed{\mathcal A=18}. \]
9) Méthode Brevet : choisir la bonne action
Situation Outil Réflexe
On demande de simplifier \(\sqrt n\) Carré parfait Chercher \(4,9,16,25,36,49,64,81,100\) dans \(n\).
On demande de calculer une longueur Pythagore Calculer le carré de la longueur, puis prendre la racine carrée.
On additionne deux racines Racines semblables Simplifier d’abord, puis regrouper seulement les mêmes racines.
On compare une racine avec un nombre Carré Écrire le nombre sous forme de racine ou comparer les carrés.
Exemple type — calculer puis simplifier
Calculer : \[ A=\sqrt{48}+\sqrt{75}-\sqrt{27}. \] On simplifie chaque racine : \[ \sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt3, \] \[ \sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt3, \] \[ \sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt3. \] Donc : \[ A=4\sqrt3+5\sqrt3-3\sqrt3=6\sqrt3. \] \[ \boxed{A=6\sqrt3}. \]
10) Pièges classiques à éviter
Racine positive
  • \(\sqrt{36}=6\), pas \(-6\).
  • Une racine carrée n’existe en 3e que pour un nombre positif ou nul.
Somme interdite
\[ \sqrt{a+b}\neq \sqrt a+\sqrt b. \] Exemple : \[ \sqrt{9+16}=5 \quad\text{mais}\quad \sqrt9+\sqrt{16}=7. \]
Simplifier avant d’additionner
\[ \sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3. \] Il faut d’abord simplifier les racines.
Ne pas confondre carré et racine
\[ (\sqrt7)^2=7 \qquad\text{mais}\qquad \sqrt{7^2}=7. \] Ici, \(7\) est positif, donc tout va bien.
Checklist Brevet :
  • Je connais les carrés parfaits jusqu’à \(144\).
  • Je sais simplifier \(\sqrt{k^2m}=k\sqrt m\).
  • Je sais additionner seulement des racines semblables.
  • Je sais utiliser Pythagore puis simplifier la racine obtenue.
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