Cours — Nombres Relatifs, Fractions Et Puissances (3e)
Cette page propose un cours de mathématiques en 3ème sur Nombres Relatifs, Fractions Et Puissances. Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler simplification, comparaison, calculs de fractions, problèmes numériques.
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Cours de mathématiques en 3ème : Nombres Relatifs, Fractions Et Puissances
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3e
Chapitres
Cours — Nombres relatifs, fractions et puissances
Priorités opératoires • nombres relatifs • fractions • puissances • notation scientifique • méthodes Brevet.
1) Objectifs et plan de travail
Compétences attendues en 3e
- Calculer avec des nombres relatifs en respectant les signes.
- Respecter les priorités opératoires dans une expression numérique.
- Ajouter, soustraire, multiplier et diviser des fractions.
- Simplifier une fraction et reconnaître deux fractions égales.
- Utiliser les règles de calcul sur les puissances.
- Écrire un nombre en notation scientifique.
- Présenter un calcul proprement dans une copie de Brevet.
Pièges fréquents
- Un signe moins devant une parenthèse change tous les signes.
- On ne simplifie jamais dans une somme : il faut d’abord factoriser ou calculer.
- Pour additionner deux fractions, il faut un dénominateur commun.
- \((-3)^2=9\), mais \(-3^2=-9\).
Réflexe “copie propre” : une seule règle à la fois, une égalité par ligne, et une réponse finale clairement encadrée.
2) Priorités opératoires
Ordre des calculs
Dans une expression numérique, on calcule dans cet ordre :
- les parenthèses ;
- les puissances ;
- les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
- les additions et soustractions, de gauche à droite.
Exemple direct
\[
A=5+2\times(7-3)^2
\]
\[
A=5+2\times4^2
\]
\[
A=5+2\times16=5+32=37
\]
Exemple avec un signe moins devant une parenthèse
Calculer
\[
B=8-[3-2\times(-4)].
\]
On calcule d’abord la multiplication :
\[
2\times(-4)=-8.
\]
Donc
\[
B=8-[3-(-8)]=8-[3+8]=8-11=-3.
\]
\[
\boxed{B=-3}
\]
Attention : une calculatrice donne souvent le résultat, mais au Brevet il faut montrer les étapes importantes.
3) Nombres relatifs : signes et opérations
Addition et soustraction
- Deux nombres de même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
- Deux nombres de signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro.
- Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Multiplication et division
| Signes | Résultat |
|---|---|
| \(+\times +\) ou \(-\times -\) | positif |
| \(+\times -\) ou \(-\times +\) | négatif |
Exemples de calculs avec relatifs
\[
-7+12=5
\]
car le nombre le plus éloigné de zéro est \(12\), positif.
\[
-5-8=-5+(-8)=-13
\]
\[
(-4)\times(-9)=36
\]
\[
42\div(-6)=-7
\]
Méthode rapide : pour un produit de plusieurs facteurs non nuls, s’il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le produit est positif ; s’il y en a un nombre impair, il est négatif.
4) Fractions
Addition et soustraction
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}
\qquad (b\neq0)
\]
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}
\qquad (b\neq0,\ d\neq0)
\]
Multiplication et division
\[
\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}
\]
\[
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}
\qquad (c\neq0)
\]
Simplifier une fraction
Simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
\[
\frac{42}{56}=\frac{42\div14}{56\div14}=\frac34.
\]
Exemple complet — addition de fractions
Calculer
\[
C=\frac34-\frac56.
\]
On cherche un dénominateur commun : \(12\).
\[
\frac34=\frac{9}{12}
\qquad
\frac56=\frac{10}{12}.
\]
Donc
\[
C=\frac{9}{12}-\frac{10}{12}=\frac{-1}{12}.
\]
\[
\boxed{C=-\frac1{12}}
\]
Exemple complet — division de fractions
Calculer
\[
D=\frac{-7}{3}\div\frac{14}{9}.
\]
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[
D=\frac{-7}{3}\times\frac{9}{14}.
\]
On simplifie avant de multiplier :
\[
D=\frac{-7\times9}{3\times14}
=\frac{-7\times3}{14}
=\frac{-21}{14}
=-\frac32.
\]
\[
\boxed{D=-\frac32}
\]
Erreur classique :
\[
\frac{2+5}{2+7}\neq\frac57.
\]
On ne simplifie pas des termes dans une somme. Il faut d’abord calculer :
\[
\frac{2+5}{2+7}=\frac79.
\]
5) Puissances
Définition
Pour un entier \(n\ge1\),
\[
a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ facteurs}}.
\]
On a aussi, si \(a\neq0\) :
\[
a^0=1
\qquad
a^{-n}=\frac1{a^n}.
\]
Règles principales
\[
a^m\times a^n=a^{m+n}
\]
\[
\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a\neq0)
\]
\[
(a^m)^n=a^{mn}
\]
Puissance d’un produit
\[
(ab)^n=a^n b^n
\]
Puissance d’un quotient
\[
\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}
\qquad (b\neq0)
\]
Exemples de calculs avec puissances
\[
2^3\times2^5=2^{3+5}=2^8=256
\]
\[
\frac{5^7}{5^2}=5^{7-2}=5^5
\]
\[
(3^2)^4=3^{2\times4}=3^8
\]
\[
10^{-3}=\frac1{10^3}=0{,}001
\]
Très important :
\[
(-3)^2=9
\qquad\text{mais}\qquad
-3^2=-9.
