Quiz — Arithmétique : Divisibilité, Nombres Premiers, Pgcd / Ppcm (3e)

Correction

Pour que \(N\) soit divisible par \(5\), il faut \(b=0\) ou \(b=5\). La somme des chiffres vaut \(4+a+7+b=11+a+b\). Pour être divisible par \(9\), cette somme doit être un multiple de \(9\). Si \(b=0\), on veut \(11+a\in\{18\}\), donc \(a=7\). Si \(b=5\), on veut \(16+a\in\{18\}\), donc \(a=2\). Mais on demande \(a\) le plus petit possible, donc \(a=2\), \(b=5\). Le couple est \(\boxed{(2;5)}\).

Correction

Le nombre \(8a46\) est pair, donc il est divisible par \(2\). Il reste à imposer la divisibilité par \(3\). La somme des chiffres est \(8+a+4+6=18+a\). Comme \(18\) est multiple de \(3\), il faut que \(a\) soit un multiple de \(3\). Comme \(a\) est un chiffre, \(\boxed{a\in\{0,3,6,9\}}\).

Correction

Un nombre divisible par \(18\) doit être divisible par \(2\) et par \(9\). La somme des chiffres vaut déjà \(18\), donc la divisibilité par \(9\) est vérifiée. On cherche le plus petit nombre à quatre chiffres pair dont la somme vaut \(18\). Le premier chiffre doit être le plus petit possible : \(1\). Il reste une somme de \(17\) sur les trois derniers chiffres. Pour minimiser le nombre, on minimise le deuxième chiffre : \(0\), puis le troisième doit être \(8\) et le dernier \(9\), mais le nombre serait impair. On ajuste pour obtenir un dernier chiffre pair : \(1080\) a une somme \(1+0+8+0=9\), donc ne convient pas. Le plus petit correct est \(1098\), somme \(18\), pair. Donc \(\boxed{1098}\).

Correction

On calcule \(37\times 74=2\,738\) et \(37\times 75=2\,775\), qui dépasse \(2\,753\). Donc \(2\,753=37\times 74+15\). Le quotient est \(\boxed{74}\) et le reste est \(\boxed{15}\).

Correction

On a \(1\,764=4\times441\). Or \(4=2^2\) et \(441=21^2=(3\times7)^2=3^2\times7^2\). Donc \(\boxed{1\,764=2^2\times3^2\times7^2}\).

Correction

On écrit \(2\,940=294\times10\). Or \(294=2\times147=2\times3\times49=2\times3\times7^2\), et \(10=2\times5\). Donc \(2\,940=2^2\times3\times5\times7^2\).

Correction

On a \(1\,764=2^2\times3^2\times7^2\) et \(2\,940=2^2\times3\times5\times7^2\). Les facteurs communs sont \(2^2\times3\times7^2\). Après simplification, il reste au numérateur \(3\) et au dénominateur \(5\). Donc \(\dfrac{1\,764}{2\,940}=\boxed{\dfrac35}\).

Correction

On garde les facteurs communs avec les plus petits exposants : \(2^2\), \(3\) et \(7^2\). Ainsi \(\mathrm{PGCD}(1\,764;2\,940)=2^2\times3\times7^2=4\times3\times49=\boxed{588}\).

Correction

On prend les plus grands exposants : \(2^2\), \(3^2\), \(5\) et \(7^2\). Donc \(\mathrm{PPCM}(1\,764;2\,940)=2^2\times3^2\times5\times7^2=4\times9\times5\times49=\boxed{8\,820}\).

Correction

On applique l’algorithme d’Euclide : \(1\,232=448\times2+336\), puis \(448=336\times1+112\), puis \(336=112\times3+0\). Le dernier reste non nul est \(112\). Donc \(\mathrm{PGCD}(1\,232;448)=\boxed{112}\).

Correction

D’après l’algorithme d’Euclide, \(\mathrm{PGCD}(1\,232;448)=112\). Donc \(\dfrac{1\,232}{448}=\dfrac{1\,232\div112}{448\div112}=\dfrac{11}{4}\). La fraction irréductible est \(\boxed{\dfrac{11}{4}}\).

Correction

On remarque que \(2\,310=2\times1\,155\). Donc \(1\,155\) divise les deux nombres. Le plus grand diviseur commun est donc directement \(\boxed{1\,155}\).

Correction

On effectue : \(3\,465=2\,079\times1+1\,386\), puis \(2\,079=1\,386\times1+693\), puis \(1\,386=693\times2+0\). Donc \(\mathrm{PGCD}(3\,465;2\,079)=\boxed{693}\).

Correction

Le nombre de lots doit diviser \(420\), \(588\) et \(252\). On calcule le PGCD commun : \(420=2^2\times3\times5\times7\), \(588=2^2\times3\times7^2\), \(252=2^2\times3^2\times7\). Les facteurs communs sont \(2^2\times3\times7=84\). Elle peut préparer \(\boxed{84}\) lots.

Correction

On divise chaque quantité par le nombre de lots : \(420\div84=5\), \(588\div84=7\), \(252\div84=3\). Chaque lot contient donc \(\boxed{5}\) stylos, \(\boxed{7}\) cahiers et \(\boxed{3}\) règles.

Correction

On convertit : \(4{,}48\,\mathrm{m}=448\,\mathrm{cm}\) et \(3{,}36\,\mathrm{m}=336\,\mathrm{cm}\). Le plus grand côté possible est \(\mathrm{PGCD}(448;336)=112\). Donc le côté d’un carreau est \(\boxed{112\,\mathrm{cm}}\), soit \(\boxed{1{,}12\,\mathrm{m}}\).

Correction

Dans la longueur : \(448\div112=4\) carreaux. Dans la largeur : \(336\div112=3\) carreaux. Au total : \(4\times3=\boxed{12}\) carreaux.

Correction

On décompose : \(18=2\times3^2\), \(24=2^3\times3\), \(30=2\times3\times5\). Donc \(\mathrm{PPCM}(18;24;30)=2^3\times3^2\times5=360\) minutes, soit 6 heures. Elles sonneront ensemble à \(14\,h\,15\).

Correction

Comme \(\mathrm{PGCD}(n;84)=28\), le nombre \(n\) doit être un multiple de \(28\). Entre \(100\) et \(150\), les multiples de \(28\) sont \(112\) et \(140\). Or \(84=28\times3\). Il faut que \(k\) ne partage pas de facteur commun avec \(3\). Pour \(112=28\times4\), \(4\) est premier avec \(3\), donc \(112\) convient. Pour \(140=28\times5\), \(5\) est aussi premier avec \(3\), donc \(140\) convient aussi. Une réponse possible est \(\boxed{112}\) ou \(\boxed{140}\).

Correction

Pour deux entiers \(a\) et \(b\), on a la relation : \[a\times b=\mathrm{PGCD}(a;b)\times\mathrm{PPCM}(a;b).\] Donc \(a\times b=36\times1\,260=\boxed{45\,360}\).