Racines carrées : calculs et problèmes

3e Maths — simplifier • comparer • calculs avec √ • applications (Pythagore, longueurs, aires).

Cours Exercices Fiche Quiz
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Exercices — Racines carrées (3e • Brevet)

Série progressive : simplifier • comparer • calculer • Pythagore • aires.
Corrections détaillées : on justifie chaque étape.

A) Niveau 1 — Bases (chauffe)
Exercice 1 — Racines exactes

Calculer :

\[ \sqrt{49}\ ;\ \sqrt{64}\ ;\ \sqrt{81}\ ;\ \sqrt{100} \]
Correction
\[ \sqrt{49}=7,\quad \sqrt{64}=8,\quad \sqrt{81}=9,\quad \sqrt{100}=10 \]

On utilise les carrés parfaits : \(7^2=49\), \(8^2=64\), etc.

Exercice 2 — Domaines

Dire si l’expression est définie (possible) dans \(\mathbb{R}\) :

\[ \sqrt{15}\ ;\ \sqrt{-3}\ ;\ \sqrt{0}\ ;\ \sqrt{-1} \]
Correction
  • \(\sqrt{15}\) : définie car \(15 \ge 0\).
  • \(\sqrt{-3}\) : non définie dans \(\mathbb{R}\) car \(-3<0\).
  • \(\sqrt{0}=0\) : définie.
  • \(\sqrt{-1}\) : non définie dans \(\mathbb{R}\).

Règle : \(\sqrt{a}\) existe seulement si \(a \ge 0\).

Exercice 3 — Simplifier (carré parfait)

Simplifier :

\[ \sqrt{12}\ ;\ \sqrt{27}\ ;\ \sqrt{48}\ ;\ \sqrt{75} \]
Correction

1) \(\sqrt{12}\)

\[ 12=4\times 3 \Rightarrow \sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\sqrt{3}=2\sqrt{3} \]

2) \(\sqrt{27}\)

\[ 27=9\times 3 \Rightarrow \sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3} \]

3) \(\sqrt{48}\)

\[ 48=16\times 3 \Rightarrow \sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3} \]

4) \(\sqrt{75}\)

\[ 75=25\times 3 \Rightarrow \sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3} \]

Méthode : chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre.

B) Niveau 2 — Calculs & comparaisons
Exercice 4 — Comparer

Comparer (avec \(<\), \(>\) ou \(=\)) :

\[ \sqrt{18}\ \ldots\ \sqrt{20} \qquad \sqrt{45}\ \ldots\ 3\sqrt{5} \qquad 2\sqrt{3}\ \ldots\ \sqrt{12} \]
Correction

1) \(\sqrt{18}\) et \(\sqrt{20}\)

\[ 18<20 \Rightarrow \sqrt{18}<\sqrt{20} \]

2) \(\sqrt{45}\) et \(3\sqrt{5}\)

\[ \sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{45}=3\sqrt{5} \]

3) \(2\sqrt{3}\) et \(\sqrt{12}\)

\[ \sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3} \Rightarrow 2\sqrt{3}=\sqrt{12} \]
Exercice 5 — Calculer (produits)

Calculer et simplifier :

\[ \sqrt{6}\times\sqrt{24} \qquad \sqrt{15}\times\sqrt{60} \qquad \sqrt{8}\times\sqrt{50} \]
Correction

1) \(\sqrt{6}\times\sqrt{24}\)

\[ \sqrt{6}\sqrt{24}=\sqrt{6\times24}=\sqrt{144}=12 \]

2) \(\sqrt{15}\times\sqrt{60}\)

\[ \sqrt{15}\sqrt{60}=\sqrt{900}=30 \]

3) \(\sqrt{8}\times\sqrt{50}\)

\[ \sqrt{8}\sqrt{50}=\sqrt{400}=20 \]

Propriété utilisée : \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). On calcule le produit sous la racine, puis on vérifie si c’est un carré parfait.

Exercice 6 — Réduire des expressions

Réduire :

\[ 3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2} \qquad 2\sqrt{3}+\sqrt{12}-\sqrt{27} \]
Correction

1) \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}\)

\[ (3+5-1)\sqrt{2}=7\sqrt{2} \]

2) \(2\sqrt{3}+\sqrt{12}-\sqrt{27}\)

On simplifie d’abord \(\sqrt{12}\) et \(\sqrt{27}\).

\[ \sqrt{12}=2\sqrt{3},\qquad \sqrt{27}=3\sqrt{3} \]
\[ 2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{3} =(2+2-3)\sqrt{3} =\sqrt{3} \]
⚠️ On ne peut additionner que des racines semblables (même \(\sqrt{\;}\)).
C) Niveau 3 — Problèmes type Brevet
Exercice 7 — Pythagore (hypoténuse)

Dans un triangle rectangle en \(A\), on a \(AB=9\) cm et \(AC=12\) cm. Calculer \(BC\).

Correction

Le triangle est rectangle en \(A\), donc \(BC\) est l’hypoténuse. Par Pythagore :

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \]

Donc :

\[ BC = \sqrt{225} = 15 \]

On prend la racine positive car une longueur est positive.

Exercice 8 — Pythagore (côté manquant)

Dans un triangle rectangle en \(A\), \(BC=13\) cm et \(AB=5\) cm. Calculer \(AC\).

Correction

Ici \(BC\) est l’hypoténuse. Par Pythagore :

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

On isole \(AC^2\) :

\[ AC^2 = BC^2 - AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \]

Donc :

\[ AC=\sqrt{144}=12 \]
Exercice 9 — Diagonale d’un rectangle

Un rectangle mesure \(7\) cm par \(11\) cm. Calculer la longueur de sa diagonale \(d\) (valeur exacte).

Correction

La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés sont \(7\) et \(11\). Par Pythagore :

\[ d^2 = 7^2 + 11^2 = 49 + 121 = 170 \]

Donc :

\[ d=\sqrt{170} \]

\(170\) n’a pas de carré parfait autre que \(1\), donc la forme exacte est \(\sqrt{170}\).

Exercice 10 — Aire et racines

Un carré a pour diagonale \(d=10\) cm. Calculer son côté \(c\) (valeur exacte) puis son aire \(\mathcal{A}\).

Correction

Dans un carré, la diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle : \(d=c\sqrt{2}\). Donc :

\[ c=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2} \]

Alors l’aire vaut :

\[ \mathcal{A}=c^2=(5\sqrt{2})^2=25\times2=50 \]

Résultats : \(c=5\sqrt{2}\) cm et \(\mathcal{A}=50\ \text{cm}^2\).

✔️ Mini-bilan
  • Je sais extraire un carré parfait : \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\).
  • Je sais comparer : \(18<20\Rightarrow \sqrt{18}<\sqrt{20}\).
  • Je sais réduire : \(2\sqrt{3}+\sqrt{12}-\sqrt{27}=\sqrt{3}\).
  • Je sais utiliser Pythagore et donner une valeur exacte.