Exercices corrigés — Racines Carrées : Calculs Et Problèmes (3e)

Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 3ème sur Racines Carrées : Calculs Et Problèmes. Tu vas t’entraîner sur notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en 3ème, exemples guidés, exercices d’application avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
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✏️ Exercices — Racines carrées

Thèmes : carrés parfaits • simplification • opérations • comparaison • Pythagore • géométrie • problèmes type Brevet.
Objectif : niveau Brevet avancé, avec rédaction complète et justification des méthodes.

Exercice 1 — Simplifier des racines carrées
3e • Brevet

Consigne. Simplifier les racines carrées suivantes sous la forme la plus simple possible.

  1. Simplifier \(\sqrt{72}\).
  2. Simplifier \(\sqrt{180}\).
  3. Simplifier \(\sqrt{392}\).
  4. Ranger les trois résultats du plus petit au plus grand.
Exercice 2 — Réduire une expression avec \(\sqrt2\)
3e • Brevet

Consigne. On considère l’expression :

\[ A=3\sqrt{50}-2\sqrt{98}+5\sqrt8. \]

  1. Simplifier chaque racine carrée.
  2. Écrire \(A\) sous la forme \(a\sqrt2\), où \(a\) est un entier.
  3. Calculer une valeur approchée de \(A\) au dixième.
  4. Dire si \(A\) est un nombre rationnel ou irrationnel, en justifiant.
Exercice 3 — Identité remarquable avec racine
3e • Brevet

Consigne. Calculer et simplifier :

\[ B=(2\sqrt3+5)^2. \]

  1. Identifier l’identité remarquable utilisée.
  2. Développer \(B\).
  3. Écrire le résultat sous la forme \(a+b\sqrt3\).
  4. Donner une valeur approchée au centième.
Exercice 4 — Produit conjugué
3e • Brevet

Consigne. Calculer et simplifier :

\[ C=(7-3\sqrt5)(7+3\sqrt5). \]

  1. Identifier l’identité remarquable utilisée.
  2. Développer sans calculatrice.
  3. Montrer que le résultat est un entier.
  4. Vérifier par une valeur approchée.
Exercice 5 — Comparer sans calculatrice
3e • Brevet

Consigne. Comparer les deux nombres positifs :

\[ D=5\sqrt7 \qquad \text{et} \qquad E=\sqrt{180}. \]

  1. Calculer \(D^2\).
  2. Calculer \(E^2\).
  3. Comparer \(D\) et \(E\).
  4. Donner une phrase de justification claire.
Exercice 6 — Somme de racines semblables
3e • Brevet

Consigne. On considère :

\[ F=\sqrt{45}+\sqrt{20}-\sqrt{125}+2\sqrt{80}. \]

  1. Simplifier chaque racine carrée.
  2. Écrire \(F\) sous la forme \(a\sqrt5\).
  3. Donner une valeur approchée au centième.
  4. Trouver un entier \(n\) tel que \(n
Exercice 7 — Quotients de racines
3e • Brevet

Consigne. On donne :

\[ G=\frac{\sqrt{147}}{\sqrt3}+\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}. \]

  1. Simplifier \(\dfrac{\sqrt{147}}{\sqrt3}\).
  2. Simplifier \(\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3}\).
  3. Calculer exactement \(G\).
  4. Vérifier le résultat en utilisant la propriété \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}\), avec \(b>0\).
Exercice 8 — Carré d’une somme de racines
3e • Brevet

Consigne. On considère :

\[ H=(\sqrt{12}+\sqrt{27})^2. \]

  1. Simplifier \(\sqrt{12}\) et \(\sqrt{27}\).
  2. En déduire une forme simple de \(\sqrt{12}+\sqrt{27}\).
  3. Calculer exactement \(H\).
  4. Vérifier en développant directement \((\sqrt{12}+\sqrt{27})^2\).
Exercice 9 — Pythagore avec racines
3e • Brevet

Consigne. Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit \(6\sqrt2\) cm et \(4\sqrt5\) cm.

  1. Calculer le carré de la longueur de l’hypoténuse.
  2. En déduire la longueur exacte de l’hypoténuse.
  3. Donner une valeur approchée au millimètre.
  4. Calculer l’aire exacte du triangle.
Exercice 10 — Aire d’un carré
3e • Brevet

Consigne. Un carré a pour aire \(242\) cm².

  1. Déterminer la longueur exacte de son côté.
  2. Simplifier cette longueur.
  3. Donner une valeur approchée au dixième.
  4. Calculer le périmètre exact du carré.
Exercice 11 — Rectangle et diagonale
3e • Brevet

Consigne. On donne le rectangle \(ABCD\) tel que \(AB=3\sqrt7\) cm et \(AD=5\sqrt2\) cm.

