Cours de maths 3ème : Racines carrées : calculs et problèmes
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Cours — Racines carrées : calculs et problèmes
Racines exactes • simplification • comparaison • opérations • Pythagore • longueurs et aires.
1) Objectifs et plan de travail
Compétences attendues en 3e
- Comprendre la définition de \(\sqrt a\).
- Connaître les carrés parfaits utiles au Brevet.
- Simplifier une racine carrée en faisant apparaître un carré parfait.
- Comparer deux racines carrées positives.
- Effectuer des calculs avec des racines semblables.
- Utiliser les racines carrées dans Pythagore, les longueurs et les aires.
Pièges fréquents
- \(\sqrt{25}=5\), pas \(-5\).
- \(\sqrt{a+b}\neq \sqrt a+\sqrt b\) en général.
- \(\sqrt{a^2}=a\) seulement si \(a\ge 0\). En général, \(\sqrt{a^2}=|a|\).
- On ne peut additionner que des racines semblables : \(2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3\).
Réflexe Brevet : une racine carrée apparaît souvent quand on cherche une longueur à partir d’un carré, par exemple avec le théorème de Pythagore.
2) Définition d’une racine carrée
Définition
Pour tout nombre positif ou nul \(a\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt a\), est le nombre positif ou nul dont le carré vaut \(a\).
\[
\sqrt a=b
\quad\Longleftrightarrow\quad
b\ge 0\ \text{ et }\ b^2=a.
\]
Exemples directs
- \(\sqrt{49}=7\), car \(7^2=49\).
- \(\sqrt{0}=0\), car \(0^2=0\).
- \(\sqrt{1}=1\), car \(1^2=1\).
Condition d’existence
En classe de 3e, \(\sqrt a\) existe seulement si \(a\ge 0\). Par exemple, \(\sqrt{-9}\) n’existe pas dans les nombres réels.
Exemple corrigé — vérifier une racine carrée
Vérifions \(\sqrt{64}=8\). On a bien \(8\ge 0\) et
\[
8^2=64.
\]
Donc
\[
\boxed{\sqrt{64}=8}.
\]
3) Racines carrées exactes à connaître
| Nombre | Racine carrée | Justification |
|---|---|---|
| \(1\) | \(\sqrt1=1\) | \(1^2=1\) |
| \(4\) | \(\sqrt4=2\) | \(2^2=4\) |
| \(9\) | \(\sqrt9=3\) | \(3^2=9\) |
| \(16\) | \(\sqrt{16}=4\) | \(4^2=16\) |
| \(25\) | \(\sqrt{25}=5\) | \(5^2=25\) |
| \(36\) | \(\sqrt{36}=6\) | \(6^2=36\) |
| \(49\) | \(\sqrt{49}=7\) | \(7^2=49\) |
| \(64\) | \(\sqrt{64}=8\) | \(8^2=64\) |
| \(81\) | \(\sqrt{81}=9\) | \(9^2=81\) |
| \(100\) | \(\sqrt{100}=10\) | \(10^2=100\) |
| \(121\) | \(\sqrt{121}=11\) | \(11^2=121\) |
| \(144\) | \(\sqrt{144}=12\) | \(12^2=144\) |
Méthode rapide : connaître les carrés parfaits permet de simplifier rapidement des racines comme \(\sqrt{72}\), \(\sqrt{98}\) ou \(\sqrt{200}\).
4) Simplifier une racine carrée
Propriété fondamentale
\[
\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b
\qquad (a\ge 0,\ b\ge 0).
\]
Pour simplifier \(\sqrt n\), on cherche un carré parfait qui divise \(n\). Ensuite on sort la racine de ce carré parfait.
Exemple 1
\[
\sqrt{12}
=\sqrt{4\times3}
=\sqrt4\times\sqrt3
=2\sqrt3.
\]
Exemple 2
\[
\sqrt{75}
=\sqrt{25\times3}
=\sqrt{25}\times\sqrt3
=5\sqrt3.
\]
Exemple corrigé — simplifier \(\sqrt{180}\)
On cherche le plus grand carré parfait qui divise \(180\). On remarque que
\[
180=36\times5.
