On utilise le critère de divisibilité par 3 : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Ici \(5+a+4=9+a\). Or \(9\) est multiple de 3, donc \(9+a\) est multiple de 3 si et seulement si \(a\) est multiple de 3. Comme \(a\) est un chiffre, \(a\in\{0,3,6,9\}\).
Critère de divisibilité par 9 : un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Ici \(7+a+2=9+a\). Pour que \(9+a\) soit multiple de 9, il faut que \(a\) soit multiple de 9. Comme \(a\) est un chiffre, la seule possibilité est \(a=0\).
On travaille modulo 9. On a \(10\equiv 1\pmod 9\) car \(10-1=9\) est multiple de 9. En élevant à la puissance \(n\), on obtient \(10^n\equiv 1^n\equiv 1\pmod 9\). Donc \(10^n-1\equiv 0\pmod 9\). Cela signifie que \(9\mid(10^n-1)\) pour tout entier \(n\ge 1\).
On factorise : \[A=n^2-n=n(n-1).\] Pour \(n\ge 3\), on a \(n\ge 3\) et \(n-1\ge 2\). Donc \(A\) est le produit de deux entiers strictement supérieurs à 1, ce qui prouve que \(A\) n’est pas un nombre premier.
Pour savoir si \(97\) est premier, on teste les diviseurs premiers jusqu’à \(\sqrt{97}\). Or \(\sqrt{97}\approx 9{,}8\). On teste donc 2, 3, 5, 7.\n\n- 97 est impair, donc pas divisible par 2.\n- Somme des chiffres : \(9+7=16\), donc pas divisible par 3.\n- Il ne finit pas par 0 ou 5, donc pas divisible par 5.\n- \(97\div 7\) n’est pas entier (car \(7\times 13=91\) et \(7\times 14=98\)).\n\nAucun diviseur premier \(\le 9{,}8\) ne divise 97, donc \(97\) est premier.
Supposons que \(2n+1\) soit divisible par 3. Alors \(2n+1\equiv 0\pmod 3\). En ajoutant 2, on obtient \(2n+3\equiv 2\pmod 3\), donc \(2n+3\) n’est pas divisible par 3.\n\nInversement, si \(2n+3\equiv 0\pmod 3\), alors en retranchant 2 on obtient \(2n+1\equiv 1\pmod 3\), donc \(2n+1\) n’est pas divisible par 3.\n\nAinsi, ils ne peuvent pas être tous les deux multiples de 3.
On divise par 2 : \(360=2\times 180=2^2\times 90=2^3\times 45\).\nPuis \(45=3\times 15=3^2\times 5\).\nDonc \[360=2^3\times 3^2\times 5.\]
Comme \(1\,134\) est pair, \(1\,134=2\times 567\).\nOr \(5+6+7=18\), donc 567 est divisible par 3 : \(567=3\times 189\).\nPuis \(189=3\times 63=3^2\times 21=3^3\times 7\).\nDonc \(567=3^4\times 7\).\nAinsi \[1\,134=2\times 3^4\times 7.\]
On a \(756=2\times 378=2^2\times 189\).\nOr \(189=3\times 63=3^2\times 21=3^3\times 7\).\nDonc \[756=2^2\times 3^3\times 7.\]
Décompositions : \(756=2^2\times 3^3\times 7\) et \(1\,134=2\times 3^4\times 7\).\nLe PGCD prend les facteurs communs avec les plus petits exposants :\n\(2^{\min(2,1)}=2\), \(3^{\min(3,4)}=3^3\), \(7^{\min(1,1)}=7\).\nDonc \[\mathrm{PGCD}(756;1\,134)=2\times 3^3\times 7=2\times 27\times 7=378.\]
Algorithme d’Euclide :\n\[2\,121=1\,485\times 1+636\]\n\[1\,485=636\times 2+213\]\n\[636=213\times 2+210\]\n\[213=210\times 1+3\]\n\[210=3\times 70+0\]\nLe dernier reste non nul est 3, donc \(\mathrm{PGCD}(2\,121;1\,485)=\boxed{3}\).