\]
Dans \((-3)^2\), le signe moins est dans la parenthèse. Dans \(-3^2\), la puissance s’applique seulement à \(3\).
6) Notation scientifique
Définition
Un nombre positif est écrit en notation scientifique sous la forme
\[
a\times10^n
\]
où \(1\le a<10\) et \(n\) est un entier relatif.
Grands nombres
\[
4\,580\,000=4{,}58\times10^6.
\]
On déplace la virgule de \(6\) rangs vers la gauche.
Petits nombres
\[
0{,}00072=7{,}2\times10^{-4}.
\]
On déplace la virgule de \(4\) rangs vers la droite.
Exemple type Brevet
Calculer et donner le résultat en notation scientifique :
\[
E=\frac{3\times10^5\times4\times10^{-2}}{6\times10^3}.
\]
On regroupe les nombres et les puissances de \(10\) :
\[
E=\frac{3\times4}{6}\times10^{5+(-2)-3}
=2\times10^0.
\]
Comme \(10^0=1\),
\[
\boxed{E=2}.
\]
7) Méthodes Brevet
Méthode 1 — Calcul numérique
- Repérer les parenthèses et les puissances.
- Calculer les signes avant les valeurs si l’expression est longue.
- Écrire les étapes sans sauter de règle importante.
- Encadrer le résultat final.
Méthode 2 — Fractions
- Pour additionner : chercher un dénominateur commun.
- Pour multiplier : simplifier avant de multiplier si possible.
- Pour diviser : multiplier par l’inverse.
- Toujours donner une fraction irréductible si possible.
Méthode 3 — Puissances de 10
Pour un calcul avec des puissances de \(10\), on sépare les coefficients et les puissances :
\[
(2{,}5\times10^4)(3\times10^{-7})
=(2{,}5\times3)\times10^{4-7}
=7{,}5\times10^{-3}.
\]
Conseil Brevet : si un résultat est demandé sous forme de fraction, éviter la valeur décimale. Si une notation scientifique est demandée, vérifier que le nombre devant \(10^n\) est bien entre \(1\) et \(10\).
8) Erreurs fréquentes à éviter
| Erreur | Correction | Pourquoi ? |
|---|---|---|
| \(2^3+2^4=2^7\) | \(2^3+2^4=8+16=24\) | La règle \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) concerne les produits, pas les sommes. |
| \(\frac13+\frac14=\frac27\) | \(\frac13+\frac14=\frac4{12}+\frac3{12}=\frac7{12}\) | Il faut un dénominateur commun. |
| \(-5)^2=-25\) | \((-5)^2=25\) | Le carré d’un nombre négatif est positif. |
| \(10^{-2}=-100\) | \(10^{-2}=\frac1{100}=0{,}01\) | Un exposant négatif donne l’inverse. |
9) Applications guidées
Application 1 — Calcul avec priorités
Calculer
\[
A=-3+4\times(2-7)^2.
\]
Parenthèse :
\[
2-7=-5.
\]
Puissance :
\[
(-5)^2=25.
\]
Multiplication :
\[
4\times25=100.
\]
Addition :
\[
A=-3+100=97.
\]
\[
\boxed{A=97}
\]
Application 2 — Fractions et signes
Calculer
\[
B=\frac{-5}{6}+\frac{7}{9}.
\]
Un dénominateur commun est \(18\) :
\[
\frac{-5}{6}=\frac{-15}{18}
\qquad
\frac{7}{9}=\frac{14}{18}.
\]
Donc
\[
B=\frac{-15}{18}+\frac{14}{18}=\frac{-1}{18}.
\]
\[
\boxed{B=-\frac1{18}}
\]
Application 3 — Puissances
Simplifier
\[
C=\frac{3^5\times3^{-2}}{3^4}.
\]
Au numérateur :
\[
3^5\times3^{-2}=3^{5-2}=3^3.
\]
Donc
\[
C=\frac{3^3}{3^4}=3^{3-4}=3^{-1}=\frac13.
\]
\[
\boxed{C=\frac13}
\]
Application 4 — Notation scientifique
Écrire en notation scientifique :
\[
D=0{,}0000567.
\]
On déplace la virgule pour obtenir un nombre entre \(1\) et \(10\) :
\[
0{,}0000567=5{,}67\times10^{-5}.
\]
\[
\boxed{D=5{,}67\times10^{-5}}
\]
10) Formulaire essentiel
Fractions
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}
\]
\[
\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}
\]
\[
\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}
\]
\[
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}
\]
Puissances
\[
a^m\times a^n=a^{m+n}
\]
\[
\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}
\]
\[
(a^m)^n=a^{mn}
\]
\[
a^{-n}=\frac1{a^n}
\]
Notation scientifique
\[
a\times10^n
\qquad\text{avec}\qquad
1\le a<10
\quad\text{et}\quad
n\in\mathbb{Z}.
\]
11) Checklist “copie parfaite”
Avant de répondre
- Ai-je respecté les priorités opératoires ?
- Ai-je bien traité les signes ?
- Ai-je utilisé un dénominateur commun pour les additions de fractions ?
- Ai-je simplifié la fraction finale si possible ?
Réponse finale
- Le résultat est-il demandé sous forme exacte ?
- La notation scientifique est-elle correcte ?
- Le coefficient est-il bien entre \(1\) et \(10\) ?
- La réponse finale est-elle clairement visible ?
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