Arithmetique Divisibilite Nombres Premiers Pgcd Ppcm
3EME • MATHS — Learna
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Quiz — Divisibilité • Nombres premiers • Fractions irréductibles
Programme officiel de 3e : critères de divisibilité, division euclidienne, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, fractions irréductibles et problèmes classiques. Bonus : PGCD, PPCM et algorithme d’Euclide.
Q1. Déterminer les chiffres \(a\) tels que \(N=5a4\) soit divisible par 3.
Non vérifié
Indice
Utiliser la somme des chiffres.
Correction
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Ici, \(5+a+4=9+a\). Comme \(9\) est déjà multiple de 3, il faut que \(a\) soit lui-même multiple de 3. Comme \(a\) est un chiffre, on obtient : \[a\in\{0,3,6,9\}.\]
Q2. Déterminer les chiffres \(a\) tels que \(M=7a2\) soit divisible par 9.
Non vérifié
Indice
Utiliser le critère de divisibilité par 9.
Correction
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Ici, \(7+a+2=9+a\). Pour que \(9+a\) soit un multiple de 9, il faut que \(a\) soit égal à 0. Donc la seule possibilité est : \[a=0.\]
Q3. Montrer que \(10^n-1\) est divisible par 9 pour tout entier \(n\ge 1\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(10^n-1\) avec uniquement des chiffres 9.
Correction
Le nombre \(10^n\) s’écrit 1 suivi de \(n\) zéros. Donc \(10^n-1\) s’écrit avec \(n\) chiffres 9. Par exemple, \(10^3-1=999\). La somme de ses chiffres vaut alors \(9n\), donc elle est multiple de 9. D’après le critère de divisibilité par 9, \(10^n-1\) est donc divisible par 9.
Q4. Dans la division euclidienne de \(347\) par \(12\), donner le quotient et le reste.
Non vérifié
Indice
Chercher le plus grand multiple de 12 inférieur ou égal à 347.
Correction
On a \(12\times 28=336\) et \(12\times 29=348\), qui est trop grand. Donc : \[347=12\times 28+11.\] Le quotient est \(28\) et le reste est \(11\).
Q5. Écrire la division euclidienne de \(1260\) par \(84\).
Non vérifié
Indice
Vérifier si 84 divise 1260.
Correction
On calcule : \(84\times 15=1260\). Donc : \[1260=84\times 15+0.\] Le quotient est \(15\) et le reste est \(0\). Cela montre que \(84\) divise \(1260\).
Q6. Factoriser \(A=n^2-n\). En déduire que \(A\) n’est jamais premier pour \(n\ge 3\).
Non vérifié
Indice
Mettre \(n\) en facteur.
Correction
On factorise : \[A=n^2-n=n(n-1).\] Si \(n\ge 3\), alors \(n\ge 3\) et \(n-1\ge 2\). Le nombre \(A\) est donc le produit de deux entiers strictement supérieurs à 1. Il ne peut donc pas être premier.
Q7. Le nombre \(97\) est-il premier ? Justifier sans calculatrice.
Non vérifié
Indice
Tester les diviseurs premiers inférieurs ou égaux à \(\sqrt{97}\).
Correction
On a \(\sqrt{97}\approx 9{,}8\). Il suffit donc de tester les nombres premiers \(2\), \(3\), \(5\) et \(7\). Le nombre 97 est impair, donc non divisible par 2. La somme de ses chiffres vaut \(16\), donc il n’est pas divisible par 3. Il ne finit ni par 0 ni par 5, donc il n’est pas divisible par 5. Enfin, \(7\times 13=91\) et \(7\times 14=98\), donc 97 n’est pas divisible par 7. Ainsi, 97 est premier.
Q8. Montrer que \(2n+1\) et \(2n+3\) ne peuvent pas être tous les deux divisibles par 3.
Non vérifié
Indice
Ces deux nombres diffèrent de 2.
Correction
Supposons que \(2n+1\) soit divisible par 3. Alors son reste dans la division par 3 est 0. En ajoutant 2, on obtient \(2n+3\), dont le reste dans la division par 3 est 2. Il n’est donc pas divisible par 3. Ainsi, \(2n+1\) et \(2n+3\) ne peuvent pas être tous les deux divisibles par 3.
Q9. Décomposer \(360\) en facteurs premiers.
Non vérifié
Indice
Diviser par 2 tant que possible.
Correction
On a \(360=2\times 180=2^2\times 90=2^3\times 45\), puis \(45=3\times 15=3^2\times 5\). Donc : \[360=2^3\times 3^2\times 5.\]
Q10. Décomposer \(1\,134\) en facteurs premiers.
Non vérifié
Indice
Commencer par 2, puis utiliser le critère de divisibilité par 3.
Correction
Comme \(1\,134\) est pair, \(1\,134=2\times 567\). Ensuite, \(5+6+7=18\), donc 567 est divisible par 3 : \(567=3\times 189\). Puis \(189=3\times 63=3^2\times 21=3^3\times 7\). Finalement : \[1\,134=2\times 3^4\times 7.\]
Q11. Décomposer \(756\) en facteurs premiers.
Non vérifié
Indice
Extraire 2 deux fois.