On a \(\mathrm{PGCD}(2\,121;1\,485)=3\).\nOn simplifie :\n\[\frac{2\,121}{1\,485}=\frac{2\,121\div 3}{1\,485\div 3}=\frac{707}{495}.\]\nComme 707 n’est pas divisible par 3 (\(7+0+7=14\)), la fraction est irréductible : \(\boxed{\frac{707}{495}}\).
On a \(72=2^3\times 3^2\) et \(90=2\times 3^2\times 5\).\nLe PPCM prend les plus grands exposants : \(2^3\), \(3^2\), \(5\).\nDonc \[\mathrm{PPCM}(72;90)=2^3\times 3^2\times 5=8\times 9\times 5=360.\]
On utilise \(a\times b=\mathrm{PGCD}(a;b)\times\mathrm{PPCM}(a;b)\).\nIci \(a=840\), \(b=1\,260\), \(\mathrm{PGCD}=420\).\n\[\mathrm{PPCM}(840;1\,260)=\frac{840\times 1\,260}{420}.\]\nOr \(840\div 420=2\), donc \(\mathrm{PPCM}=2\times 1\,260=2\,520\).\nRéponse : \(\boxed{2\,520}\).
Décompositions : \(12=2^2\times 3\), \(18=2\times 3^2\), \(45=3^2\times 5\).\nPPCM : \(2^2\times 3^2\times 5=4\times 9\times 5=180\).\nDonc \(\boxed{180}\).
On cherche la période commune : \(\mathrm{PPCM}(12;18;45)=180\) secondes.\nOr 180 s = 3 min.\nOn ajoute 3 minutes à 10 h 03 min 20 s : on obtient 10 h 06 min 20 s.\nRéponse : \(\boxed{10\text{ h }06\text{ min }20\text{ s}}\).
\(18=2\times 3^2\) et \(24=2^3\times 3\).\nDonc \(\mathrm{PPCM}(18;24)=2^3\times 3^2=72\) minutes.\nOr 72 min = 1 h 12.\nÀ partir de 7 h 12, on ajoute 1 h 12 : on obtient 8 h 24.\nRéponse : \(\boxed{8\text{ h }24}\).
Le nombre de sachets doit diviser 420 et 588 : on cherche donc \(\mathrm{PGCD}(420;588)\).\n\(420=2^2\times 3\times 5\times 7\) et \(588=2^2\times 3\times 7^2\).\nDonc \(\mathrm{PGCD}=2^2\times 3\times 7=84\).\nOn fait \(\boxed{84}\) sachets.\nComposition : \(420\div 84=5\) rouges et \(588\div 84=7\) bleues.
Décompositions : \(945=3^3\times 5\times 7\) et \(1\,260=2^2\times 3^2\times 5\times 7\).\nPGCD : \(3^2\times 5\times 7=315\).\nDonc \[\frac{945}{1\,260}=\frac{945\div 315}{1\,260\div 315}=\frac{3}{4}.\]\nRéponse : \(\boxed{\frac{3}{4}}\).
On calcule \(\mathrm{PPCM}(24;35)\).\n\(24=2^3\times 3\), \(35=5\times 7\), donc \(\mathrm{PPCM}=2^3\times 3\times 5\times 7=840\).\nLes candidats sont les multiples de 840 : \(840, 1\,680, 2\,520, \dots\).\nOn impose la divisibilité par 9 :\n- \(840\) : \(8+4+0=12\) (non)\n- \(1\,680\) : \(1+6+8+0=15\) (non)\n- \(2\,520\) : \(2+5+2+0=9\) (oui)\nDonc le plus petit est \(\boxed{2\,520}\).
Quiz HARD — Arithmétique (20 questions • 19–20/20)
Objectif Brevet 19–20/20 : critères de divisibilité (pièges) • preuves de non-primalité • décomposition en facteurs premiers • PGCD (facteurs + Euclide) • PPCM • fractions irréductibles • problèmes d’alignement/synchronisation.
Exercice 1. Déterminer les chiffres \(a\) tels que \(N=5a4\) soit divisible par 3.
Non vérifié
Indice
Somme des chiffres : \(5+a+4=9+a\).
Exercice 2. Déterminer les chiffres \(a\) tels que \(M=7a2\) soit divisible par 9.
