Exercices corrigés — Nombres Relatifs, Fractions Et Puissances (3e)

(a) \(3\times(-4)=-12\), \((-18)\div(-3)=6\) et \(5^2=25\).

\[ A=-7-12-6+25=-25+25=0. \]

(b) \(5-9=-4\), donc \(2(5-9)=2\times(-4)=-8\).

\[ 3-2(5-9)=3-(-8)=11 \quad\text{donc}\quad B=-11+4=-7. \]

(c) \(4-7=-3\), donc \(3-(4-7)=3-(-3)=6\).

\[ C=2-6-(-5)=2-6+5=1. \]

(d) \(-2^3=-8\), donc \(-2^3+5=-8+5=-3\).

\[ D=-6-(-3)+9=-6+3+9=6. \]

Réponses : (a) \(0\), (b) \(-7\), (c) \(1\), (d) \(6\).

(a) \(-4^2=-16\) et \((-2)^2=4\), donc \(A=-16+3\times4=-4\).

(b) \((-4)^2=16\) et \((-2)^2=4\), donc \(B=16+12=28\).

(c) \((-5)^2=25\), \(5^2=25\) et \((-1)^{2025}=-1\). Donc \(C=25-25-1=-1\).

(d) \((-3)^4=81\), \(3^4=81\) et \((-2)^3=-8\). Donc \(D=81-81-(-8)=8\).

Réponses : (a) \(-4\), (b) \(28\), (c) \(-1\), (d) \(8\).

(a) \(\frac{7}{9}-\frac{1}{3}=\frac{7}{9}-\frac{3}{9}=\frac{4}{9}\).

\[ A=\frac{5}{6}-\frac{4}{9}=\frac{15}{18}-\frac{8}{18}=\frac{7}{18}. \]

(b) Dénominateur commun \(36\) :

\[ B=\frac{21}{36}-\frac{10}{36}-\frac{27}{36} =\frac{-16}{36}=-\frac{4}{9}. \]

(c) \(\frac{7}{3}-\frac{5}{6}=\frac{14}{6}-\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\).

\[ C=2-\frac{3}{2}=\frac{4}{2}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}. \]

(d) Dénominateur commun \(72\) :

\[ D=\frac{30}{72}+\frac{28}{72}-\frac{33}{72}=\frac{25}{72}. \]

Réponses : (a) \(\frac{7}{18}\), (b) \(-\frac{4}{9}\), (c) \(\frac{1}{2}\), (d) \(\frac{25}{72}\).

(a) Le résultat est positif :

\[ A=\frac{14}{15}\times\frac{25}{21} =\frac{2}{3}\times\frac{5}{3} =\frac{10}{9}. \]

(b)

\[ B=\frac{3}{4}\times\left(-\frac{10}{9}\right) =-\frac{30}{36}=-\frac{5}{6}. \]

(c) Première parenthèse :

\[ -\frac{5}{6}+\frac{7}{9}=-\frac{15}{18}+\frac{14}{18}=-\frac{1}{18}. \]

Deuxième parenthèse :

\[ \frac{4}{3}-\frac{11}{6}=\frac{8}{6}-\frac{11}{6}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}. \]

\[ C=-\frac{1}{18}\div\left(-\frac{1}{2}\right) =-\frac{1}{18}\times(-2)=\frac{1}{9}. \]

(d)

\[ D=\frac{5}{6}\times\left(-\frac{9}{10}\right) =-\frac{45}{60}=-\frac{3}{4}. \]

Réponses : (a) \(\frac{10}{9}\), (b) \(-\frac{5}{6}\), (c) \(\frac{1}{9}\), (d) \(-\frac{3}{4}\).

