Fiche de révision — Nombres Relatifs, Fractions Et Puissances (3e)
Cette fiche de révision de maths en 3ème résume le chapitre Nombres Relatifs, Fractions Et Puissances. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
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3e
Chapitres
Fiche de révision — Nombres relatifs, fractions et puissances
L’essentiel pour réussir les calculs de 3e et le Brevet : priorités • signes • fractions • puissances • écriture scientifique • pièges classiques.
1) L’essentiel à retenir
\[
\text{Parenthèses} \rightarrow \text{Puissances} \rightarrow \times,\div \rightarrow +,-
\]
\[
a-b=a+(-b),
\qquad
\text{pair de nombres négatifs}\Rightarrow +,
\qquad
\text{impair}\Rightarrow -
\]
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd},
\qquad
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}
\]
\[
\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc},
\qquad
\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{ac}{b},
\qquad
\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}
\]
\[
a^m\times a^n=a^{m+n},
\qquad
\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},
\qquad
a^{-n}=\frac{1}{a^n}
\]
Dans les formules avec fractions, tous les dénominateurs écrits doivent être non nuls.
Réflexe Brevet : dans un calcul long, on ne fait jamais tout en une seule ligne. On traite d’abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications/divisions, puis les additions/soustractions.
2) Priorités opératoires
Ordre de calcul
On calcule dans cet ordre :
\[
(\ ) \quad \rightarrow \quad \text{puissances} \quad \rightarrow \quad \times,\div \quad \rightarrow \quad +,-.
\]
Les opérations de même priorité se font de gauche à droite.
Exemple direct
\[
5+2(7-3)^2
=5+2\times4^2
=5+2\times16
=37.
\]
Piège classique :
\[
7-3^2=7-9=-2,
\qquad
(7-3)^2=4^2=16.
\]
Les parenthèses changent complètement le calcul.
3) Nombres relatifs
Opposé et valeur absolue
- L’opposé de \(a\) est \(-a\).
- La valeur absolue \(|a|\) est la distance de \(a\) à 0.
- Exemple : \(|-7|=7\) et \(|5|=5\).
Addition et soustraction
- Même signe : on additionne les distances à 0 et on garde le signe.
- Signes différents : on soustrait les distances à 0 et on garde le signe du nombre le plus éloigné de 0.
- Soustraire revient à ajouter l’opposé : \(a-b=a+(-b)\).
| Calcul | Méthode | Résultat |
|---|---|---|
| \(-8+(-5)\) | Même signe : on additionne et on garde le signe négatif. | \(-13\) |
| \(-12+7\) | Signes différents : \(12-7=5\), signe du plus grand en valeur absolue. | \(-5\) |
| \(7-(-3)\) | Soustraire \(-3\), c’est ajouter \(3\). | \(10\) |
Règle des signes
\[
(+)\times(+)=+,
\qquad
(-)\times(-)=+,
\qquad
(+)\times(-)=-,
\qquad
(-)\times(+)=-.
\]
Même règle pour le quotient, avec un dénominateur non nul.
Exemples rapides
\[
(-6)\times(-3)=18,
\qquad
\frac{180}{-6}=-30,
\qquad
(-4)\times5=-20.
\]
Plusieurs nombres négatifs
Dans une suite de multiplications ou de divisions, on compte le nombre de nombres négatifs :
- nombre pair \(\Rightarrow\) résultat positif ;
- nombre impair \(\Rightarrow\) résultat négatif.
Signes successifs
\[
++\to+,\qquad +-\to-,\qquad -+\to-,\qquad --\to+.
\]
\[
-(-5)=5,\qquad -(-(-5))=-5.
\]
Calculs type A / B / C — relatifs
\[
A=-8+15-6=1
\]
\[
B=7-(-4)+(-9)=7+4-9=2
\]
\[
C=(-2)\times(-3)\times(-5)\times4=-120.
\]
Réflexe : traiter les parenthèses, déterminer le signe, puis calculer les valeurs en respectant les priorités.