Correction
On a \(756=2\times 378=2^2\times 189\). Puis \(189=3\times 63=3^2\times 21=3^3\times 7\). Donc : \[756=2^2\times 3^3\times 7.\]
Q12. Rendre irréductible \(\dfrac{945}{1\,260}\).
Non vérifié
Indice
Chercher un grand diviseur commun.
Correction
On a \(945=3^3\times 5\times 7\) et \(1\,260=2^2\times 3^2\times 5\times 7\). Un grand diviseur commun est \(3^2\times 5\times 7=315\). Donc : \[\frac{945}{1\,260}=\frac{945\div 315}{1\,260\div 315}=\frac{3}{4}.\] La fraction irréductible est \(\boxed{\frac{3}{4}}\).
Q13. Rendre irréductible \(\dfrac{2\,121}{1\,485}\).
Non vérifié
Indice
Commencer par tester la divisibilité par 3.
Correction
La somme des chiffres de 2121 vaut \(2+1+2+1=6\), donc 2121 est divisible par 3. La somme des chiffres de 1485 vaut \(1+4+8+5=18\), donc 1485 est aussi divisible par 3. On simplifie : \[\frac{2\,121}{1\,485}=\frac{707}{495}.\] La fraction obtenue est irréductible.
Q14. Un feu clignote toutes les 12 s, un autre toutes les 18 s, un troisième toutes les 45 s. Ils clignotent ensemble à 10 h 03 min 20 s. Donner l’heure du prochain clignotement commun.
Non vérifié
Indice
Chercher la durée commune minimale.
Correction
On calcule \(\mathrm{PPCM}(12;18;45)=180\) secondes, soit 3 minutes. On ajoute donc 3 minutes à 10 h 03 min 20 s. Le prochain clignotement commun a lieu à \(\boxed{10\text{ h }06\text{ min }20\text{ s}}\).
Q15. Deux bus passent à un arrêt toutes les 18 min et 24 min. Ils passent ensemble à 7 h 12. À quelle heure repassent-ils ensemble ?
Non vérifié
Indice
Chercher le plus petit multiple commun de 18 et 24.
Correction
On a \(18=2\times 3^2\) et \(24=2^3\times 3\). Donc \(\mathrm{PPCM}(18;24)=2^3\times 3^2=72\) minutes, soit 1 h 12. En ajoutant 1 h 12 à 7 h 12, on obtient \(\boxed{8\text{ h }24}\).
Q16. On a 420 billes rouges et 588 billes bleues. On veut faire des sachets identiques sans reste. Combien de sachets au maximum ? Donner aussi la composition d’un sachet.
Non vérifié
Indice
Le nombre de sachets doit diviser 420 et 588.
Correction
Le nombre maximal de sachets est le plus grand diviseur commun de 420 et 588. Or \(420=2^2\times 3\times 5\times 7\) et \(588=2^2\times 3\times 7^2\). Donc le PGCD vaut \(2^2\times 3\times 7=84\). On peut faire \(84\) sachets. Chaque sachet contient \(420\div 84=5\) billes rouges et \(588\div 84=7\) billes bleues.
Q17. Trouver le plus petit entier \(n\) strictement positif tel que \(n\) soit multiple de 24 et de 35, et que \(n\) soit divisible par 9.
Non vérifié
Indice
Chercher d’abord un multiple commun de 24 et 35.
Correction
On calcule d’abord \(\mathrm{PPCM}(24;35)=840\), car \(24=2^3\times 3\) et \(35=5\times 7\). Les multiples communs sont donc les multiples de 840. On teste ensuite la divisibilité par 9 : \(840\) ne convient pas, \(1680\) non plus, mais \(2520\) a une somme des chiffres égale à 9, donc il est divisible par 9. Ainsi, \(\boxed{2520}\) est la plus petite solution.
Q18. Bonus — Calculer \(\mathrm{PGCD}(756;1\,134)\) à l’aide des facteurs premiers.
Non vérifié
Indice
Garder les facteurs communs avec les plus petits exposants.
Correction
On a \(756=2^2\times 3^3\times 7\) et \(1\,134=2\times 3^4\times 7\). Le PGCD prend les facteurs communs avec les plus petits exposants : \(2\), \(3^3\) et \(7\). Donc : \[\mathrm{PGCD}(756;1\,134)=2\times 3^3\times 7=378.\]
Q19. Bonus — Calculer \(\mathrm{PGCD}(2\,121;1\,485)\) par l’algorithme d’Euclide.
Non vérifié
Indice
Faire des divisions euclidiennes successives.
Correction
On effectue les divisions euclidiennes : \[2121=1485\times 1+636\] \[1485=636\times 2+213\] \[636=213\times 2+210\] \[213=210\times 1+3\] \[210=3\times 70+0\] Le dernier reste non nul est 3. Donc : \[\mathrm{PGCD}(2121;1485)=3.\]
Q20. Bonus — Calculer \(\mathrm{PPCM}(12;18;45)\).
Non vérifié
Indice
Prendre tous les facteurs premiers avec les plus grands exposants.
Correction
On a \(12=2^2\times 3\), \(18=2\times 3^2\) et \(45=3^2\times 5\). Le PPCM est donc : \[2^2\times 3^2\times 5=4\times 9\times 5=180.\] Ainsi, \(\boxed{180}\).