(a) \(\left(-\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\) et \(\frac{6}{15}-\frac{7}{10}=\frac{4}{10}-\frac{7}{10}=-\frac{3}{10}\).

\[ A=\frac{4}{9}-\frac{5}{4}\times\left(-\frac{3}{10}\right) =\frac{4}{9}+\frac{3}{8} =\frac{32}{72}+\frac{27}{72} =\frac{59}{72}. \]

(b) Premier crochet :

\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^3+\frac{5}{6} =-\frac{8}{27}+\frac{5}{6} =-\frac{16}{54}+\frac{45}{54} =\frac{29}{54}. \]

Deuxième crochet :

\[ \frac{7}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)^2 =\frac{7}{9}-\frac{1}{9} =\frac{2}{3}. \]

\[ B=\frac{29}{54}\div\frac{2}{3} =\frac{29}{54}\times\frac{3}{2} =\frac{29}{36}. \]

(c)

\[ \frac{3}{2}-\frac{5}{6}=\frac{9}{6}-\frac{5}{6}=\frac{2}{3}, \quad C=\frac{2}{3}\times\frac{9}{4}-\frac{1}{3} =\frac{3}{2}-\frac{1}{3} =\frac{7}{6}. \]

(d)

\[ D=\frac{9}{16}-\left(-\frac{3}{4}\right) =\frac{9}{16}+\frac{12}{16} =\frac{21}{16}. \]

Réponses : (a) \(\frac{59}{72}\), (b) \(\frac{29}{36}\), (c) \(\frac{7}{6}\), (d) \(\frac{21}{16}\).

(a) \[ A=10^{7+(-3)-2}=10^2. \]

(b) \[ B=10^{-4+7-(-2)}=10^5. \]

(c) \((10^3)^2=10^6\), donc \[ C=10^{6-5-(-1)}=10^2. \]

(d) \[ D=10^{-2+(-3)-(-7)}=10^2. \]

Réponses : (a) \(10^2\), (b) \(10^5\), (c) \(10^2\), (d) \(10^2\).

(a) \[ A=2^{7-3-2}=2^2=4. \]

(b) \(25^3=(5^2)^3=5^6\) et \(125=5^3\).

\[ B=\frac{5^{-2}\cdot5^6}{5^3}=5^{-2+6-3}=5. \]

(c) \((3^2)^4=3^8\) et \(9=3^2\).

\[ C=\frac{3^8}{3^5\cdot3^2}=3^{8-7}=3. \]

(d) \(10^2=2^2\cdot5^2\), donc la fraction intérieure vaut \(2\).

\[ D=2^{-1}=\frac{1}{2}. \]

Réponses : (a) \(4\), (b) \(5\), (c) \(3\), (d) \(\frac{1}{2}\).

(a) \(720000=7{,}2\times10^5\).

(b) \(0{,}00036=3{,}6\times10^{-4}\).

(c) \(42\times10^5=4{,}2\times10^1\times10^5=4{,}2\times10^6\).

(d) \(0{,}081=8{,}1\times10^{-2}\), donc \(0{,}081\times10^{-3}=8{,}1\times10^{-5}\).

Réponses : (a) \(7{,}2\times10^5\), (b) \(3{,}6\times10^{-4}\), (c) \(4{,}2\times10^6\), (d) \(8{,}1\times10^{-5}\).

(a)

\[ A=\frac{7{,}2\times3}{9}\times10^{5-2-3} =2{,}4\times10^0. \]

(b)

\[ B=\frac{4{,}8\times2{,}5}{6}\times10^{-3+7-(-2)} =2\times10^6. \]

(c)

\[ C=(2-1{,}7)\times10^6=0{,}3\times10^6=3\times10^5. \]

(d) \(0{,}42\times10^{10}=4{,}2\times10^9\) et \(3{,}6\times10^8=0{,}36\times10^9\).

\[ D=(0{,}36+4{,}2)\times10^9=4{,}56\times10^9. \]

Réponses : (a) \(2{,}4\times10^0\), (b) \(2\times10^6\), (c) \(3\times10^5\), (d) \(4{,}56\times10^9\).

(a) \(A=3{,}6\times10^9\) et \(B=4{,}2\times10^{10}\), donc \(B>A\).

(b) \(D=540\times10^{-6}=5{,}4\times10^{-4}\). Donc \(C=5{,}4\times10^{-3}>D\).

(c) \(E=7{,}2\times10^{-4}\) et \(F=7{,}1\times10^{-4}\), donc \(E>F\).

(d) \(A=0{,}36\times10^{10}\) et \(B=4{,}2\times10^{10}\).

\[ B-A=(4{,}2-0{,}36)\times10^{10}=3{,}84\times10^{10}. \]

Réponses : (a) \(B>A\), (b) \(C>D\), (c) \(E>F\), (d) \(3{,}84\times10^{10}\).

