Exercices HARD — Nombres relatifs, fractions et puissances
Objectif 19–20/20 : priorités + signes + fractions + puissances (pièges) • corrigés détaillés (sans raccourcis).
3e • Brevet++
Règles d’or
- Annonce le signe avant de calculer un produit/division.
- Parenthèses + puissances : vigilance sur \((-a)^2\) et \(-a^2\).
- Fractions : simplifie avant de multiplier, jamais “à l’aveugle”.
Notation
On attend une rédaction propre : une ligne = une transformation.
Les réponses finales sont données sous forme simplifiée.
A) Priorités opératoires & signes (pièges)
Exercice A1
Calculer :
\[
A = -\bigl( 3 - 2(5-9)\bigr) + 4
\]
Corrigé détaillé
Parenthèse :
\[
(5-9)=-4
\]
Multiplication :
\[
2(5-9)=2\times(-4)=-8
\]
Donc :
\[
3-2(5-9)=3-(-8)=3+8=11
\]
Puis :
\[
A=-\bigl(11\bigr)+4=-11+4=-7
\]
\(\boxed{A=-7}\)
Exercice A2 (double piège)
Calculer :
\[
B = 2 - \left[\, 3 - \left( 4 - 7 \right) \right] - \left( -5 \right)
\]
Corrigé détaillé
Parenthèse :
\[
(4-7)=-3
\]
Crochet :
\[
3-(4-7)=3-(-3)=3+3=6
\]
Donc :
\[
B=2-6-(-5)=2-6+5
\]
\[
B=(2+5)-6=7-6=1
\]
\(\boxed{B=1}\)
Exercice A3 (signe d’abord)
Donner le signe, puis calculer :
\[
C=\frac{(-12)\times(-5)\times 3}{-6}
\]
Corrigé détaillé
Signe :
\[
(-)\times(-)=+,\quad (+)\times 3=+,\quad (+)\div(-)=-.
\]
Donc \(C\) est négatif.
Calcul :
\[
(-12)\times(-5)=60,\quad 60\times 3=180,\quad \frac{180}{-6}=-30
\]
\(\boxed{C=-30}\)
B) Fractions — enchaînements (HARD)
Exercice B1
Calculer et simplifier :
\[
D=\frac{5}{6}-\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{3}\right)
\]
Corrigé détaillé
Dans la parenthèse, dénominateur commun \(12\) :
\[
\frac{3}{4}=\frac{9}{12},\quad \frac{1}{3}=\frac{4}{12}
\]
\[
\frac{3}{4}-\frac{1}{3}=\frac{9}{12}-\frac{4}{12}=\frac{5}{12}
\]
Donc :
\[
D=\frac{5}{6}-\frac{5}{12}
\]
Dénominateur commun \(12\) :
\[
\frac{5}{6}=\frac{10}{12}
\]
\[
D=\frac{10}{12}-\frac{5}{12}=\frac{5}{12}
\]
\(\boxed{D=\frac{5}{12}}\)
Exercice B2 (simplifier avant)
Calculer et simplifier :
\[
E=\left(\frac{-14}{15}\right)\times\left(\frac{25}{-21}\right)
\]
Corrigé détaillé
Signe : négatif \(\times\) négatif \(=\) positif, donc \(E>0\).
Simplifications :
\[
\frac{-14}{15}\times\frac{25}{-21}
=\frac{14}{15}\times\frac{25}{21}
\]
On simplifie \(14\) avec \(21\) (diviser par 7) :
\[
\frac{14}{\cancel{15}}\times\frac{25}{\cancel{21}}
=\frac{2}{15}\times\frac{25}{3}
\]
On simplifie \(25\) avec \(15\) (diviser par 5) :
\[
\frac{2}{\cancel{15}}\times\frac{\cancel{25}}{3}
=\frac{2}{3}\times\frac{5}{3}=\frac{10}{9}
\]
\(\boxed{E=\frac{10}{9}}\)
Exercice B3 (mix + signe)
Calculer et simplifier :
\[
F=\frac{7}{12}+\frac{-5}{18}-\frac{1}{9}
\]
Corrigé détaillé
Dénominateur commun de \(12,18,9\) : \(36\).
