Exercices corrigés — Théorème De Pythagore Et Réciproque (3e)

Méthode. \(AC\) est le côté opposé à l’angle droit : c’est l’hypoténuse.

\[ AC^2=AB^2+BC^2 \] \[ AC^2=8^2+15^2=64+225=289 \] \[ AC=\sqrt{289}=17 \]

Vérification. \(17^2=289=8^2+15^2\).

Conclusion. \(\boxed{AC=17\ \text{cm}}\).

Méthode. \(AC\) est l’hypoténuse. On isole \(AB^2\).

\[ AC^2=AB^2+BC^2 \quad\Longrightarrow\quad AB^2=AC^2-BC^2 \] \[ AB^2=13^2-12^2=169-144=25 \] \[ AB=5 \]

Vérification. \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\).

Conclusion. \(\boxed{AB=5\ \text{cm}}\).

\[ AC^2=AB^2+BC^2=4^2+4^2=16+16=32 \] \[ AC=\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt2 \]

Vérification. \((4\sqrt2)^2=16\times2=32\).

Conclusion. \(\boxed{AC=4\sqrt2\ \text{cm}}\).

Dans un rectangle, \(AD=BC=12\) cm et le triangle \(ABD\) est rectangle en \(A\).

\[ BD^2=AB^2+AD^2=5^2+12^2=25+144=169 \] \[ BD=13 \]

Conclusion. \(\boxed{BD=13\ \text{cm}}\).

Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

\[ AO=\frac{AC}{2}=8, \qquad BO=\frac{BD}{2}=6 \]

Le triangle \(AOB\) est rectangle en \(O\).

\[ AB^2=AO^2+BO^2=8^2+6^2=64+36=100 \] \[ AB=10 \]

Conclusion. \(\boxed{AO=8\ \text{cm},\ BO=6\ \text{cm},\ AB=10\ \text{cm}}\).

Méthode. Le plus grand côté est \(AC=10\) cm.

\[ AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100 \] \[ AC^2=10^2=100 \]

Comme \(AB^2+BC^2=AC^2\), la réciproque du théorème de Pythagore s’applique.

Conclusion. \(\boxed{ABC\text{ est rectangle en }B}\).

Le plus grand côté est \(AC=10\) cm.

\[ AB^2+BC^2=7^2+8^2=49+64=113 \] \[ AC^2=100 \]

Or \(113\ne100\).

Conclusion. \(\boxed{ABC\text{ n’est pas rectangle}}\).

Les quatre côtés égaux montrent que \(ABCD\) est un losange, donc un parallélogramme.

Dans un parallélogramme, si les diagonales sont de même longueur, alors le parallélogramme est un rectangle. Ici \(AC=BD\), donc \(ABCD\) est aussi un rectangle.

\(ABCD\) est à la fois un losange et un rectangle.

Conclusion. \(\boxed{ABCD\text{ est un carré}}\).

Puisque \(AB=CD\) et \(AD=BC\), les côtés opposés sont deux à deux égaux : \(ABCD\) est donc un parallélogramme.

Dans le triangle \(ABD\), le plus grand côté est \(BD=13\).

\[ AB^2+AD^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2=BD^2 \]

Le triangle \(ABD\) est donc rectangle en \(A\).

Un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle.

Conclusion. \(\boxed{ABCD\text{ est un rectangle}}\).

Les côtés opposés étant égaux, \(ABCD\) est un parallélogramme. On teste alors le triangle \(ABD\).

\[ AB^2+AD^2=6^2+8^2=36+64=100 \] \[ BD^2=9^2=81 \]

L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée.

Conclusion. \(\boxed{\text{On ne peut pas conclure que }ABCD\text{ est un rectangle}}\).

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\) :

\[ AC^2=AB^2+BC^2 \] \[ BC^2=AC^2-AB^2=(8\sqrt2)^2-8^2=128-64=64 \] \[ BC=8 \]

On obtient \(AB=BC=8\) cm.