(a)

\[ -\frac{3}{4}\times\frac{14}{9}=-\frac{42}{36}=-\frac{7}{6}, \quad -\frac{7}{6}+\frac{5}{6}=-\frac{1}{3}. \]

\[ -\frac{1}{3}\times\left(-\frac{12}{7}\right)=\frac{4}{7}. \]

(b)

\[ -\frac{3}{4}\times\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{2}, \quad \frac{1}{2}+\frac{5}{6}=\frac{4}{3}. \]

\[ \frac{4}{3}\times\left(-\frac{12}{7}\right)=-\frac{16}{7}. \]

(c) L’expression finale est :

\[ \left(-\frac{3}{4}x+\frac{5}{6}\right)\times\left(-\frac{12}{7}\right). \]

(d)

\[ -\frac{3}{4}x+\frac{5}{6}=0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{3}{4}x=-\frac{5}{6} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{10}{9}. \]

Réponses : (a) \(\frac{4}{7}\), (b) \(-\frac{16}{7}\), (c) expression ci-dessus, (d) \(\frac{10}{9}\).

(a)

\[ \frac{1{,}5\times10^8}{3\times10^6} =\frac{1{,}5}{3}\times10^{8-6} =0{,}5\times10^2=50. \]

Il faudrait donc \(50\) jours.

(b) En années :

\[ \frac{50}{365}\approx0{,}137. \]

(c) Au dixième : \(0{,}1\) année.

(d) Ce résultat est théorique : en réalité, une sonde ne voyage pas en ligne droite à vitesse constante, car les trajectoires spatiales dépendent aussi de la gravitation et de la mission.

Réponses : (a) \(50\) jours, (b) environ \(0{,}137\) année, (c) \(0{,}1\) année, (d) justification physique simple.

(a)

\[ \frac{3}{5}\times\frac{7}{12} =\frac{21}{60} =\frac{7}{20}. \]

(b)

\[ \frac{7}{20}\times240=7\times12=84. \]

(c)

\[ \frac{7}{20}=\frac{21}{60} \quad\text{et}\quad \frac{1}{3}=\frac{20}{60}. \]

Donc \(\frac{7}{20}>\frac13\).

(d) Il reste \(240-84=156\) élèves.

Réponses : (a) \(\frac{7}{20}\), (b) \(84\), (c) oui, (d) \(156\).

(a) \(350=3{,}5\times10^2\).

(b)

\[ 2{,}4\times10^6\times3{,}5\times10^2 =(2{,}4\times3{,}5)\times10^{8} =8{,}4\times10^8. \]

(c)

\[ \frac{8{,}4\times10^8}{10^9}=8{,}4\times10^{-1}=0{,}84. \]

Le dossier occupe \(0{,}84\) Go.

(d) Oui, car \(0{,}84<1\).

Réponses : (a) \(3{,}5\times10^2\), (b) \(8{,}4\times10^8\) octets, (c) \(0{,}84\) Go, (d) oui.

(a)

\[ \frac{1{,}8\times10^9}{6\times10^6} =\frac{1{,}8}{6}\times10^{3} =0{,}3\times10^3=300. \]

Le téléchargement dure \(300\) secondes.

(b) \(300\div60=5\) minutes.

(c) Non, car \(5>4\).

(d) En \(3\) minutes, soit \(180\) secondes, il faudrait :

\[ \frac{1{,}8\times10^9}{180}=10^7. \]

Il faudrait donc un débit de \(10^7\) octets par seconde.

Réponses : (a) \(300\) s, (b) \(5\) min, (c) non, (d) \(10^7\) octets/s.

(a)

\[ -7{,}5+3{,}2-5{,}8=-4{,}3-5{,}8=-10{,}1. \]

La température finale est \(-10{,}1^\circ\mathrm{C}\).

(b) L’écart vaut :

\[ |-10{,}1-(-7{,}5)|=|-2{,}6|=2{,}6. \]

(c) Le double de \(-10{,}1\) est \(-20{,}2\).