\[
\frac{7}{12}=\frac{21}{36},\quad \frac{-5}{18}=\frac{-10}{36},\quad \frac{1}{9}=\frac{4}{36}
\]
Donc :
\[
F=\frac{21}{36}+\frac{-10}{36}-\frac{4}{36}
=\frac{21-10-4}{36}=\frac{7}{36}
\]
\(\boxed{F=\frac{7}{36}}\)
C) Puissances — règles + pièges (HARD)
Exercice C1
Simplifier :
\[
G=\frac{10^7\times 10^{-3}}{10^2}
\]
Corrigé détaillé
Numérateur (même base) :
\[
10^7\times 10^{-3}=10^{7+(-3)}=10^4
\]
Division :
\[
\frac{10^4}{10^2}=10^{4-2}=10^2
\]
\(\boxed{G=10^2}\)
Exercice C2 (parenthèses)
Calculer :
\[
H=(-2)^4-2^4
\]
Corrigé détaillé
\[
(-2)^4 = 16 \quad \text{(puissance paire)}
\]
\[
2^4=16
\]
Donc :
\[
H=16-16=0
\]
\(\boxed{H=0}\)
Exercice C3 (exposant négatif)
Simplifier :
\[
I=\left(\frac{2^3\times 2^{-5}}{2^{-1}}\right)
\]
Corrigé détaillé
Numérateur :
\[
2^3\times 2^{-5}=2^{3+(-5)}=2^{-2}
\]
Division :
\[
\frac{2^{-2}}{2^{-1}}=2^{-2-(-1)}=2^{-1}
\]
Exposant négatif :
\[
2^{-1}=\frac{1}{2}
\]
\(\boxed{I=\frac{1}{2}}\)
Exercice C4 (mélange, très Brevet++)
Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
\[
J=\frac{(-3)^2-3^2}{\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}}
\]
Corrigé détaillé
Au numérateur :
\[
(-3)^2=9,\quad 3^2=9 \Rightarrow (-3)^2-3^2=9-9=0
\]
Donc :
\[
J=\frac{0}{\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}}=0
\]
(car \(0\) divisé par un nombre non nul vaut \(0\)).
\(\boxed{J=0}\)
D) Problèmes (HARD mais niveau 3e)
Exercice D1 (réflexe “priorités + fractions”)
On définit :
\[
K=\frac{3}{4}-\left(2-\frac{5}{6}\right)
\]
Calculer \(K\) et donner une fraction irréductible.
Corrigé détaillé
Parenthèse :
\[
2-\frac{5}{6}=\frac{12}{6}-\frac{5}{6}=\frac{7}{6}
\]
Donc :
\[
K=\frac{3}{4}-\frac{7}{6}
\]
Dénominateur commun \(12\) :
\[
\frac{3}{4}=\frac{9}{12},\quad \frac{7}{6}=\frac{14}{12}
\]
\[
K=\frac{9}{12}-\frac{14}{12}=\frac{-5}{12}
\]
\(\boxed{K=\frac{-5}{12}}\)
Exercice D2 (écriture scientifique)
Une calculatrice affiche :
\[
7{,}2\times 10^5
\]
Donner l’écriture décimale, puis calculer :
\[
7{,}2\times 10^5 - 3{,}5\times 10^4
\]
Corrigé détaillé
Écriture décimale :
\[
7{,}2\times 10^5 = 720\,000
\]
Pour soustraire, on met au même \(10^4\) :
\[
7{,}2\times 10^5 = 72\times 10^4
\]
Donc :
\[
72\times 10^4 - 3{,}5\times 10^4=(72-3{,}5)\times 10^4
\]
\[
=(68{,}5)\times 10^4 = 685\,000
\]
\(\boxed{685\,000}\)
Mini-bilan (niveau 19–20/20)
- Tu sais gérer plusieurs parenthèses, crochets, signes “moins devant”.
- Tu sais simplifier intelligemment les fractions avant multiplication.
- Tu sais manipuler des puissances avec exposants négatifs et pièges de parenthèses.
- Tu sais transformer une écriture scientifique pour effectuer une soustraction propre.