Théorème de Pythagore et réciproque

3e Maths — calcul de longueurs • réciproque • distance • problèmes type Brevet.

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Fiche PREMIUM — Pythagore & réciproque (3e • Brevet)

L’essentiel à connaître + méthodes Brevet + pièges + formules “distance”. Objectif : réussir tous les exercices de calcul de longueurs et de réciproque.

Hypoténuse Formule Réciproque Distance Pièges
1) Schéma — repérer l’hypoténuse (indispensable)
  • Triangle rectangle : il possède un angle droit.
  • Hypoténuse : côté opposé à l’angle droit (et plus long côté).
  • Côtés de l’angle droit : les deux côtés qui “forment” l’angle droit.
A B C AB BC AC (hypoténuse)
Piège Brevet : l’hypoténuse n’est pas “le côté vertical”.
👉 On repère l’angle droit, puis on prend le côté opposé.
2) Théorème de Pythagore
\[ \text{Si } \triangle ABC \text{ est rectangle en } B,\quad AC^2 = AB^2 + BC^2 \]
Méthode Brevet (obligatoire dans la rédaction)
  1. Écrire : « Le triangle … est rectangle en … »
  2. Dire : « Donc l’hypoténuse est … »
  3. Écrire la formule avec les bonnes lettres.
  4. Calculer le carré manquant (addition / soustraction).
  5. Prendre la racine carrée + conclure avec l’unité.
Cas n°1 — calculer l’hypoténuse

On additionne les carrés puis on prend la racine.

\[ \boxed{\text{hypoténuse} = \sqrt{(\text{côté})^2 + (\text{côté})^2}} \]
Cas n°2 — calculer un côté de l’angle droit

On soustrait le carré connu à partir du carré de l’hypoténuse.

\[ \boxed{\text{côté} = \sqrt{(\text{hypoténuse})^2 - (\text{autre côté})^2}} \]
3) Réciproque de Pythagore
\[ \text{Si } AB^2 + BC^2 = AC^2 \text{ (avec } AC \text{ le plus grand côté),} \ \Longrightarrow\ \triangle ABC \text{ est rectangle.} \]
Checklist “Réciproque” (anti-erreurs)
  1. Repérer le plus grand côté (candidat hypoténuse).
  2. Calculer les carrés (sans arrondir).
  3. Comparer : \(\text{petit}^2 + \text{petit}^2\) et \(\text{grand}^2\).
  4. Si égalité exacte : triangle rectangle (au sommet opposé au grand côté).
4) Distance entre deux points (repère) — formule Brevet+

Entre \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\), on utilise Pythagore sur \(\Delta x = x_B-x_A\) et \(\Delta y = y_B-y_A\).

\[ \boxed{AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}} \]
Mini-exemple

\(A(1;2)\), \(B(7;10)\) : \(\Delta x = 6\), \(\Delta y = 8\).

\[ AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \] \[ \boxed{AB = 10} \]
5) Exemples flash (résultats à connaître)
  • Triangle rectangle : côtés \(6\) et \(8\) \(\Rightarrow\) hypoténuse \(=10\).
  • Triangle rectangle : hypoténuse \(13\) et côté \(5\) \(\Rightarrow\) autre côté \(=12\).
  • Diagonale rectangle \(9 \times 12\) \(\Rightarrow\) diagonale \(=15\).
6) Les 5 pièges Brevet à éviter
  1. Oublier de vérifier que le triangle est rectangle.
  2. Se tromper d’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit).
  3. Mélanger les unités (cm / m).
  4. Arrondir trop tôt (on arrondit à la fin).
  5. Oublier la conclusion avec l’unité et la phrase.
\[ \boxed{\text{Toujours : (hypoténuse)}^2 = (\text{côté})^2 + (\text{côté})^2} \]
7) Mini-entraînement (à faire en 5 minutes)
  1. Triangle rectangle : \(AB=9\) cm, \(BC=12\) cm. Calculer \(AC\).
  2. Triangle rectangle : hypoténuse \(=17\) cm, un côté \(=8\) cm. Calculer l’autre côté.
  3. Montrer qu’un triangle de côtés \(7\) cm, \(24\) cm, \(25\) cm est rectangle.

(Corrections complètes disponibles dans le cours.)

8) À retenir (résumé Brevet)
  • Pythagore : triangle rectangle \(\Rightarrow\) \(\text{hypoténuse}^2 = \text{côté}^2 + \text{côté}^2\).
  • Réciproque : si \(\text{petit}^2+\text{petit}^2=\text{grand}^2\), alors triangle rectangle.
  • Distance : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\).