Conclusion. Un rectangle ayant deux côtés consécutifs égaux est un carré : \(\boxed{ABCD\text{ est un carré}}\).

Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Soit \(O\) leur point d’intersection.

\[ AO=\frac{AC}{2}=\frac{5\sqrt2}{2} \]

Dans le triangle \(AOB\) rectangle en \(O\) :

\[ BO^2=AB^2-AO^2 =25-\left(\frac{5\sqrt2}{2}\right)^2 =25-\frac{25}{2} =\frac{25}{2} \] \[ BO=\frac{5\sqrt2}{2} \quad\Longrightarrow\quad BD=2BO=5\sqrt2 \]

Ainsi \(AC=BD\). Un losange ayant ses diagonales égales est un carré.

Conclusion. \(\boxed{ABCD\text{ est un carré}}\).

Le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\).

\[ BH^2=AB^2-AH^2=5^2-3^2=25-9=16 \quad\Longrightarrow\quad BH=4 \]

Le triangle \(BHC\) est aussi rectangle en \(H\).

\[ BC^2=BH^2+HC^2=4^2+10^2=16+100=116 \] \[ BC=\sqrt{116}=2\sqrt{29} \]

Conclusion. \(\boxed{BH=4\ \text{cm}\ ;\ BC=2\sqrt{29}\ \text{cm}}\).

Étape 1 — Pythagore.

\[ AC^2=5^2+12^2=169 \quad\Longrightarrow\quad AC=13 \]

Étape 2 — aire calculée de deux façons.

\[ \mathcal A=\frac{AB\times BC}{2} =\frac{5\times12}{2} \] \[ \mathcal A=\frac{AC\times BH}{2} =\frac{13\times BH}{2} \] \[ BH=\frac{5\times12}{13}=\frac{60}{13} \]

Conclusion. \(\boxed{AC=13\ \text{cm}\ ;\ BH=\dfrac{60}{13}\ \text{cm}}\).

La différence des longueurs des deux bases vaut :

\[ BC-AD=10-6=4 \]

Cette différence et la hauteur \(AB=3\) cm constituent les deux côtés de l’angle droit du triangle dont \(DC\) est l’hypoténuse.

\[ DC^2=3^2+4^2=9+16=25 \quad\Longrightarrow\quad DC=5 \]

Conclusion. \(\boxed{DC=5\ \text{cm}}\).

Dans un trapèze isocèle, les deux débords sur la grande base sont égaux :

\[ BH=KC=\frac{BC-AD}{2} =\frac{24-14}{2}=5 \]

Le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\).

\[ AH^2=AB^2-BH^2=13^2-5^2=169-25=144 \] \[ AH=12 \]

Vérification. \(5^2+12^2=13^2\).

Conclusion. \(\boxed{BH=5\ \text{cm}\ ;\ AH=12\ \text{cm}}\).

Dans \(ABC\).

\[ AC^2=4^2+4^2=32 \quad\Longrightarrow\quad AC=4\sqrt2 \]

Dans \(ACD\). \(AD\) est l’hypoténuse.

\[ CD^2=AD^2-AC^2 =8^2-(4\sqrt2)^2 =64-32=32 \] \[ CD=4\sqrt2 \]

Conclusion. \(\boxed{AC=CD=4\sqrt2\ \text{cm}}\).

1. Triangle \(ABC\).

\[ AC^2=4^2+4^2=32 \quad\Longrightarrow\quad AC=4\sqrt2 \]

2. Triangle \(ACD\).

\[ AD^2=AC^2+CD^2=32+16=48 \quad\Longrightarrow\quad AD=4\sqrt3 \]

3. Triangle \(ADE\).

\[ AE^2=AD^2+DE^2=48+16=64 \quad\Longrightarrow\quad AE=8 \]

Conclusion. \(\boxed{AC=4\sqrt2,\ AD=4\sqrt3,\ AE=8\ \text{cm}}\).

