Cours — Nombres relatifs, fractions et puissances

Priorités opératoires • nombres relatifs • fractions • puissances • notation scientifique • méthodes Brevet.

Objectifs Priorités Relatifs Fractions Puissances Notation scientifique Méthodes Brevet Erreurs fréquentes Applications Formulaire

1) Objectifs et plan de travail

Compétences attendues en 3e

Calculer avec des nombres relatifs en respectant les signes.
Respecter les priorités opératoires dans une expression numérique.
Ajouter, soustraire, multiplier et diviser des fractions.
Simplifier une fraction et reconnaître deux fractions égales.
Utiliser les règles de calcul sur les puissances.
Écrire un nombre en notation scientifique.
Présenter un calcul proprement dans une copie de Brevet.

Pièges fréquents

Quand on supprime des parenthèses précédées d’un signe moins, chaque terme à l’intérieur est remplacé par son opposé.
On ne simplifie jamais dans une somme : il faut d’abord factoriser ou calculer.
Pour additionner deux fractions, il faut un dénominateur commun.
\((-3)^2=9\), mais \(-3^2=-9\).

Réflexe “copie propre” : une seule règle à la fois, une égalité par ligne, et une réponse finale clairement encadrée.

2) Priorités opératoires

Ordre des calculs

Dans une expression numérique, on calcule dans cet ordre :

les parenthèses ;
les puissances ;
les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
les additions et soustractions, de gauche à droite.

Exemple direct

\[ A=5+2\times(7-3)^2 \] \[ A=5+2\times4^2 \] \[ A=5+2\times16=5+32=37 \]

Exemple avec un signe moins devant une parenthèse

Calculer \[ B=8-[3-2\times(-4)]. \] On calcule d’abord la multiplication : \[ 2\times(-4)=-8. \] Donc \[ B=8-[3-(-8)]=8-[3+8]=8-11=-3. \] \[ \boxed{B=-3} \]

Attention : une calculatrice donne souvent le résultat, mais au Brevet il faut montrer les étapes importantes.

3) Nombres relatifs : signes et opérations

Addition et soustraction

Deux nombres de même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
Deux nombres de signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro.
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

\[ a-b=a+(-b) \]

Multiplication et division : règle des signes

Signes	Résultat
\(+\times +\) ou \(-\times -\)	positif
\(+\times -\) ou \(-\times +\)	négatif
\(+\div +\) ou \(-\div -\)	positif
\(+\div -\) ou \(-\div +\)	négatif

À retenir : mêmes signes \(\Rightarrow +\) ; signes différents \(\Rightarrow -\).

Exemples — addition, soustraction, multiplication et division

\[ -7+12=5 \] car \(12\) est le nombre le plus éloigné de zéro et il est positif. \[ -5-8=-5+(-8)=-13 \] \[ 7-(-3)=7+3=10 \] \[ -8-(-6)=-8+6=-2 \] \[ (-4)\times(-9)=36 \] \[ 42\div(-6)=-7 \]

Plusieurs facteurs négatifs

Dans une suite de multiplications ou de divisions comportant plusieurs nombres négatifs, on compte le nombre de nombres négatifs.

Règle :

nombre pair de facteurs négatifs \(\Rightarrow\) résultat positif ;
nombre impair de facteurs négatifs \(\Rightarrow\) résultat négatif.

\[ (-3)\times(-5)\times2=30 \] Deux facteurs négatifs : \(2\) est pair, donc le résultat est positif. \[ (-2)\times(-3)\times(-4)=-24 \] Trois facteurs négatifs : \(3\) est impair, donc le résultat est négatif. \[ (-2)\times(-3)\times(-4)\times(-5)=120 \] Quatre facteurs négatifs : \(4\) est pair, donc le résultat est positif.

Signes successifs

Quand plusieurs signes se suivent, on peut les réduire deux par deux.

Signes successifs	Signe obtenu
\(+\,+\)	\(+\)
\(+\,-\)	\(-\)
\(-\,+\)	\(-\)
\(-\,-\)	\(+\)

\[ -(-5)=+5 \] \[ -(+5)=-5 \] \[ -(-(-5))=-5 \] \[ -(-(-(-5)))=5 \]

Avec plusieurs signes \(-\), on peut aussi les compter : pair \(\Rightarrow +\), impair \(\Rightarrow -\).

