Fiche MÉTHODE — Racines carrées (3e)
Simplifier • comparer • calculer avec \(\sqrt{\;}\) • Pythagore • longueurs • aires. Objectif : aller vite et éviter les erreurs classiques au Brevet.
1) Définition & valeurs à connaître
\[
\sqrt{a} = b \iff
\begin{cases}
b \ge 0\\
b^2 = a
\end{cases}
\qquad (a \ge 0)
\]
\[
\begin{array}{c|c}
a & \sqrt{a} \\ \hline
1 & 1 \\
4 & 2 \\
9 & 3 \\
16 & 4 \\
25 & 5 \\
36 & 6 \\
49 & 7 \\
64 & 8 \\
81 & 9 \\
100 & 10
\end{array}
\]
⚠️ \(\sqrt{25}\neq -5\). La racine carrée est toujours positive.
2) Simplifier une racine carrée
Idée : extraire un carré parfait. On écrit \(a = k^2 \times m\), alors \(\sqrt{a} = k\sqrt{m}\).
\[
\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\qquad (a\ge0,\;b\ge0)
\]
Méthode (en 3 lignes) :
\[
\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}
\]
\[
\sqrt{12}=2\sqrt{3}
\qquad
\sqrt{18}=3\sqrt{2}
\qquad
\sqrt{50}=5\sqrt{2}
\]
❌ Erreur : \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
3) Comparer des racines carrées
\[
a
\[
\sqrt{29} < \sqrt{30}
\quad \text{car } 29<30
\]
Si besoin : on compare en mettant tout au carré (car tout est positif).
4) Calculer avec des racines carrées
\[
\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}
\qquad\text{et}\qquad
(k\sqrt{a})(\ell\sqrt{b})=k\ell\sqrt{ab}
\]
\[
\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10
\]
\[
k\sqrt{a}+\ell\sqrt{a}=(k+\ell)\sqrt{a}
\quad\text{(seulement si la racine est la même)}
\]
\[
2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}
\qquad\text{mais}\qquad
\sqrt{2}+\sqrt{3}\ \text{ne se simplifie pas}
\]
5) Pythagore (longueurs)
\[
\text{Triangle rectangle : } \text{hypoténuse}^2 = \text{côté}^2+\text{côté}^2
\]
Calcul d’une hypoténuse :
\[
BC=\sqrt{AB^2+AC^2}
\]
Si \(AB=6\) et \(AC=8\) :
\[
BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10
\]
Astuce Brevet : tu obtiens souvent une racine \(\sqrt{\cdots}\) qu’il faut ensuite
simplifier.
6) Aires avec des racines (exemple classique)
Carré de diagonale \(d\) :
\[
d=c\sqrt{2}\ \Longrightarrow\ c=\frac{d}{\sqrt{2}}
\]
Si \(d=6\) :
\[
c=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}
\qquad
\mathcal{A}=c^2=(3\sqrt{2})^2=18
\]
✅ Checklist Brevet (à refaire avant contrôle)
- Je connais les carrés parfaits (1 → 100) et leurs racines.
- Je sais extraire un carré parfait : \(\sqrt{k^2m}=k\sqrt{m}\).
- Je n’écris jamais \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
- Je sais additionner seulement des racines semblables : \(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}\).
- Je sais utiliser Pythagore et simplifier la racine obtenue.