Cours SOLIDE — Racines carrées (3e)
Objectif Brevet : savoir simplifier, comparer et
calculer avec des racines carrées, puis les utiliser dans des
problèmes de longueurs, d’aires et de Pythagore.
1) Définition d’une racine carrée
La racine carrée d’un nombre positif \(a\) est le nombre
positif dont le carré vaut \(a\).
\[
\sqrt{a} = b \quad \Longleftrightarrow \quad
\begin{cases}
b \ge 0 \\
b^2 = a
\end{cases}
\]
- \(\sqrt{25} = 5\) car \(5^2 = 25\)
- \(\sqrt{0} = 0\)
- \(\sqrt{a}\) n’existe que si \(a \ge 0\)
⚠️ Attention : \(\sqrt{25} \neq -5\).
La racine carrée est toujours positive ou nulle.
2) Racines carrées exactes à connaître
\[
\begin{array}{c|c}
a & \sqrt{a} \\ \hline
1 & 1 \\
4 & 2 \\
9 & 3 \\
16 & 4 \\
25 & 5 \\
36 & 6 \\
49 & 7 \\
64 & 8 \\
81 & 9 \\
100 & 10
\end{array}
\]
👉 Ces valeurs doivent être sues par cœur pour le Brevet.
3) Simplifier une racine carrée
Pour simplifier une racine carrée, on utilise la propriété :
\[
\sqrt{a \times b} = \sqrt{a}\times\sqrt{b}
\quad (a \ge 0,\; b \ge 0)
\]
On cherche un carré parfait dans le nombre sous la racine.
Exemple :
\[
\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4}\sqrt{3} = 2\sqrt{3}
\]
Autres exemples :
\[
\sqrt{18} = \sqrt{9\times 2} = 3\sqrt{2}
\qquad
\sqrt{50} = \sqrt{25\times 2} = 5\sqrt{2}
\]
❌ Erreur fréquente :
\[
\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}
\]
4) Comparer des racines carrées
Pour comparer deux racines carrées, on compare les nombres
sous les racines.
\[
a < b \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{a} < \sqrt{b}
\qquad (a \ge 0,\; b \ge 0)
\]
Exemple :
\[
\sqrt{7} < \sqrt{10} \quad \text{car } 7 < 10
\]
Si nécessaire, on peut aussi comparer les carrés.
5) Calculs avec des racines carrées
a) Addition et soustraction
On additionne uniquement des racines semblables.
\[
2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}
\]
❌ \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \) ne se simplifie pas.
b) Multiplication
\[
\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{ab}
\]
\[
\sqrt{5}\times\sqrt{20} = \sqrt{100} = 10
\]
6) Application : théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal
à la somme des carrés des deux autres côtés.
\[
\text{Si } ABC \text{ est rectangle en } A,\quad
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Exemple :
Si \(AB = 6\) cm et \(AC = 8\) cm :
\[
BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}
\]
7) Longueurs et aires avec des racines carrées
Les racines carrées apparaissent souvent dans les calculs de
distances et d’aires.
Exemple (aire) :
Un carré de diagonale \(d = 6\) cm :
\[
\text{côté} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}
\]
\[
\text{Aire} = (3\sqrt{2})^2 = 18\text{ cm}^2
\]
✔️ À retenir pour le Brevet
- \(\sqrt{a}\) existe seulement si \(a \ge 0\)
- Une racine carrée est toujours positive
- On simplifie avec des carrés parfaits
- \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
- Pythagore = application clé des racines carrées