Rectangle en \(S\) ⇒ hypoténuse \(RT\). \[RT^2=RS^2+ST^2=11^2+60^2=121+3600=3721.\] Donc \[RT=\sqrt{3721}=61.\] Ainsi \(\boxed{RT=61\ \text{cm}}\).
Rectangle en \(B\) ⇒ hypoténuse \(AC\). \[AC^2=AB^2+BC^2\Rightarrow BC^2=25^2-7^2=625-49=576.\] Donc \[BC=\sqrt{576}=24.\] Ainsi \(\boxed{BC=24\ \text{cm}}\).
Rectangle en \(E\) ⇒ hypoténuse \(DF\). \[DF^2=DE^2+EF^2\Rightarrow EF^2=20^2-16^2=400-256=144.\] Donc \[EF=\sqrt{144}=12.\] Ainsi \(\boxed{EF=12\ \text{cm}}\).
Dans le rectangle, \(\triangle ABC\) est rectangle en \(B\). \[AC^2=AB^2+BC^2=18^2+24^2=324+576=900.\] Donc \[AC=\sqrt{900}=30.\] Ainsi \(\boxed{AC=30\ \text{cm}}\).
Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu, donc \(O\) est le milieu de \([AC]\). De la question précédente, \(AC=30\). Donc \[AO=\frac{AC}{2}=\frac{30}{2}=15.\] Ainsi \(\boxed{AO=15\ \text{cm}}\).
On convertit : \(240\ \text{cm}=2{,}4\ \text{m}\). Soit \(x\) l’autre côté. \[3^2=2{,}4^2+x^2\Rightarrow x^2=9-5{,}76=3{,}24\Rightarrow x=\sqrt{3{,}24}=1{,}8.\] Donc \(\boxed{1{,}8\ \text{m}}\).
Par Pythagore : \[h^2=8^2+13^2=64+169=233\Rightarrow h=\sqrt{233}.\] Or \(\sqrt{233}\approx 15{,}264\). Au centième : \(\boxed{15{,}26\ \text{cm}}\).
Triangle rectangle : \[6^2=2{,}2^2+h^2\Rightarrow h^2=36-4{,}84=31{,}16\Rightarrow h=\sqrt{31{,}16}\approx 5{,}582.\] Au dixième : \(\boxed{5{,}6\ \text{m}}\).
Plus grand côté : \(25\). \[15^2+20^2=225+400=625\quad\text{et}\quad 25^2=625.\] Égalité vraie ⇒ triangle rectangle (réciproque). Réponse : \(\boxed{\text{oui}}\).
Plus grand côté : \(26\). \[15^2+20^2=625\quad\text{et}\quad 26^2=676.\] Comme \(625\neq 676\), il n’est pas rectangle. Réponse : \(\boxed{\text{non}}\).
Plus grand côté : \(19\). \[12^2+16^2=144+256=400\quad\text{et}\quad 19^2=361.\] Comme \(400\neq 361\), le triangle n’est pas rectangle. Réponse : \(\boxed{\text{non}}\).
Plus grand côté : \(20\). \[12^2+16^2=400\quad\text{et}\quad 20^2=400.\] Égalité vraie ⇒ triangle rectangle (réciproque). Réponse : \(\boxed{\text{oui}}\).
On calcule : \[\Delta x=8-(-1)=9,\quad \Delta y=-8-4=-12.\] \[AB=\sqrt{9^2+(-12)^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15.\] Oups : ici \(\sqrt{225}=15\). Donc \(\boxed{AB=15}\).
On calcule : \[\Delta x=9-(-3)=12,\quad \Delta y=-1-5=-6.\] \[CD=\sqrt{12^2+(-6)^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}.\] Donc \(\boxed{CD=6\sqrt{5}}\).
On calcule : \[\Delta x=-4-2=-6,\quad \Delta y=-5-7=-12.\] \[EF=\sqrt{(-6)^2+(-12)^2}=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}.\] Donc \(\boxed{EF=6\sqrt{5}}\).
Dans le trapèze rectangle, on a \(AD\perp DC\), donc \(\triangle ADC\) est rectangle en \(D\). \[AC^2=AD^2+DC^2=9^2+12^2=81+144=225.\] Donc \[AC=\sqrt{225}=15.\] Ainsi \(\boxed{AC=15\ \text{cm}}\).
Diagonale : \[d=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50.\] Le centre est le milieu de la diagonale, donc centre → coin = \(\dfrac{50}{2}=25\). Ainsi \(\boxed{25\ \text{m}}\).
Les déplacements est/nord sont perpendiculaires. \[d=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15.\] Donc \(\boxed{15\ \text{km}}\).
On simplifie : \(\sqrt{289}=17\). Le plus grand côté est donc \(17\). \[8^2+15^2=64+225=289\quad\text{et}\quad 17^2=289.\] Égalité vraie ⇒ triangle rectangle (réciproque). Réponse : \(\boxed{\text{oui}}\).
On cherche un côté de l’angle droit, donc on fait une soustraction : \[x^2=9{,}5^2-4{,}1^2=90{,}25-16{,}81=73{,}44.\] \[x=\sqrt{73{,}44}\approx 8{,}571.\] Au dixième : \(\boxed{x\approx 8{,}6\ \text{cm}}\).