(d) Ordre croissant :

\[ -20{,}2<-10{,}1<-7{,}5. \]

Réponses : (a) \(-10{,}1^\circ\mathrm{C}\), (b) \(2{,}6^\circ\mathrm{C}\), (c) \(-20{,}2^\circ\mathrm{C}\), (d) ordre ci-dessus.

(a)

\[ \frac{2}{3}\times(-3)-\frac{5}{6} =-2-\frac{5}{6} =-\frac{17}{6}. \]

\[ R=-\frac{17}{6}\div\left(-\frac{7}{4}\right) =-\frac{17}{6}\times\left(-\frac{4}{7}\right) =\frac{34}{21}. \]

(b)

\[ \frac{2}{3}\times\frac{5}{4}-\frac{5}{6} =\frac{10}{12}-\frac{5}{6} =\frac{5}{6}-\frac{5}{6}=0. \]

Donc \(R=0\).

(c)

\[ \frac{2}{3}x-\frac{5}{6}=0 \Rightarrow \frac{2}{3}x=\frac{5}{6} \Rightarrow x=\frac{5}{6}\div\frac{2}{3} =\frac{5}{4}. \]

(d) En remplaçant \(x\) par \(\frac54\), on trouve bien \(R=0\).

Réponses : (a) \(\frac{34}{21}\), (b) \(0\), (c) \(x=\frac54\), (d) vérifié.

(a)

\[ \frac{3}{4}-\frac{1}{3}=\frac{9}{12}-\frac{4}{12}=\frac{5}{12}. \]

\[ \frac{5}{6}-\frac{5}{12}=\frac{10}{12}-\frac{5}{12}=\frac{5}{12}. \]

\[ S=\frac{5}{12}\times\left(-\frac{18}{5}\right) =-\frac{90}{60}=-\frac{3}{2}. \]

(b)

\[ T=\frac{6\times4{,}5}{9}\times10^{-2+5-(-1)} =3\times10^4. \]

(c)

\[ S+T=-\frac32+30000 =\frac{-3+60000}{2} =\frac{59997}{2}. \]

(d) \(S=-1{,}5\) et \(T=30000\), donc \(T>S\).

Réponses : (a) \(-\frac32\), (b) \(3\times10^4\), (c) \(\frac{59997}{2}\), (d) \(T>S\).

(a)

\[ P=\frac{3{,}6\times5}{9}\times10^{-4+7-2} =2\times10^1=20. \]

(b)

\[ \left(-\frac32\right)^2=\frac94 \quad\text{et}\quad \frac56\div\left(-\frac{10}{9}\right) =\frac56\times\left(-\frac9{10}\right) =-\frac34. \]

\[ Q=\frac74-\frac94-\frac34=-\frac54. \]

(c) \(P=20\) et \(Q=-\frac54=-1{,}25\), donc \(P>Q\).

(d)

\[ P-Q=20-\left(-\frac54\right)=20+\frac54=\frac{80}{4}+\frac54=\frac{85}{4}. \]

Réponses : (a) \(20=2\times10^1\), (b) \(-\frac54\), (c) \(P>Q\), (d) \(\frac{85}{4}\).

(a) Premier crochet :

\[ \left(-\frac23\right)^3+\frac56 =-\frac8{27}+\frac56 =-\frac{16}{54}+\frac{45}{54} =\frac{29}{54}. \]

Deuxième crochet :

\[ \frac79-\left(-\frac13\right)^2=\frac79-\frac19=\frac69=\frac23. \]

\[ A=\frac{29}{54}\div\frac23 =\frac{29}{54}\times\frac32 =\frac{29}{36}. \]

(b)

\[ \frac{4{,}8\times2{,}5}{6}\times10^{-3+7-(-2)} =2\times10^6. \]

\[ B=2\times10^6-1{,}7\times10^6 =0{,}3\times10^6 =3\times10^5. \]

(c)

\[ C=\frac{29}{36}+300000 =\frac{29}{36}+\frac{10800000}{36} =\frac{10800029}{36}. \]

(d) \(\frac{29}{36}\approx0{,}806\), donc \(C\approx300000{,}806\), soit \(300001\) à l’unité.

Réponses : (a) \(\frac{29}{36}\), (b) \(3\times10^5\), (c) \(\frac{10800029}{36}\), (d) \(300001\).