Correction

On utilise le critère de divisibilité par 3 : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Ici \(5+a+4=9+a\). Or \(9\) est multiple de 3, donc \(9+a\) est multiple de 3 si et seulement si \(a\) est multiple de 3. Comme \(a\) est un chiffre, \(a\in\{0,3,6,9\}\).

Correction

Critère de divisibilité par 9 : un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Ici \(7+a+2=9+a\). Pour que \(9+a\) soit multiple de 9, il faut que \(a\) soit multiple de 9. Comme \(a\) est un chiffre, la seule possibilité est \(a=0\).

Correction

On travaille modulo 9. On a \(10\equiv 1\pmod 9\) car \(10-1=9\) est multiple de 9. En élevant à la puissance \(n\), on obtient \(10^n\equiv 1^n\equiv 1\pmod 9\). Donc \(10^n-1\equiv 0\pmod 9\). Cela signifie que \(9\mid(10^n-1)\) pour tout entier \(n\ge 1\).

Correction

On factorise : \[A=n^2-n=n(n-1).\] Pour \(n\ge 3\), on a \(n\ge 3\) et \(n-1\ge 2\). Donc \(A\) est le produit de deux entiers strictement supérieurs à 1, ce qui prouve que \(A\) n’est pas un nombre premier.

Correction

Pour savoir si \(97\) est premier, on teste les diviseurs premiers jusqu’à \(\sqrt{97}\). Or \(\sqrt{97}\approx 9{,}8\). On teste donc 2, 3, 5, 7.\n\n- 97 est impair, donc pas divisible par 2.\n- Somme des chiffres : \(9+7=16\), donc pas divisible par 3.\n- Il ne finit pas par 0 ou 5, donc pas divisible par 5.\n- \(97\div 7\) n’est pas entier (car \(7\times 13=91\) et \(7\times 14=98\)).\n\nAucun diviseur premier \(\le 9{,}8\) ne divise 97, donc \(97\) est premier.

Correction

Supposons que \(2n+1\) soit divisible par 3. Alors \(2n+1\equiv 0\pmod 3\). En ajoutant 2, on obtient \(2n+3\equiv 2\pmod 3\), donc \(2n+3\) n’est pas divisible par 3.\n\nInversement, si \(2n+3\equiv 0\pmod 3\), alors en retranchant 2 on obtient \(2n+1\equiv 1\pmod 3\), donc \(2n+1\) n’est pas divisible par 3.\n\nAinsi, ils ne peuvent pas être tous les deux multiples de 3.

Correction

On divise par 2 : \(360=2\times 180=2^2\times 90=2^3\times 45\).\nPuis \(45=3\times 15=3^2\times 5\).\nDonc \[360=2^3\times 3^2\times 5.\]

Correction

Comme \(1\,134\) est pair, \(1\,134=2\times 567\).\nOr \(5+6+7=18\), donc 567 est divisible par 3 : \(567=3\times 189\).\nPuis \(189=3\times 63=3^2\times 21=3^3\times 7\).\nDonc \(567=3^4\times 7\).\nAinsi \[1\,134=2\times 3^4\times 7.\]

Correction

On a \(756=2\times 378=2^2\times 189\).\nOr \(189=3\times 63=3^2\times 21=3^3\times 7\).\nDonc \[756=2^2\times 3^3\times 7.\]

Correction

Décompositions : \(756=2^2\times 3^3\times 7\) et \(1\,134=2\times 3^4\times 7\).\nLe PGCD prend les facteurs communs avec les plus petits exposants :\n\(2^{\min(2,1)}=2\), \(3^{\min(3,4)}=3^3\), \(7^{\min(1,1)}=7\).\nDonc \[\mathrm{PGCD}(756;1\,134)=2\times 3^3\times 7=2\times 27\times 7=378.\]

Correction

Algorithme d’Euclide :\n\[2\,121=1\,485\times 1+636\]\n\[1\,485=636\times 2+213\]\n\[636=213\times 2+210\]\n\[213=210\times 1+3\]\n\[210=3\times 70+0\]\nLe dernier reste non nul est 3, donc \(\mathrm{PGCD}(2\,121;1\,485)=\boxed{3}\).