Quiz HARD+ — Pythagore & réciproque (20 questions • élite 20/20)
Version HARD+ : figures variées • pièges "presque rectangle" • choix addition/soustraction • unités/arrondis • diagonales & centre • distances (repère) • réciproque exigeante.
Exercice 1.
Non vérifié
Triangle \(RST\) rectangle en \(S\). \(RS=11\) cm et \(ST=60\) cm. Calculer \(RT\).
Indice
Rectangle en \(S\) ⇒ \(RT\) est l’hypoténuse.
Exercice 2.
Triangle \(ABC\) rectangle en \(B\). \(AC=25\) cm et \(AB=7\) cm. Calculer \(BC\).
Ici tu dois choisir la bonne forme : soustraction.
Non vérifié
Indice
Hypoténuse \(AC\). \(BC^2=AC^2-AB^2\).
Exercice 3.
Non vérifié
Triangle \(DEF\) rectangle en \(E\). \(DF=20\) cm, \(DE=16\) cm. Calculer \(EF\).
Indice
Hypoténuse \(DF\).
Exercice 4.
Non vérifié
Dans le rectangle \(ABCD\), on a \(AB=18\) cm et \(BC=24\) cm. Calculer \(AC\).
Indice
La diagonale est l’hypoténuse : \(AC^2=18^2+24^2\).
Exercice 5. Dans le rectangle de la question précédente, \(O\) est l’intersection des diagonales. Calculer \(AO\).
Non vérifié
Indice
Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu : \(AO=\dfrac{AC}{2}\).
Exercice 6. Un triangle rectangle a une hypoténuse de \(3\) m et un côté de \(240\) cm. Calculer l’autre côté en m.
Non vérifié
Indice
Convertir : \(240\ \text{cm}=2{,}4\ \text{m}\).
Exercice 7. Triangle rectangle : côtés \(8\) cm et \(13\) cm. Calculer l’hypoténuse au centième.
Non vérifié
Indice
\(h=\sqrt{8^2+13^2}=\sqrt{233}\).
Exercice 8. Échelle : longueur \(6\) m, pied à \(2{,}2\) m du mur. Hauteur atteinte au dixième ?
Non vérifié
Indice
\(h=\sqrt{6^2-2{,}2^2}\).
Exercice 9. Un triangle a pour côtés \(15\) cm, \(20\) cm et \(25\) cm. Est-il rectangle ? (oui/non)
Non vérifié
Indice
Comparer \(15^2+20^2\) et \(25^2\).
Exercice 10. Un triangle a pour côtés \(15\) cm, \(20\) cm et \(26\) cm. Est-il rectangle ? (oui/non)
Non vérifié
Indice
Très proche du précédent : il faut tester avec les carrés.
Exercice 11. Un triangle a pour côtés \(12\) cm, \(16\) cm et \(19\) cm. Est-il rectangle ? (oui/non)
Non vérifié
Indice
Comparer \(12^2+16^2\) et \(19^2\).
Exercice 12. Un triangle a pour côtés \(12\) cm, \(16\) cm et \(20\) cm. Est-il rectangle ? (oui/non)
Non vérifié
Indice
Comparer \(12^2+16^2\) et \(20^2\).
Exercice 13.
Non vérifié
Dans un repère : \(A(-1;4)\) et \(B(8; -8)\). Calculer \(AB\) (valeur exacte).
Indice
\(\Delta x=9\), \(\Delta y=-12\).
Exercice 14. Dans un repère : \(C(-3;5)\) et \(D(9;-1)\). Donner \(CD\) (valeur exacte).
Non vérifié
Indice
\(\Delta x=12\), \(\Delta y=-6\).
Exercice 15. Dans un repère : \(E(2;7)\) et \(F(-4;-5)\). Donner \(EF\) (valeur exacte).
Non vérifié
Indice
\(\Delta x=-6\), \(\Delta y=-12\).
Exercice 16.
Non vérifié
Trapèze rectangle \(ABCD\) (angle droit en \(A\)). On donne \(AD=9\) cm et \(DC=12\) cm. Calculer \(AC\).
Indice
Dans la figure, \(\triangle ADC\) est rectangle en \(D\).
Exercice 17. Un rectangle mesure \(40\) m sur \(30\) m. On veut relier le centre du rectangle à un coin. Distance ?
Non vérifié
Indice
Centre → coin = moitié de la diagonale. Diagonale : \(\sqrt{40^2+30^2}\).
Exercice 18. Un randonneur marche \(9\) km vers l’est puis \(12\) km vers le nord. Distance directe entre départ et arrivée ?
Non vérifié
Indice
Triangle rectangle : \(\sqrt{9^2+12^2}\).
Exercice 19. Un triangle a pour côtés \(8\) cm, \(15\) cm et \(\sqrt{289}\) cm. Est-il rectangle ? (oui/non)
Non vérifié
Indice
Commencer par simplifier : \(\sqrt{289}=17\).
Exercice 20. Triangle rectangle : hypoténuse \(9{,}5\) cm et un côté \(4{,}1\) cm. Calculer l’autre côté au dixième.
Non vérifié
Indice
Côté de l’angle droit ⇒ \(x=\sqrt{9{,}5^2-4{,}1^2}\).