Étape 1 — hypoténuse \(ED\) du triangle \(ECD\).

\[ ED^2=EC^2+CD^2=8^2+8^2=128 \quad\Longrightarrow\quad ED=8\sqrt2 \]

Dans un triangle rectangle isocèle, la hauteur issue du sommet de l’angle droit vers l’hypoténuse est aussi une médiane. Donc

\[ CK=\frac{ED}{2}=4\sqrt2 \]

Comme \(ABDE\) est un rectangle, la distance entre \((AB)\) et \((ED)\) vaut \(AE=8\) cm, donc \(HK=8\) cm.

\[ CH=HK+KC=8+4\sqrt2 \]

Conclusion. \(\boxed{CH=8+4\sqrt2\ \text{cm}}\).

1. Calcul de \(AE\). Le triangle \(ABE\) est rectangle en \(B\).

\[ AE^2=AB^2+BE^2=9+x^2 \quad\Longrightarrow\quad AE=\sqrt{x^2+9} \]

2. Calcul de \(DE\). Comme \(EC=10-x\) et \(DC=AB=3\), le triangle \(DCE\) est rectangle en \(C\).

\[ DE^2=DC^2+EC^2=9+(10-x)^2 \] \[ DE=\sqrt{(10-x)^2+9} \]

3. Triangle \(AED\), rectangle en \(E\).

\[ AD^2=AE^2+DE^2 \] \[ 100=(x^2+9)+\big((10-x)^2+9\big) \] \[ 100=x^2+9+100-20x+x^2+9 \] \[ 2x^2-20x+18=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2-10x+9=0 \]

4. Factorisation.

\[ (x-1)(x-9)=x^2-10x+9 \]

5. Résolution.

\[ (x-1)(x-9)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1\ \text{ou}\ x=9 \]

Les deux valeurs appartiennent bien à l’intervalle \([0;10]\).

Conclusion. \(\boxed{BE=1\ \text{cm}\ \text{ou}\ BE=9\ \text{cm}}\).

Dans la base rectangulaire :

\[ AC^2=3^2+4^2=25 \quad\Longrightarrow\quad AC=5 \]

Puis dans le triangle rectangle de l’espace :

\[ AG^2=AC^2+AE^2=5^2+12^2=25+144=169 \] \[ AG=13 \]

Vérification. \(AG^2=AB^2+BC^2+AE^2=9+16+144=169\).

Conclusion. \(\boxed{AC=5\ \text{cm}\ ;\ AG=13\ \text{cm}}\).

\[ AC^2=2^2+3^2=13 \quad\Longrightarrow\quad AC=\sqrt{13} \] \[ AG^2=AC^2+AE^2=13+36=49 \quad\Longrightarrow\quad AG=7 \]

Conclusion. \(\boxed{AC=\sqrt{13}\ \text{cm}\ ;\ AG=7\ \text{cm}}\).

Deux applications successives de Pythagore donnent directement :

\[ AG^2=AB^2+BC^2+AE^2 \] \[ AG^2=4^2+10^2+8^2=16+100+64=180 \] \[ AG=\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=6\sqrt5 \]

Conclusion. \(\boxed{AG=6\sqrt5\ \text{cm}}\).

Diagonale de la base.

\[ AC^2=7^2+24^2=49+576=625 \quad\Longrightarrow\quad AC=25 \]

Hauteur du pavé.

\[ AE^2=AG^2-AC^2=65^2-25^2=4225-625=3600 \] \[ AE=60 \]

Vérification. \(25^2+60^2=625+3600=4225=65^2\).

Conclusion. \(\boxed{AC=25\ \text{cm}\ ;\ AE=60\ \text{cm}}\).

