Arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD / PPCM

3e Maths — critères de divisibilité • nombres premiers • décomposition en facteurs premiers • PGCD / PPCM • fractions irréductibles • problèmes d’alignement.

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3e Fiche de révision Arithmétique

Fiche — Divisibilité • Nombres premiers • PGCD / PPCM

L’essentiel à connaître + méthodes types + réflexes Brevet (fractions irréductibles, alignements).

1️⃣ Définitions essentielles

Divisibilité

\(b\neq 0\) divise \(a\) s’il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que :

\[ a=b\times k \]

Notation : \(b\mid a\).

Multiple / Diviseur

  • \(a\) est un multiple de \(b\) ⇔ \(b\mid a\)
  • \(b\) est un diviseur de \(a\) ⇔ \(b\mid a\)

Nombre premier

Un entier \(p\ge 2\) est premier s’il a exactement deux diviseurs : \(1\) et \(p\).

⚠️ \(1\) n’est pas premier.

Facteurs premiers

Décomposer un entier, c’est l’écrire comme produit de nombres premiers (écriture unique).

\[ 180 = 2^2\times 3^2\times 5 \]

2️⃣ Critères de divisibilité (à apprendre)

Divisible par Critère Exemple
2 Chiffre des unités pair \(738\) ✓
3 Somme des chiffres multiple de 3 \(429\) : \(4+2+9=15\) ✓
5 Unités : 0 ou 5 \(1\,235\) ✓
9 Somme des chiffres multiple de 9 \(7\,281\) : \(7+2+8+1=18\) ✓
10 Unités : 0 \(4\,120\) ✓
Réflexe Tester rapidement divisibilité par 3 et 9

On calcule la somme des chiffres.

  • Somme multiple de 3 ⇒ nombre divisible par 3
  • Somme multiple de 9 ⇒ nombre divisible par 9

3️⃣ Décomposition en facteurs premiers

Méthode

  1. Diviser par 2 tant que possible
  2. Puis par 3, puis 5, puis 7, etc.
  3. Arrêter quand on obtient 1
  4. Écrire le produit des facteurs premiers trouvés

Exemple

\[ 360 = 2\times 180 = 2^2\times 90 = 2^3\times 45 = 2^3\times 3\times 15 = 2^3\times 3^2\times 5 \]
✅ La décomposition en facteurs premiers est unique.

4️⃣ PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

Méthode (facteurs premiers)

  • Décomposer les deux nombres
  • Garder les facteurs communs
  • Prendre les plus petits exposants

Exemple

\[ 84 = 2^2\times 3\times 7 \quad;\quad 126 = 2\times 3^2\times 7 \] \[ \mathrm{PGCD}(84;126)=2^1\times 3^1\times 7^1=42 \]
Méthode bonus Algorithme d’Euclide (rapide)

Si \(a=bq+r\), alors \(\mathrm{PGCD}(a;b)=\mathrm{PGCD}(b;r)\).

\[ 252=198\times 1+54 \] \[ 198=54\times 3+36 \] \[ 54=36\times 1+18 \] \[ 36=18\times 2+0 \] \[ \mathrm{PGCD}(252;198)=18 \]

5️⃣ PPCM (Plus Petit Commun Multiple)

Méthode (facteurs premiers)

  • Décomposer \(a\) et \(b\)
  • Prendre tous les facteurs
  • Avec les plus grands exposants

Exemple

\[ 12=2^2\times 3 \quad;\quad 18=2\times 3^2 \] \[ \mathrm{PPCM}(12;18)=2^2\times 3^2=36 \]
Relation utile (pour \(a,b>0\)) :
\[ a\times b=\mathrm{PGCD}(a;b)\times \mathrm{PPCM}(a;b) \]

6️⃣ Fractions irréductibles (simplifier proprement)

Pour rendre \(\dfrac{a}{b}\) irréductible, on calcule \(d=\mathrm{PGCD}(a;b)\), puis on divise numérateur et dénominateur par \(d\).

Méthode

\[ d=\mathrm{PGCD}(a;b) \] \[ \frac{a}{b}=\frac{a\div d}{b\div d} \]

Exemple

\[ \mathrm{PGCD}(84;126)=42 \] \[ \frac{84}{126}=\frac{84\div 42}{126\div 42}=\frac{2}{3} \]
✅ Réflexe : fraction à simplifier ⇒ chercher le PGCD.

7️⃣ Problèmes d’alignement (synchronisation)

Quand des événements se produisent “toutes les \(a\)” et “toutes les \(b\)”, le moment où ils se produisent ensemble correspond au PPCM.

Exemple type Brevet Deux feux (12 s et 18 s)

Ils clignotent ensemble toutes les \(\mathrm{PPCM}(12;18)\) secondes.

\[ \mathrm{PPCM}(12;18)=36 \]

Réponse : toutes les 36 s.

✅ Réflexe : “en même temps / ensemble / alignés” ⇒ PPCM

🧠 Mémo express

  • \(b\mid a \iff a=b\times k\)
  • Premier : 2 diviseurs
  • Décomposition : produit de premiers (unique)
  • PGCD : communs + petits exposants
  • PPCM : tous + grands exposants
  • Fraction irréductible : diviser par le PGCD
  • “En même temps” : PPCM
  • Somme des chiffres : test 3 et 9