  1. Calculer l’aire exacte du rectangle.
  2. Calculer le périmètre exact du rectangle.
  3. Calculer la longueur exacte de la diagonale \(AC\).
  4. Donner une valeur approchée de \(AC\) au dixième.
Exercice 12 — Annulation des racines
3e • Brevet

Consigne. On considère :

\[ I=(\sqrt{11}-\sqrt3)^2+(\sqrt{11}+\sqrt3)^2. \]

  1. Développer \((\sqrt{11}-\sqrt3)^2\).
  2. Développer \((\sqrt{11}+\sqrt3)^2\).
  3. Calculer exactement \(I\).
  4. Expliquer pourquoi les termes avec racine disparaissent.
Exercice 13 — Calcul exact avec fractions de racines
3e • Brevet

Consigne. Calculer exactement :

\[ J=\frac{\sqrt{300}}{\sqrt3}-\frac{\sqrt{192}}{\sqrt3}+\sqrt{27}. \]

  1. Simplifier \(\dfrac{\sqrt{300}}{\sqrt3}\).
  2. Simplifier \(\dfrac{\sqrt{192}}{\sqrt3}\).
  3. Simplifier \(\sqrt{27}\).
  4. Donner la valeur exacte de \(J\).
Exercice 14 — Racine imbriquée simple
3e • Brevet

Consigne. On considère deux nombres :

\[ K=\sqrt{7+4\sqrt3} \qquad \text{et} \qquad L=2+\sqrt3. \]

  1. Calculer \(L^2\).
  2. Comparer \(K^2\) et \(L^2\).
  3. En déduire une écriture simplifiée de \(K\).
  4. Expliquer pourquoi on peut conclure sans signe \(\pm\).
Exercice 15 — Aire avec produit conjugué
3e • Brevet

Consigne. Un terrain rectangulaire a une longueur \(12+4\sqrt3\) mètres et une largeur \(12-4\sqrt3\) mètres.

  1. Montrer que les deux dimensions sont positives.
  2. Calculer l’aire exacte du terrain.
  3. Calculer le périmètre exact du terrain.
  4. Dire si l’aire est rationnelle ou irrationnelle.
Exercice 16 — Diagonale d’un écran
3e • Brevet

Consigne. Un écran rectangulaire mesure \(48\) cm de largeur et \(27\) cm de hauteur.

  1. Calculer la longueur exacte de sa diagonale.
  2. Simplifier cette longueur.
  3. Donner une valeur approchée au dixième.
  4. Convertir cette diagonale en pouces, sachant que \(1\) pouce \(=2{,}54\) cm.
Exercice 17 — Programme de calcul
3e • Brevet

Consigne. On considère le programme de calcul suivant :

  • Choisir le nombre \(x=\sqrt5\).
  • Multiplier par \(3\sqrt5\).
  • Ajouter \(2\sqrt{45}\).
  • Soustraire \(\sqrt{180}\).
  1. Calculer le produit \(\sqrt5\times3\sqrt5\).
  2. Simplifier \(2\sqrt{45}\).
  3. Simplifier \(\sqrt{180}\).
  4. Donner le résultat final exact.
Exercice 18 — Réciproque de Pythagore
3e • Brevet

Consigne. Un triangle \(ABC\) est tel que \(AB=\sqrt{50}\), \(AC=\sqrt{98}\) et \(BC=\sqrt{288}\).

  1. Simplifier les trois longueurs.
  2. Calculer \(AB^2+AC^2\).
  3. Calculer \(BC^2\).
  4. Le triangle est-il rectangle ? Justifier.
Exercice 19 — Problème concret — rampe
3e • Brevet

Consigne. Une rampe forme un triangle rectangle avec le sol. La hauteur est de \(1{,}2\) m et la distance horizontale est de \(3{,}5\) m.

  1. Calculer le carré de la longueur de la rampe.
  2. Donner la longueur exacte de la rampe sous forme de racine.
  3. Donner une valeur approchée au centimètre.
  4. On veut poser une bande antidérapante coûtant \(8{,}90\) € par mètre. Estimer le prix au centime près.
Exercice 20 — Challenge final — calcul algébrique
3e • Brevet

Consigne. Challenge final. On considère :

\[ M=(\sqrt{75}-\sqrt{12})^2+(2\sqrt3+\sqrt{48})(2\sqrt3-\sqrt{48}). \]

  1. Simplifier \(\sqrt{75}\), \(\sqrt{12}\) et \(\sqrt{48}\).
  2. Calculer \((\sqrt{75}-\sqrt{12})^2\).
  3. Calculer \((2\sqrt3+\sqrt{48})(2\sqrt3-\sqrt{48})\).
  4. En déduire la valeur exacte de \(M\).
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