Signe moins devant une parenthèse

Lorsqu’on supprime des parenthèses précédées d’un signe \(-\), chaque terme situé à l’intérieur est remplacé par son opposé.

\[ -(a+b)=-a-b \] \[ -(a-b)=-a+b \] \[ +(a-b)=a-b \]

Exemples : \[ 7-(3+5)=7-3-5=-1 \] \[ 10-(7-2)=10-7+2=5 \]

Exemple avec plusieurs divisions

Calculer : \[ (-24)\div(-3)\div(-2). \] Il y a trois nombres négatifs : le résultat sera donc négatif. On calcule ensuite de gauche à droite : \[ (-24)\div(-3)=8 \] puis \[ 8\div(-2)=-4. \] Ainsi, \[ \boxed{-4} \]

Calculs type A / B / C — nombres relatifs

Calcul A — addition et soustraction

\[ A=-8+15-6 \] On calcule de gauche à droite : \[ A=7-6=1. \] \[ \boxed{A=1} \]

Calcul B — parenthèses et signes

\[ B=7-(-4)+(-9) \] Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : \[ B=7+4-9 \] puis \[ B=11-9=2. \] \[ \boxed{B=2} \]

Calcul C — plusieurs facteurs négatifs

\[ C=(-2)\times(-3)\times(-5)\times4 \] Il y a \(3\) facteurs négatifs. Comme \(3\) est impair, le produit est négatif. \[ C=-(2\times3\times5\times4) \] donc \[ C=-120. \] \[ \boxed{C=-120} \]

Réflexe : pour un calcul de type \(A\), \(B\), \(C\), repérer d’abord les parenthèses et les signes, puis appliquer les priorités opératoires avant de calculer les valeurs.

Méthode rapide :

Traiter d’abord les parenthèses.
Transformer une soustraction en addition de l’opposé si cela facilite le calcul.
Dans une suite de multiplications ou de divisions, compter les nombres négatifs.
Nombre pair de nombres négatifs \(\Rightarrow +\) ; nombre impair \(\Rightarrow -\).
Calculer ensuite les valeurs numériques en respectant les priorités.

4) Fractions

Addition et soustraction

\[ \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} \qquad (b\neq0) \] \[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \qquad (b\neq0,\ d\neq0) \]

Multiplication et division

\[ \frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \qquad (b\neq0,\ d\neq0) \] \[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} =\frac{a}{b}\times\frac{d}{c} \qquad (b\neq0,\ c\neq0,\ d\neq0) \]

Simplifier une fraction

Simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. \[ \frac{42}{56}=\frac{42\div14}{56\div14}=\frac34. \]

Exemple complet — addition de fractions

Calculer \[ C=\frac34-\frac56. \] On cherche un dénominateur commun : \(12\). \[ \frac34=\frac{9}{12} \qquad \frac56=\frac{10}{12}. \] Donc \[ C=\frac{9}{12}-\frac{10}{12}=\frac{-1}{12}. \] \[ \boxed{C=-\frac1{12}} \]

Exemple complet — division de fractions

Calculer \[ D=\frac{-7}{3}\div\frac{14}{9}. \] Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : \[ D=\frac{-7}{3}\times\frac{9}{14}. \] On simplifie avant de multiplier : \[ D=\frac{-7\times9}{3\times14} =\frac{-7\times3}{14} =\frac{-21}{14} =-\frac32. \] \[ \boxed{D=-\frac32} \]

Fractions imbriquées — calculs type A / B

Idée essentielle : une barre de fraction principale signifie une division. On transforme donc la fraction imbriquée en produit par l’inverse.

Type A — une fraction au numérateur

\[ A=\frac{\frac{a}{b}}{c} \] avec \(b\neq0\) et \(c\neq0\). Comme diviser par \(c\) revient à multiplier par \(\frac1c\), \[ A=\frac{a}{b}\div c =\frac{a}{b}\times\frac1c =\frac{a}{bc}. \]

Exemple : \[ A=\frac{\frac{6}{5}}{3} \] \[ A=\frac65\div3 =\frac65\times\frac13 =\frac{6}{15} =\frac25. \] \[ \boxed{A=\frac25} \]

Type B — une fraction au dénominateur

\[ B=\frac{a}{\frac{b}{c}} \] avec \(b\neq0\) et \(c\neq0\). Diviser par \(\frac bc\) revient à multiplier par son inverse \(\frac cb\) : \[ B=a\div\frac bc =a\times\frac cb =\frac{ac}{b}. \]

Exemple : \[ B=\frac{8}{\frac43} \] \[ B=8\div\frac43 =8\times\frac34 =6. \] \[ \boxed{B=6} \]

