Nombres relatifs, fractions et puissances

Chapitre 1 — Priorités opératoires • signes • fractions • puissances • notation scientifique.

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Cours — Nombres relatifs, fractions et puissances
Priorités opératoires • signes • fractions • puissances • notation scientifique. 3e • Brevet Méthodes + pièges
Priorités Relatifs Fractions Puissances Scientifique Méthodes
1) Priorités opératoires (ordre des calculs)
Règle
  • Parenthèses (de l’intérieur vers l’extérieur)
  • Puissances
  • Multiplications / divisions (gauche → droite)
  • Additions / soustractions (gauche → droite)
Conseil Brevet
Écris une ligne par étape (lisible). Fais un contrôle de signe (surtout avec “\(-\)” devant une parenthèse).
Exemple 1
\[ A = 5 + 2\times(7-3)^2 \]
Parenthèse : \((7-3)=4\), donc \((7-3)^2=4^2=16\).
Multiplication : \(2\times 16 = 32\).
Addition : \(A=5+32=37\).
\(\boxed{A=37}\)
Exemple 2 (attention au “moins”)
\[ B = 12 - \bigl(3 - 8\bigr) \]
Parenthèse : \((3-8)=-5\).
Soustraire \(-5\) : \(12-(-5)=12+5=17\).
\(\boxed{B=17}\)
Piège : \((7-3)^2 \neq 7-3^2\). Sans parenthèses, on calcule \(3^2\) d’abord.
2) Nombres relatifs : signes, opposé, valeur absolue
Opposé
L’opposé de \(a\) est \(-a\). Exemple : opposé de \(-7\) = \(7\).
Valeur absolue
\(|a|\) est la distance à 0 : \[ |7|=7,\qquad |-7|=7. \]
a) Addition et soustraction
  • Même signe : on additionne les valeurs absolues, on garde le signe.
  • Signes différents : on soustrait les valeurs absolues, on garde le signe du plus grand en valeur absolue.
  • \(a-b = a+(-b)\).
Exemple 3
\[ C = (-9)+4 \] \(|-9|=9\) et \(|4|=4\), signes différents : \(9-4=5\). On garde le signe de \(-9\), donc \(C=-5\).
\(\boxed{C=-5}\)
Exemple 4
\[ D = 7-(-3)=7+3=10 \]
\(\boxed{D=10}\)
b) Multiplication et division : règle des signes
\[ (+)\times(+)=+,\quad (-)\times(-)=+ \] \[ (+)\times(-)=-,\quad (-)\times(+)=-. \] Même règle pour la division (dénominateur non nul).
Exemple 5
\[ (-6)\times 8 = -48,\qquad \frac{-35}{5}=-7 \]
Réflexe : annonce le signe avant de calculer (gain énorme au Brevet).
3) Fractions : simplifier et calculer
a) Simplifier une fraction
Simplifier, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul : \[ \frac{24}{36}=\frac{24\div 12}{36\div 12}=\frac{2}{3}. \]
Méthode (solide)
  1. Trouver un diviseur commun (2, 3, 5, 10, 12, …)
  2. Diviser numérateur et dénominateur
  3. Répéter jusqu’à fraction irréductible
b) Addition / soustraction
On met au même dénominateur : \[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\qquad (b\neq 0,\ d\neq 0). \]
Exemple 6
\[ \frac{5}{6}-\frac{1}{4} \] Dénominateur commun : \(12\). \[ \frac{5}{6}=\frac{10}{12},\quad \frac{1}{4}=\frac{3}{12} \] \[ \frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12} \]
\(\boxed{\frac{7}{12}}\)
c) Multiplication / division
\[ \frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \] \[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\qquad (c\neq 0) \]
Exemple 7 (division)
\[ \frac{3}{5}\div\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\times\frac{10}{9} \] Simplification avant de multiplier : \[ \frac{3}{\cancel{5}}\times\frac{\cancel{10}}{9}=\frac{3}{1}\times\frac{2}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} \]
\(\boxed{\frac{2}{3}}\)
Astuce : simplifie avant de multiplier (réduction “en croix”).
4) Puissances : définition et règles
a) Définition
Pour \(n\ge 1\) : \[ a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\ \text{fois}} \] et \(a^1=a\). Si \(a\neq 0\), alors \(a^0=1\).
b) Attention aux parenthèses (base négative)
\[ (-3)^2=9 \] Ici, la base est \(-3\).
\[ -3^2=-(3^2)=-9 \] Ici, seule la puissance porte sur \(3\).
c) Règles indispensables
  • \(a^m\times a^n = a^{m+n}\)
  • \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) si \(a\neq 0\)
  • \((a^m)^n = a^{mn}\)
  • \((ab)^n=a^n b^n\)
  • \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\) si \(b\neq 0\)
  • \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\) si \(a\neq 0\)
Exemple 8
\[ 2^3\times 2^5 = 2^{3+5}=2^8=256 \]
\(\boxed{256}\)
Exemple 9 (exposant négatif)
\[ 5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25} \]
\(\boxed{\frac{1}{25}}\)
Rappel : on additionne les exposants uniquement si la base est la même.
5) Notation scientifique
Un nombre en notation scientifique s’écrit : \[ a\times 10^n \quad \text{avec} \quad 1\le a < 10,\ \ n\in\mathbb{Z}. \]
Exemple 10
\[ 45\,600 = 4{,}56\times 10^4 \] \[ 0{,}00073 = 7{,}3\times 10^{-4} \]
Astuce : déplacer la virgule pour obtenir un nombre entre 1 et 10. Gauche → exposant positif ; droite → exposant négatif.
6) Méthodes & pièges (Brevet)
Réflexes
  • Une ligne = une transformation.
  • Annonce le signe avant le calcul (produits/divisions).
  • Fractions : simplifier le plus tôt possible.
  • Puissances : parenthèses obligatoires si la base est négative.
Pièges à éviter
  • \((-a)^2=a^2\) mais \(-a^2=-(a^2)\).
  • \(a^m+a^n \neq a^{m+n}\).
  • \(\dfrac{a+b}{c} \neq \dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\).
Mini-check (signe)
Sans calculer la valeur, donne le signe : \[ \frac{(-8)\times 3 \times (-2)}{-5} \]
Réponse
\((-8)\times 3\) est négatif, puis \(\times(-2)\) devient positif, puis \(\div(-5)\) redevient négatif.
\(\boxed{\text{signe } -}\)