Calculer des longueurs • reconnaître l’hypoténuse • utiliser la réciproque • distance dans un repère • problèmes type Brevet (avec corrections détaillées).
- Savoir calculer des carrés : \(7^2=49\), \(12^2=144\), \(0{,}5^2=0{,}25\).
- Savoir prendre une racine carrée : \(\sqrt{64}=8\), \(\sqrt{225}=15\).
- Unités : convertir avant de calculer (ex : \(600\ \text{cm} = 6\ \text{m}\)).
- Arrondis : on arrondit à la fin.
Un triangle est rectangle s’il possède un angle droit.
- Les deux côtés qui forment l’angle droit : côtés de l’angle droit.
- Le côté opposé à l’angle droit : hypoténuse (c’est le plus long côté).
👉 On repère l’angle droit, puis on prend le côté opposé.
Énoncé : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
\[ \text{Si } \triangle ABC \text{ est rectangle en } B,\quad AC^2 = AB^2 + BC^2 \]- « Le triangle … est rectangle en … »
- « Donc l’hypoténuse est … »
- « D’après Pythagore : … »
- Calcul, puis racine carrée
- Conclusion avec l’unité
- Calculer l’hypoténuse : on additionne, puis racine.
- Calculer un côté de l’angle droit : on soustrait, puis racine.
Dans \(ABC\) rectangle en \(B\), \(AB=6\) cm et \(BC=8\) cm. Calculer \(AC\).
Dans \(DEF\) rectangle en \(E\), \(DF=13\) cm (hypoténuse) et \(DE=5\) cm. Calculer \(EF\).
Un rectangle mesure \(9\) cm sur \(12\) cm. Calculer sa diagonale \(d\).
Énoncé : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
\[ \text{Si } AB^2 + BC^2 = AC^2 \text{ (avec } AC \text{ plus grand côté),} \ \Longrightarrow\ \triangle ABC \text{ est rectangle.} \]- Repérer le plus grand côté.
- Calculer les carrés (sans arrondir).
- Comparer \(\text{petit}^2 + \text{petit}^2\) avec \(\text{grand}^2\).
- Si égalité : conclure « triangle rectangle en … »
Dans le triangle \(RST\) rectangle en \(S\), on donne : \(RS = 7\) cm et \(ST = 24\) cm. Calculer \(RT\).
(Beaucoup se trompent car ils mettent le mauvais côté au carré.)
Correction détaillée :
- Le triangle est rectangle en \(S\) \(\Rightarrow\) l’angle droit est au point \(S\).
- L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit \(\Rightarrow\) ici c’est \(RT\).
Un triangle rectangle a pour hypoténuse \(10\) m et un côté de l’angle droit \(600\) cm. Calculer l’autre côté.
Correction détaillée :
On doit d’abord mettre dans la même unité. Or \(600\) cm \(= 6\) m.
\[ 10^2 = 6^2 + x^2 \] \[ x^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \] \[ x = \sqrt{64} = 8 \] \[ \boxed{x = 8\ \text{m}} \]Dans le triangle \(ABC\), on donne : \(AB = 6\) cm, \(AC = 10\) cm, \(BC = 8\) cm. Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle.
Correction détaillée :
- On repère le plus grand côté : \(AC = 10\) cm.
- Si le triangle est rectangle, alors \(AC\) serait l’hypoténuse.
- On teste la réciproque : vérifier si \(AB^2 + BC^2 = AC^2\).
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).
\[ \boxed{\triangle ABC \text{ est rectangle en } B} \]Dans le triangle \(DEF\), on donne : \(DE = 4{,}5\) cm, \(DF = 7{,}5\) cm, \(EF = 6\) cm. Le triangle est-il rectangle ?
Correction détaillée :
- Plus grand côté : \(DF = 7{,}5\) cm \(\Rightarrow\) candidat hypoténuse.
- On calcule et on compare : \(DE^2 + EF^2\) et \(DF^2\).
Les égalités sont exactes (pas besoin d’arrondir), donc le triangle est rectangle en \(E\).
\[ \boxed{\triangle DEF \text{ est rectangle en } E} \]- Identifier le plus grand côté (candidat hypoténuse).
- Calculer les carrés (sans arrondir trop tôt).
- Vérifier : \(\text{petit}^2 + \text{petit}^2 = \text{grand}^2\).
- Conclure : rectangle au sommet opposé au grand côté.
Pour calculer la distance entre deux points, on construit un triangle rectangle avec \(\Delta x\) et \(\Delta y\), puis on applique Pythagore.
\(A(1;2)\), \(B(7;10)\) : \(\Delta x = 6\), \(\Delta y = 8\).
Un écran rectangulaire mesure \(48\) cm de large et \(36\) cm de haut. Calculer la longueur de la diagonale.
Un jardin rectangulaire mesure \(15\) m sur \(8\) m. On veut aller d’un coin à l’opposé en ligne droite. Quelle distance parcourt-on ?
Un triangle a pour côtés \(9\) cm, \(12\) cm et \(15\) cm. Est-il rectangle ?
Plus grand côté : \(15\). On teste la réciproque :
\[ 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \] \[ 15^2 = 225 \] \[ 9^2 + 12^2 = 15^2 \Rightarrow \boxed{\text{triangle rectangle}} \]- Hypoténuse : côté opposé à l’angle droit.
- Pythagore : \(\text{hypoténuse}^2 = \text{côté}^2 + \text{côté}^2\).
- Réciproque : si \(\text{petit}^2+\text{petit}^2=\text{grand}^2\) alors triangle rectangle.
- Distance : \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
- Unités : convertir avant de calculer.
- Arrondi : à la fin, avec conclusion.