4) Fractions
Simplifier
On divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul :
\[
\frac{84}{126}=\frac{84\div42}{126\div42}=\frac{2}{3}.
\]
Addition et soustraction
On met au même dénominateur :
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd},
\qquad
\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}
\quad (b\neq0,\ d\neq0).
\]
Multiplier
\[
\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}
\quad (b\neq0,\ d\neq0).
\]
Il est souvent plus propre de simplifier avant de multiplier.
Diviser
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}
\quad (b\neq0, c\neq0, d\neq0).
\]
Exemple 1 — Addition
\[
\frac{3}{4}+\frac{5}{6}
=\frac{3\times3}{4\times3}+\frac{5\times2}{6\times2}
=\frac{9}{12}+\frac{10}{12}
=\frac{19}{12}.
\]
Exemple 2 — Division
\[
\frac{3}{5}\div\frac{9}{10}
=\frac{3}{5}\times\frac{10}{9}
=\frac{30}{45}
=\frac{2}{3}.
\]
Fractions imbriquées — types A / B / C
Idée essentielle : repérer la barre de fraction principale, puis transformer la division en multiplication par l’inverse.
Type A — fraction au numérateur
\[
\frac{\frac{a}{b}}{c}
=\frac{a}{b}\div c
=\frac{a}{b}\times\frac1c
=\boxed{\frac{a}{bc}}
\]
avec \(b\neq0\) et \(c\neq0\).
\[
\frac{\frac65}{3}=\frac65\times\frac13=\frac25.
\]
Type B — fraction au dénominateur
\[
\frac{a}{\frac{b}{c}}
=a\div\frac bc
=a\times\frac cb
=\boxed{\frac{ac}{b}}
\]
avec \(b\neq0\) et \(c\neq0\).
\[
\frac8{\frac43}=8\times\frac34=6.
\]
Type C — fraction sur fraction
\[
\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}
=\frac ab\div\frac cd
=\frac ab\times\frac dc
=\boxed{\frac{ad}{bc}}
\]
avec \(b\neq0,\ c\neq0,\ d\neq0\).
\[
\frac{\frac34}{\frac56}
=\frac34\times\frac65
=\frac9{10}.
\]
Attention : les écritures
\[
\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc}
\qquad\text{et}\qquad
\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{ac}{b}
\]
ne représentent pas, en général, la même expression.
Attention :
\[
\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}
\]
est vrai si \(c\neq0\), mais
\[
\frac{a}{b+c}\neq\frac{a}{b}+\frac{a}{c}
\]
en général. On ne distribue jamais un dénominateur comme une addition.
5) Puissances
Définitions
Pour \(n\) entier positif :
\[
a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\ \text{facteurs}}.
\]
Pour \(a\neq0\) :
\[
a^0=1,
\qquad
a^{-n}=\frac{1}{a^n}.
\]
Règles indispensables
\[
a^m\times a^n=a^{m+n}
\]
\[
\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a\neq0)
\]
\[
(a^m)^n=a^{mn}
\]
\[
(ab)^n=a^n b^n,
\qquad
\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\quad(b\neq0)
\]
Si \(n<0\), la base doit être non nulle ; pour \(\left(\frac ab\right)^n\), on doit alors aussi avoir \(a\neq0\).
| Expression | Transformation | Résultat |
|---|---|---|
| \(2^3\times2^5\) | On additionne les exposants. | \(2^8=256\) |
| \(\dfrac{10^7}{10^3}\) | On soustrait les exposants. | \(10^4\) |
| \((3^2)^4\) | On multiplie les exposants. | \(3^8\) |
| \(2^{-1}\) | Exposant négatif. | \(\dfrac12\) |
Piège majeur :
\[
(-3)^2=9
\qquad \text{mais} \qquad
-3^2=-(3^2)=-9.
\]
Et surtout :
\[
a^m+a^n\neq a^{m+n}.
\]
6) Notation scientifique
Définition
L’écriture scientifique d’un nombre décimal non nul est de la forme
\[
a\times10^n
\qquad \text{avec} \qquad
1\le |a|<10,
\quad n\in\mathbb{Z}.
