Fiche de révision — Arithmétique : Divisibilité, Nombres Premiers, Pgcd / Ppcm (3e)

Cette fiche de révision de maths en 3ème résume le chapitre Arithmétique : Divisibilité, Nombres Premiers, Pgcd / Ppcm. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
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Fiche de révision — Arithmétique
L’essentiel à connaître pour le Brevet : divisibilité • nombres premiers • décomposition • PGCD • PPCM • fractions irréductibles.
Essentiel Divisibilité Critères Nombres premiers Décomposition PGCD PPCM Fractions Méthode Brevet Pièges
1) L’essentiel à retenir
\[ b\mid a \iff a=b\times k \quad (k\in\mathbb{Z}) \] \[ \text{PGCD : facteurs communs avec les plus petits exposants} \] \[ \text{PPCM : tous les facteurs avec les plus grands exposants} \] \[ a\times b=\mathrm{PGCD}(a;b)\times \mathrm{PPCM}(a;b) \quad (a,b>0) \]
Réflexe Brevet : pour simplifier une fraction, on cherche souvent le PGCD. Pour trouver un moment commun ou une répétition ensemble, on cherche souvent le PPCM.
2) Divisibilité, diviseur et multiple
Divisibilité
Dire que b divise a, c’est dire qu’il existe un entier relatif \(k\) tel que \[ a=b\times k. \] On note alors \[ b\mid a. \]
Multiple / diviseur
  • Si \(b\mid a\), alors \(a\) est un multiple de \(b\).
  • Si \(b\mid a\), alors \(b\) est un diviseur de \(a\).
Exemples rapides
\[ 6\mid 42 \quad \text{car} \quad 42=6\times 7. \] Donc \(42\) est un multiple de \(6\), et \(6\) est un diviseur de \(42\).
3) Critères de divisibilité à connaître
Divisible par Critère Exemple
2 Le chiffre des unités est pair. \(738\) est divisible par \(2\).
3 La somme des chiffres est un multiple de \(3\). \(429\) : \(4+2+9=15\), donc oui.
5 Le chiffre des unités est \(0\) ou \(5\). \(1235\) est divisible par \(5\).
9 La somme des chiffres est un multiple de \(9\). \(7281\) : \(7+2+8+1=18\), donc oui.
10 Le chiffre des unités est \(0\). \(4120\) est divisible par \(10\).
Attention : être divisible par \(3\) ne veut pas dire être divisible par \(9\). Par exemple \(15\) est divisible par \(3\), mais pas par \(9\).
4) Nombres premiers
Définition
Un entier \(p\ge 2\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs : \[ 1 \quad \text{et} \quad p. \]
Premiers nombres premiers
\[ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31 \]
\[ 1 \text{ n’est pas un nombre premier.} \] Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.
5) Décomposition en facteurs premiers
Méthode
  1. On divise par \(2\) tant que possible.
  2. Puis par \(3\), puis \(5\), puis \(7\), etc.
  3. On s’arrête quand on obtient \(1\).
  4. On écrit le produit des facteurs premiers.
Exemple
\[ 360=2\times 180 \] \[ 360=2^2\times 90=2^3\times 45 \] \[ 360=2^3\times 3^2\times 5. \]
Toute décomposition en facteurs premiers est unique, à l’ordre des facteurs près.
6) PGCD — Plus Grand Commun Diviseur
Avec les facteurs premiers
Pour trouver le PGCD de deux nombres :
  • on décompose les deux nombres ;
  • on garde seulement les facteurs communs ;
  • on prend les plus petits exposants.
Exemple
\[ 84=2^2\times 3\times 7 \] \[ 126=2\times 3^2\times 7 \] \[ \mathrm{PGCD}(84;126)=2\times 3\times 7=42. \]
Méthode rapide — Algorithme d’Euclide
Si \(a=bq+r\), alors \[ \mathrm{PGCD}(a;b)=\mathrm{PGCD}(b;r). \] Exemple : \[ 252=198\times 1+54 \] \[ 198=54\times 3+36 \] \[ 54=36\times 1+18 \] \[ 36=18\times 2+0 \] Donc \[ \boxed{\mathrm{PGCD}(252;198)=18}. \]
7) PPCM — Plus Petit Commun Multiple
Avec les facteurs premiers
Pour trouver le PPCM de deux nombres :
  • on décompose les deux nombres ;
  • on prend tous les facteurs présents ;
  • on prend les plus grands exposants.
Exemple
\[ 12=2^2\times 3 \] \[ 18=2\times 3^2 \] \[ \mathrm{PPCM}(12;18)=2^2\times 3^2=36. \]
Pour \(a,b>0\), on a la relation utile : \[ a\times b=\mathrm{PGCD}(a;b)\times \mathrm{PPCM}(a;b). \]
8) Fractions irréductibles
Principe
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que \(1\). Pour rendre \(\dfrac{a}{b}\) irréductible, on divise \(a\) et \(b\) par leur PGCD.
Exemple — simplifier \(\dfrac{84}{126}\)
On calcule : \[ \mathrm{PGCD}(84;126)=42. \] Donc \[ \frac{84}{126}=\frac{84\div 42}{126\div 42}=\frac{2}{3}. \] La fraction \(\dfrac{2}{3}\) est irréductible.
Réflexe : fraction à simplifier complètement \(\Rightarrow\) chercher le PGCD.
9) Méthode Brevet : choisir PGCD ou PPCM
Situation Outil Réflexe
Simplifier une fraction PGCD On divise numérateur et dénominateur par le plus grand diviseur commun.
Former des groupes identiques sans reste PGCD On cherche la plus grande taille possible.
Deux événements se reproduisent ensemble PPCM On cherche le premier multiple commun.
Comparer deux cycles ou deux périodicités PPCM On cherche quand les cycles se réalignent.
Exemple type — deux feux clignotent toutes les 12 s et 18 s
On cherche le moment où ils clignotent de nouveau ensemble, donc on calcule le PPCM : \[ 12=2^2\times 3, \qquad 18=2\times 3^2. \] \[ \mathrm{PPCM}(12;18)=2^2\times 3^2=36. \] Les deux feux clignotent ensemble toutes les \[ \boxed{36\text{ secondes}}. \]
10) Pièges classiques à éviter
PGCD vs PPCM
  • PGCD : on cherche un diviseur commun.
  • PPCM : on cherche un multiple commun.
Nombre premier
Ne jamais écrire que \(1\) est premier. Il n’a qu’un seul diviseur positif : lui-même.
Erreur fréquente : pour le PGCD, on ne prend pas tous les facteurs. On prend seulement les facteurs communs avec les plus petits exposants.
Mémo express avant contrôle
  • \(b\mid a\iff a=b\times k\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).
  • Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs.
  • PGCD : facteurs communs + plus petits exposants.
  • PPCM : tous les facteurs + plus grands exposants.
  • Fraction irréductible : on divise par le PGCD.
  • “En même temps / ensemble / de nouveau ensemble” : souvent PPCM.
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