Posons \(AB=BC=x\).

\[ AC^2=x^2+x^2=2x^2 \quad\Longrightarrow\quad AC=x\sqrt2 \]

Comme \(AC=CD\), le triangle \(ACD\) est rectangle isocèle en \(C\).

\[ AD^2=AC^2+CD^2=2AC^2 =2(x\sqrt2)^2=4x^2 \] \[ AD=2x \] \[ 2x=3\sqrt3 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{3\sqrt3}{2} \]

Conclusion. \(\boxed{AB=\dfrac{3\sqrt3}{2}\ \text{cm}}\).

Posons \(AB=BC=x\). Alors :

\[ AC=x\sqrt2 \]

Puis, puisque \(AC=CD\) :

\[ AD^2=AC^2+CD^2 =2(x\sqrt2)^2 =4x^2 \] \[ AD=2x \] \[ 16=2x \quad\Longrightarrow\quad x=8 \]

Conclusion. \(\boxed{AB=8\ \text{cm}}\).

1. Triangle \(ADM\), rectangle en \(D\).

\[ DM^2=AM^2-AD^2 =32^2-19{,}2^2 =1024-368{,}64 =655{,}36 \] \[ DM=25{,}6\ \text{cm} \]

2. Calcul de \(CM\) puis \(BM\).

\[ DC=AB=40 \quad\Longrightarrow\quad CM=40-25{,}6=14{,}4 \]

Dans le triangle \(BCM\) rectangle en \(C\), avec \(BC=AD=19{,}2\) :

\[ BM^2=19{,}2^2+14{,}4^2 =368{,}64+207{,}36 =576 \] \[ BM=24\ \text{cm} \]

3. Réciproque dans \(AMB\). Le plus grand côté est \(AB=40\) cm.

\[ AM^2+BM^2=32^2+24^2=1024+576=1600 \] \[ AB^2=40^2=1600 \]

Conclusion. \(\boxed{AMB\text{ est rectangle en }M}\).

1. Dans \(ABC\).

\[ AC^2=x^2+x^2=2x^2 \quad\Longrightarrow\quad AC=x\sqrt2 \]

2. Dans \(ACD\). Comme \(AC=CD=x\sqrt2\) :

\[ AD^2=(x\sqrt2)^2+(x\sqrt2)^2 =2x^2+2x^2 =4x^2 \] \[ AD=2x \]

3. Utilisation de la donnée \(AD=4\sqrt6\).

\[ 2x=4\sqrt6 \quad\Longrightarrow\quad x=2\sqrt6 \] \[ AC=x\sqrt2 =2\sqrt6\times\sqrt2 =2\sqrt{12} =4\sqrt3 \] \[ CD=AC=4\sqrt3 \]

Vérification.

\[ (4\sqrt3)^2+(4\sqrt3)^2 =48+48 =96 =(4\sqrt6)^2 \]

Conclusion. \(\boxed{x=2\sqrt6\ \text{cm},\ AC=CD=4\sqrt3\ \text{cm}}\).

Dans un carré de côté \(6\) cm, une diagonale mesure bien \(6\sqrt2\) cm. Les données sont donc compatibles avec un carré.

Mais elles ne donnent aucune information sur \(BC\), \(CD\), \(DA\), ni sur les angles du quadrilatère. Plusieurs quadrilatères non carrés peuvent posséder un côté de longueur \(6\) cm et une diagonale de longueur \(6\sqrt2\) cm.

Conclusion. \(\boxed{\text{Non, les données sont insuffisantes pour prouver que }ABCD\text{ est un carré}}\).

Les propriétés « diagonales égales » et « diagonales perpendiculaires » sont toutes deux vraies dans un carré.

Cependant, pour caractériser un parallélogramme — puis un carré — il faut notamment savoir que les diagonales se coupent en leur milieu. Cette information n’est pas donnée ici.

Les deux propriétés fournies ne suffisent donc pas, à elles seules, à imposer la structure d’un carré.

Conclusion. \(\boxed{\text{Non, on ne peut pas conclure que }ABCD\text{ est un carré}}\).