Type C — fraction sur fraction

\[ C=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \] avec \(b\neq0\), \(c\neq0\) et \(d\neq0\). \[ C=\frac ab\div\frac cd =\frac ab\times\frac dc =\frac{ad}{bc}. \] Exemple : \[ C=\frac{\frac34}{\frac56} \] \[ C=\frac34\div\frac56 =\frac34\times\frac65 =\frac{18}{20} =\frac9{10}. \] \[ \boxed{C=\frac9{10}} \]

À retenir : \[ \boxed{\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc}} \qquad \boxed{\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{ac}{b}} \] et plus généralement \[ \boxed{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}}. \]

Attention : il faut toujours repérer la barre de fraction principale. Les deux écritures suivantes ne représentent pas, en général, la même expression : \[ \frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc} \qquad\text{tandis que}\qquad \frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{ac}{b}. \] Elles peuvent exceptionnellement avoir la même valeur pour certains choix de \(a\), \(b\) et \(c\).

Erreur classique : \[ \frac{2+5}{2+7}\neq\frac57. \] On ne simplifie pas des termes dans une somme. Il faut d’abord calculer : \[ \frac{2+5}{2+7}=\frac79. \]

5) Puissances

Définition

Pour un entier \(n\ge1\), \[ a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ facteurs}}. \] On a aussi, si \(a\neq0\) : \[ a^0=1 \qquad a^{-n}=\frac1{a^n}. \]

Règles principales

\[ a^m\times a^n=a^{m+n} \] \[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\qquad(a\neq0) \] \[ (a^m)^n=a^{mn} \]

Ces règles s’appliquent lorsque les puissances écrites sont définies ; en particulier, une base portant un exposant négatif doit être non nulle.

Puissance d’un produit

\[ (ab)^n=a^n b^n \]

Puissance d’un quotient

\[ \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \qquad (b\neq0) \]

Si \(n<0\), on doit aussi avoir \(a\neq0\).

Exemples de calculs avec puissances

\[ 2^3\times2^5=2^{3+5}=2^8=256 \] \[ \frac{5^7}{5^2}=5^{7-2}=5^5 \] \[ (3^2)^4=3^{2\times4}=3^8 \] \[ 10^{-3}=\frac1{10^3}=0{,}001 \]

Très important : \[ (-3)^2=9 \qquad\text{mais}\qquad -3^2=-9. \] Dans \((-3)^2\), le signe moins est dans la parenthèse. Dans \(-3^2\), la puissance s’applique seulement à \(3\).

6) Notation scientifique

Définition

Tout nombre décimal non nul peut s’écrire en notation scientifique sous la forme \[ a\times10^n \] où \(1\le |a|<10\) et \(n\) est un entier relatif.

Grands nombres

\[ 4\,580\,000=4{,}58\times10^6. \] On déplace la virgule de \(6\) rangs vers la gauche.

Petits nombres

\[ 0{,}00072=7{,}2\times10^{-4}. \] On déplace la virgule de \(4\) rangs vers la droite.

Nombre négatif

\[ -45\,800=-4{,}58\times10^4. \] La valeur absolue du coefficient est \(4{,}58\), donc bien comprise entre \(1\) et \(10\).

Exemple type Brevet

Calculer et donner le résultat en notation scientifique : \[ E=\frac{3\times10^5\times4\times10^{-2}}{6\times10^3}. \] On regroupe les nombres et les puissances de \(10\) : \[ E=\frac{3\times4}{6}\times10^{5+(-2)-3} =2\times10^0. \] Comme \(10^0=1\), la valeur est \(2\), mais puisque la consigne demande une notation scientifique, on conserve : \[ \boxed{E=2\times10^0}. \]

7) Méthodes Brevet

Méthode 1 — Calcul numérique

Repérer les parenthèses et les puissances.
Calculer les signes avant les valeurs si l’expression est longue.
Dans une suite de multiplications ou de divisions, compter les nombres négatifs : pair → positif, impair → négatif.
Écrire les étapes sans sauter de règle importante.
Encadrer le résultat final.

Méthode 2 — Fractions

Pour additionner : chercher un dénominateur commun.
Pour multiplier : simplifier avant de multiplier si possible.
Pour diviser : multiplier par l’inverse.
Pour une fraction imbriquée : repérer d’abord la barre de fraction principale.
Toujours donner une fraction irréductible si possible.