\]
Grand nombre
\[
45\,600=4{,}56\times10^4.
\]
On a déplacé la virgule de 4 rangs vers la gauche.
Petit nombre
\[
0{,}00073=7{,}3\times10^{-4}.
\]
On a déplacé la virgule de 4 rangs vers la droite.
Nombre négatif
\[
-45\,800=-4{,}58\times10^4.
\]
On vérifie bien \(1\le |-4{,}58|<10\).
À vérifier à la fin : dans \(a\times10^n\), il faut \(1\le |a|<10\), c’est-à-dire \(|a|\in[1;10[\). Par exemple, \(45{,}6\times10^3\) n’est pas une écriture scientifique, car \(45{,}6\notin[1;10[\).
7) Méthodes Brevet
Méthode 1 — Calcul fractionnaire
Pour calculer une expression avec fractions :
- gérer les parenthèses ;
- transformer les divisions en multiplications ;
- pour une fraction imbriquée, repérer la barre de fraction principale ;
- mettre au même dénominateur pour additionner ou soustraire ;
- simplifier la fraction finale.
Méthode 2 — Puissances de 10
Pour une expression avec puissances de 10 :
- regrouper les nombres décimaux ensemble ;
- regrouper les puissances de 10 ensemble ;
- réécrire en notation scientifique à la fin.
Exemple type Brevet — calcul complet
Calculer
\[
A=\frac{5}{6}-\frac{2}{3}\times\frac{9}{4}.
\]
On commence par la multiplication :
\[
\frac{2}{3}\times\frac{9}{4}=\frac{18}{12}=\frac32.
\]
Donc
\[
A=\frac56-\frac32
=\frac56-\frac96
=-\frac46
=-\frac23.
\]
\[
\boxed{A=-\frac23}
\]
Exemple type Brevet — écriture scientifique
Écrire sous forme scientifique :
\[
B=\frac{3\times10^5\times4\times10^{-2}}{6\times10^3}.
\]
On regroupe :
\[
B=\frac{3\times4}{6}\times10^{5+(-2)-3}
=2\times10^0.
\]
La valeur est \(2\), mais sous forme scientifique on conserve :
\[
\boxed{B=2\times10^0}
\]
8) Pièges à éviter
| Erreur fréquente | Pourquoi c’est faux | Réflexe correct |
|---|---|---|
| \(2^3+2^4=2^7\) | On additionne les exposants seulement dans un produit de même base. | \(2^3+2^4=8+16=24\) |
| \(-3^2=9\) | Sans parenthèses, la puissance porte seulement sur 3. | \(-3^2=-9\) et \((-3)^2=9\) |
| \(\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}\) | On ne sépare pas un dénominateur qui contient une somme. | Garder le dénominateur ou factoriser si possible. |
| \(\dfrac{\frac ab}{c}=\dfrac{a}{\frac bc}\) | La barre de fraction principale n’est pas au même endroit. | \(\dfrac{\frac ab}{c}=\dfrac{a}{bc}\) et \(\dfrac{a}{\frac bc}=\dfrac{ac}{b}\). |
| \(0{,}45\times10^6\) | Ce n’est pas une écriture scientifique car \(0{,}45<1\). | \(0{,}45\times10^6=4{,}5\times10^5\) |
Checklist 19–20/20
- Je respecte l’ordre : parenthèses → puissances → \(\times,\div\) → \(+,-\).
- Je transforme une soustraction en addition de l’opposé si nécessaire.
- Je donne le signe d’un produit ou d’un quotient avant de calculer.
- Avec plusieurs nombres négatifs, je vérifie : pair → positif ; impair → négatif.
- Je mets au même dénominateur avant d’additionner ou soustraire des fractions.
- Je simplifie les fractions avant ou après le calcul.
- Dans une fraction imbriquée, je repère la barre de fraction principale.
- Je distingue bien \((-a)^2\) et \(-a^2\).
- Je sais utiliser \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).
- Je vérifie que l’écriture scientifique est bien de la forme \(a\times10^n\), avec \(1\le |a|<10\).
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