Fiche HARD — Nombres relatifs, fractions et puissances
Ultra-synthèse (objectif 19–20/20) : règles clés + pièges + mini-exemples.
3e • Brevet++
1) Priorités opératoires (à connaître par cœur)
Ordre :
\[
\text{Parenthèses} \ \rightarrow\ \text{Puissances}\ \rightarrow\ \times,\div\ \rightarrow\ +,-
\]
Pour \( \times \) et \( \div \) : de gauche à droite.
Pour \( + \) et \( - \) : de gauche à droite.
Mini-exemple
\[
5+2(7-3)^2 = 5+2\times 16 = 37
\]
\(\boxed{37}\)
Piège : \((7-3)^2 \neq 7-3^2\). Sans parenthèses, \(3^2\) se calcule d’abord.
2) Nombres relatifs — réflexes “19/20”
Opposé & valeur absolue
- Opposé de \(a\) : \(-a\).
- \(|a|\) = distance à 0, donc \(|-7|=7\).
Addition / soustraction
- Même signe : on additionne, on garde le signe.
- Signes différents : on soustrait, signe du plus grand en \(|\ |\).
- \(a-b=a+(-b)\).
Règle des signes (produit / quotient)
\[
(+)\times(+)=+,\quad (-)\times(-)=+,\quad (+)\times(-)=-,\quad (-)\times(+)=-.
\]
Même règle pour la division (dénominateur non nul).
Mini-exemples
\[
7-(-3)=10,\qquad (-6)\times(-3)=18,\qquad \frac{180}{-6}=-30
\]
Réflexe Brevet++ : avant de calculer un produit/quotient, annonce le signe du résultat.
3) Fractions — arsenal complet
Simplifier
Diviser numérateur et dénominateur par un même nombre :
\[
\frac{84}{126}=\frac{84\div 42}{126\div 42}=\frac{2}{3}.
\]
Addition / soustraction
Même dénominateur :
\[
\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}.
\]
Multiplication / division
\[
\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}.
\]
Astuce 19/20 : simplifier avant de multiplier.
Mini-exemple (simplification intelligente)
\[
\frac{3}{5}\div\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\times\frac{10}{9}
=\frac{3}{\cancel{5}}\times\frac{\cancel{10}}{9}
=\frac{3}{1}\times\frac{2}{9}=\frac{2}{3}
\]
\(\boxed{\frac{2}{3}}\)
Piège : \(\dfrac{a+b}{c}\neq \dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\).
On ne “sépare” une fraction que si c’est écrit comme une somme.
4) Puissances — règles + pièges
Définitions
\[
a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\ \text{fois}},\quad
a^0=1\ (a\neq 0).
\]
Règles indispensables
\[
a^m a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ (a\neq 0),\qquad (a^m)^n=a^{mn}.
\]
\[
(ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ (b\neq 0),\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}.
\]
Mini-exemples
\[
2^3\times 2^5=2^8=256,\qquad
\frac{10^7}{10^3}=10^4,\qquad
2^{-1}=\frac{1}{2}
\]
Piège majeur (parenthèses) :
\[
(-3)^2=9 \quad \text{mais} \quad -3^2=-(3^2)=-9.
\]
Piège : \(a^m+a^n \neq a^{m+n}\).
5) Notation scientifique — rapide et propre
\[
N=a\times 10^n \quad \text{avec} \quad 1\le a<10,\ n\in\mathbb{Z}.
\]
Déplacer la virgule :
- vers la gauche \(\Rightarrow\ n>0\)
- vers la droite \(\Rightarrow\ n<0\)
Mini-exemples
\[
45\,600 = 4{,}56\times 10^4,\qquad
0{,}00073=7{,}3\times 10^{-4}
\]
Piège : vérifier que \(a\) est bien dans \([1;10[\) (entre 1 inclus et 10 exclu).
Checklist 19–20/20
- Je respecte l’ordre : parenthèses → puissances → \( \times,\div \) → \( +,- \).
- Je sais que soustraire un négatif = ajouter un positif.
- Je donne le signe d’un produit/quotient avant de calculer.
- Je mets au même dénominateur pour addition/soustraction de fractions.
- Je simplifie avant de multiplier des fractions.
- Je maîtrise les parenthèses : \((-a)^2\) vs \(-a^2\).
- Je sais utiliser les exposants négatifs : \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).
- Je sais écrire / lire la notation scientifique \(a\times 10^n\).