Méthode 3 — Puissances de 10

Pour un calcul avec des puissances de \(10\), on sépare les coefficients et les puissances : \[ (2{,}5\times10^4)(3\times10^{-7}) =(2{,}5\times3)\times10^{4-7} =7{,}5\times10^{-3}. \]

Conseil Brevet : si un résultat est demandé sous forme de fraction, éviter la valeur décimale. Si une notation scientifique est demandée, vérifier que la valeur absolue du coefficient devant \(10^n\) vérifie \(1\le |a|<10\).

8) Erreurs fréquentes à éviter

Erreur	Correction	Pourquoi ?
\(2^3+2^4=2^7\)	\(2^3+2^4=8+16=24\)	La règle \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) concerne les produits, pas les sommes.
\(\frac13+\frac14=\frac27\)	\(\frac13+\frac14=\frac4{12}+\frac3{12}=\frac7{12}\)	Il faut un dénominateur commun.
\((-5)^2=-25\)	\((-5)^2=25\)	Le carré d’un nombre négatif est positif.
\(10^{-2}=-100\)	\(10^{-2}=\frac1{100}=0{,}01\)	Un exposant négatif donne l’inverse.

9) Applications guidées

Application 1 — Calcul avec priorités

Calculer \[ A=-3+4\times(2-7)^2. \] Parenthèse : \[ 2-7=-5. \] Puissance : \[ (-5)^2=25. \] Multiplication : \[ 4\times25=100. \] Addition : \[ A=-3+100=97. \] \[ \boxed{A=97} \]

Application 2 — Fractions et signes

Calculer \[ B=\frac{-5}{6}+\frac{7}{9}. \] Un dénominateur commun est \(18\) : \[ \frac{-5}{6}=\frac{-15}{18} \qquad \frac{7}{9}=\frac{14}{18}. \] Donc \[ B=\frac{-15}{18}+\frac{14}{18}=\frac{-1}{18}. \] \[ \boxed{B=-\frac1{18}} \]

Application 3 — Puissances

Simplifier \[ C=\frac{3^5\times3^{-2}}{3^4}. \] Au numérateur : \[ 3^5\times3^{-2}=3^{5-2}=3^3. \] Donc \[ C=\frac{3^3}{3^4}=3^{3-4}=3^{-1}=\frac13. \] \[ \boxed{C=\frac13} \]

Application 4 — Notation scientifique

Écrire en notation scientifique : \[ D=0{,}0000567. \] On déplace la virgule pour obtenir un nombre entre \(1\) et \(10\) : \[ 0{,}0000567=5{,}67\times10^{-5}. \] \[ \boxed{D=5{,}67\times10^{-5}} \]

10) Formulaire essentiel

Fractions

\[ \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} \qquad (b\neq0) \] \[ \frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b} \qquad (b\neq0) \] \[ \frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \qquad (b\neq0,\ d\neq0) \] \[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} =\frac{a}{b}\times\frac{d}{c} \qquad (b\neq0,\ c\neq0,\ d\neq0) \] \[ \frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc} \qquad (b\neq0,\ c\neq0) \] \[ \frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{ac}{b} \qquad (b\neq0,\ c\neq0) \] \[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc} \qquad (b\neq0,\ c\neq0,\ d\neq0) \]

Puissances

\[ a^m\times a^n=a^{m+n} \] \[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \qquad (a\neq0) \] \[ (a^m)^n=a^{mn} \] \[ a^{-n}=\frac1{a^n} \qquad (a\neq0) \]

Notation scientifique

\[ a\times10^n \qquad\text{avec}\qquad 1\le |a|<10 \quad\text{et}\quad n\in\mathbb{Z}. \]

11) Checklist “copie parfaite”

Avant de répondre

Ai-je respecté les priorités opératoires ?
Ai-je bien traité les signes ?
Dans une suite de multiplications ou de divisions, ai-je vérifié si le nombre de nombres négatifs est pair ou impair ?
Ai-je utilisé un dénominateur commun pour les additions de fractions ?
Pour une fraction imbriquée, ai-je repéré la barre de fraction principale ?
Ai-je simplifié la fraction finale si possible ?

Réponse finale

Le résultat est-il demandé sous forme exacte ?
La notation scientifique est-elle correcte ?
La valeur absolue du coefficient vérifie-t-elle \(1\le |a|<10\) ?
La réponse finale est-elle clairement visible ?

Cours — Nombres Relatifs, Fractions Et Puissances (3e)

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