Correction

On a \(\mathrm{PGCD}(2\,121;1\,485)=3\).\nOn simplifie :\n\[\frac{2\,121}{1\,485}=\frac{2\,121\div 3}{1\,485\div 3}=\frac{707}{495}.\]\nComme 707 n’est pas divisible par 3 (\(7+0+7=14\)), la fraction est irréductible : \(\boxed{\frac{707}{495}}\).

Correction

On a \(72=2^3\times 3^2\) et \(90=2\times 3^2\times 5\).\nLe PPCM prend les plus grands exposants : \(2^3\), \(3^2\), \(5\).\nDonc \[\mathrm{PPCM}(72;90)=2^3\times 3^2\times 5=8\times 9\times 5=360.\]

Correction

On utilise \(a\times b=\mathrm{PGCD}(a;b)\times\mathrm{PPCM}(a;b)\).\nIci \(a=840\), \(b=1\,260\), \(\mathrm{PGCD}=420\).\n\[\mathrm{PPCM}(840;1\,260)=\frac{840\times 1\,260}{420}.\]\nOr \(840\div 420=2\), donc \(\mathrm{PPCM}=2\times 1\,260=2\,520\).\nRéponse : \(\boxed{2\,520}\).

Correction

Décompositions : \(12=2^2\times 3\), \(18=2\times 3^2\), \(45=3^2\times 5\).\nPPCM : \(2^2\times 3^2\times 5=4\times 9\times 5=180\).\nDonc \(\boxed{180}\).

Correction

On cherche la période commune : \(\mathrm{PPCM}(12;18;45)=180\) secondes.\nOr 180 s = 3 min.\nOn ajoute 3 minutes à 10 h 03 min 20 s : on obtient 10 h 06 min 20 s.\nRéponse : \(\boxed{10\text{ h }06\text{ min }20\text{ s}}\).

Correction

\(18=2\times 3^2\) et \(24=2^3\times 3\).\nDonc \(\mathrm{PPCM}(18;24)=2^3\times 3^2=72\) minutes.\nOr 72 min = 1 h 12.\nÀ partir de 7 h 12, on ajoute 1 h 12 : on obtient 8 h 24.\nRéponse : \(\boxed{8\text{ h }24}\).

Correction

Le nombre de sachets doit diviser 420 et 588 : on cherche donc \(\mathrm{PGCD}(420;588)\).\n\(420=2^2\times 3\times 5\times 7\) et \(588=2^2\times 3\times 7^2\).\nDonc \(\mathrm{PGCD}=2^2\times 3\times 7=84\).\nOn fait \(\boxed{84}\) sachets.\nComposition : \(420\div 84=5\) rouges et \(588\div 84=7\) bleues.

Correction

Décompositions : \(945=3^3\times 5\times 7\) et \(1\,260=2^2\times 3^2\times 5\times 7\).\nPGCD : \(3^2\times 5\times 7=315\).\nDonc \[\frac{945}{1\,260}=\frac{945\div 315}{1\,260\div 315}=\frac{3}{4}.\]\nRéponse : \(\boxed{\frac{3}{4}}\).

Correction

On calcule \(\mathrm{PPCM}(24;35)\).\n\(24=2^3\times 3\), \(35=5\times 7\), donc \(\mathrm{PPCM}=2^3\times 3\times 5\times 7=840\).\nLes candidats sont les multiples de 840 : \(840, 1\,680, 2\,520, \dots\).\nOn impose la divisibilité par 9 :\n- \(840\) : \(8+4+0=12\) (non)\n- \(1\,680\) : \(1+6+8+0=15\) (non)\n- \(2\,520\) : \(2+5+2+0=9\) (oui)\nDonc le plus petit est \(\boxed{2\,520}\).