\]
Donc
\[
\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=\sqrt{36}\times\sqrt5=6\sqrt5.
\]
Ainsi
\[
\boxed{\sqrt{180}=6\sqrt5}.
\]
Erreur à éviter : \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\), mais \(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7\). Donc \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\) en général.
5) Comparer des racines carrées
Idée principale
\[
0\le a
Comparer deux racines simples
Comme \(7<10\), on a
\[
\boxed{\sqrt7<\sqrt{10}}.
\]
Comparer avec simplification
Comparons \(3\sqrt2\) et \(2\sqrt5\). Les deux nombres sont positifs, donc on compare leurs carrés :
\[
(3\sqrt2)^2=18,
\qquad
(2\sqrt5)^2=20.
\]
Donc
\[
\boxed{3\sqrt2<2\sqrt5}.
\]
6) Calculer avec des racines carrées
Addition et soustraction
On additionne ou on soustrait seulement des racines semblables.
\[
2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3.
\]
\[
6\sqrt2-\sqrt2=5\sqrt2.
\]
Multiplication
\[
\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}
\qquad (a\ge0,\ b\ge0).
\]
\[
\sqrt5\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10.
\]
Attention : \(\sqrt2+\sqrt3\) ne se simplifie pas, car les racines ne sont pas semblables.
Exemple corrigé — calculer \(A=\sqrt{48}+\sqrt{75}-\sqrt{12}\)
On simplifie chaque racine :
\[
\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt3,
\qquad
\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt3,
\qquad
\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt3.
\]
Donc
\[
A=4\sqrt3+5\sqrt3-2\sqrt3=7\sqrt3.
\]
Ainsi
\[
\boxed{A=7\sqrt3}.
\]
7) Application : théorème de Pythagore
Rappel
\[
\text{Si } ABC \text{ est rectangle en } A,
\quad BC^2=AB^2+AC^2.
\]
Quand on connaît le carré d’une longueur, on utilise une racine carrée pour retrouver la longueur.
Exemple corrigé — triangle rectangle
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\), avec \(AB=6\) cm et \(AC=8\) cm. D’après Pythagore :
\[
BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100.
\]
Comme \(BC\) est une longueur positive,
\[
BC=\sqrt{100}=10.
\]
Donc
\[
\boxed{BC=10\text{ cm}}.
\]
8) Longueurs et aires avec des racines carrées
Carré et diagonale
Dans un carré de côté \(c\), la diagonale \(d\) vérifie :
\[
d^2=c^2+c^2=2c^2.
\]
Donc
\[
d=c\sqrt2.
\]
Aire d’un carré
Si un carré a pour côté \(3\sqrt2\), alors son aire vaut :
\[
(3\sqrt2)^2=9\times2=18.
\]
Donc son aire est \(18\) unités d’aire.
Exemple corrigé — retrouver le côté d’un carré
Un carré a une aire de \(72\ \text{cm}^2\). Si son côté est \(c\), alors
\[
c^2=72.
\]
Comme \(c\) est positif,
\[
c=\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2.
\]
Donc
\[
\boxed{c=6\sqrt2\ \text{cm}}.
\]
9) Formulaire final et checklist anti-erreurs
À retenir
\[
\begin{aligned}
&\sqrt a=b \iff b\ge0\ \text{ et }\ b^2=a \\
&\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b\quad(a,b\ge0) \\
&\sqrt{a^2}=|a| \\
&\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\ \text{ en général} \\
&(k\sqrt a)^2=k^2a
\end{aligned}
\]
Checklist Brevet
- J’ai vérifié que le nombre sous la racine est positif ou nul.
- J’ai cherché un carré parfait pour simplifier.
- J’ai additionné seulement les racines semblables.
- J’ai utilisé Pythagore correctement si le triangle est rectangle.
- J’ai gardé une longueur positive à la fin.
Conclusion : les racines carrées servent à retrouver un nombre positif à partir de son carré. Au Brevet, elles apparaissent surtout dans les simplifications, Pythagore, les longueurs et les aires.
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