Non vérifié
Indice
Somme des chiffres : \(7+a+2=9+a\).
Exercice 3. Montrer que \(10^n-1\) est divisible par 9 pour tout entier \(n\ge 1\).
Non vérifié
Indice
Utilise \(10\equiv 1\pmod 9\).
Exercice 4. Factoriser \(A=n^2-n\). En déduire que \(A\) n’est jamais premier pour \(n\ge 3\).
Non vérifié
Indice
Mettre \(n\) en facteur.
Exercice 5. Le nombre \(B=97\) est-il premier ? Justifier sans calculatrice.
Non vérifié
Indice
Tester les diviseurs premiers \(\le \sqrt{97}\approx 9,8\) : 2,3,5,7.
Exercice 6. Montrer que \(C=2n+1\) et \(D=2n+3\) ne peuvent pas être tous les deux divisibles par 3.
Non vérifié
Indice
Regarder les restes modulo 3 de deux nombres impairs espacés de 2.
Exercice 7. Décomposer \(360\) en facteurs premiers.
Non vérifié
Indice
Diviser par 2 tant que possible, puis par 3.
Exercice 8. Décomposer \(1\,134\) en facteurs premiers.
Non vérifié
Indice
Pair → diviser par 2, puis utiliser la somme des chiffres pour 3.
Exercice 9. Décomposer \(756\) en facteurs premiers.
Non vérifié
Indice
Extraire \(2\) deux fois, puis décomposer 189.
Exercice 10. Calculer \(\mathrm{PGCD}(756;1\,134)\) à l’aide des facteurs premiers.
Non vérifié
Indice
Utiliser \(756=2^2\times 3^3\times 7\) et \(1\,134=2\times 3^4\times 7\).
Exercice 11. Calculer \(\mathrm{PGCD}(2\,121;1\,485)\) par l’algorithme d’Euclide.
Non vérifié
Indice
Faire les divisions euclidiennes successives jusqu’au reste 0.
Exercice 12. Rendre irréductible \(\dfrac{2\,121}{1\,485}\).
Non vérifié
Indice
Utiliser le PGCD trouvé à la question précédente.
Exercice 13. Calculer \(\mathrm{PPCM}(72;90)\).
Non vérifié
Indice
Décomposer : \(72=2^3\times 3^2\) et \(90=2\times 3^2\times 5\).
Exercice 14. Sachant que \(\mathrm{PGCD}(840;1\,260)=420\), calculer \(\mathrm{PPCM}(840;1\,260)\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(a\times b=\mathrm{PGCD}(a;b)\times\mathrm{PPCM}(a;b)\).
Exercice 15. Calculer \(\mathrm{PPCM}(12;18;45)\).
Non vérifié
Indice
Décomposer : \(12=2^2\times 3\), \(18=2\times 3^2\), \(45=3^2\times 5\).
Exercice 16. Un feu clignote toutes les 12 s, un autre toutes les 18 s, un troisième toutes les 45 s. Ils clignotent ensemble à 10 h 03 min 20 s. Donner l’heure du prochain clignotement commun.
Non vérifié
Indice
PPCM(12;18;45)=180 s, puis convertir en minutes.
Exercice 17. Deux bus passent à un arrêt toutes les 18 min et 24 min. Ils passent ensemble à 7 h 12. À quelle heure repassent-ils ensemble ?
Non vérifié
Indice
PPCM(18;24)=72 min.
Exercice 18. On a 420 billes rouges et 588 billes bleues. On veut faire des sachets identiques sans reste. Combien de sachets au maximum ? (donner aussi la composition d’un sachet)
Non vérifié
Indice
Nombre maximal = \(\mathrm{PGCD}(420;588)\).
Exercice 19. Rendre irréductible \(\dfrac{945}{1\,260}\).
Non vérifié
Indice
Trouver le PGCD de 945 et 1 260.
Exercice 20. Trouver le plus petit entier \(n\) strictement positif tel que \(n\) soit multiple de 24 et de 35, et que \(n\) soit divisible par 9.
Non vérifié
Indice
PPCM(24;35)=840, puis tester les multiples pour la divisibilité par 9.