Définition : \(b\mid a\) signifie que \(a=b\times k\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).
\[ 7\mid 84 \quad \text{car}\quad 84=7\times 12 \]Critères à connaître
\[ \begin{aligned} &\text{par }2:\ \text{chiffre des unités pair} \\ &\text{par }5:\ \text{unités }0 \text{ ou }5 \\ &\text{par }10:\ \text{unités }0 \\ &\text{par }3:\ \text{somme des chiffres multiple de }3 \\ &\text{par }9:\ \text{somme des chiffres multiple de }9 \end{aligned} \]Pour 3 et 9 : on additionne les chiffres (c’est la technique la plus rentable au Brevet).
Définition : \(p\ge 2\) est premier si ses seuls diviseurs sont \(1\) et \(p\).
\[ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dots \]Test “Brevet” : diviseurs jusqu’à \(\sqrt{n}\)
Pour savoir si \(n\) est premier : tester la divisibilité par \(2,3,5,7,11,\dots\) jusqu’à \(\sqrt{n}\). Si aucun ne divise \(n\), alors \(n\) est premier.
\[ \sqrt{97}\approx 9{,}8 \Rightarrow \text{tester }2,3,5,7 \]Méthode : divisions successives par les nombres premiers (2 puis 3 puis 5…).
\[ 360=2\times 180=2^2\times 90=2^3\times 45 \] \[ 45=3\times 15=3^2\times 5 \] \[ \Rightarrow\ 360=2^3\times 3^2\times 5 \]Cette décomposition est unique.
Méthode 1 (facteurs premiers) — la plus “propre”
On garde les facteurs communs avec les plus petits exposants.
\[ 84=2^2\times 3\times 7,\quad 126=2\times 3^2\times 7 \] \[ \mathrm{PGCD}(84;126)=2^1\times 3^1\times 7^1=42 \]Méthode 2 (algorithme d’Euclide) — la plus rapide
\[ a=bq+r\ \Rightarrow\ \mathrm{PGCD}(a;b)=\mathrm{PGCD}(b;r) \] \[ 252=198\times 1+54 \] \[ 198=54\times 3+36 \] \[ 54=36\times 1+18 \] \[ 36=18\times 2+0\Rightarrow \mathrm{PGCD}(252;198)=18 \]Méthode (facteurs premiers)
On prend tous les facteurs (communs ou non) avec les plus grands exposants.
\[ 12=2^2\times 3,\quad 18=2\times 3^2 \] \[ \mathrm{PPCM}(12;18)=2^2\times 3^2=36 \]Relation utile (très rentable)
\[ a\times b=\mathrm{PGCD}(a;b)\times \mathrm{PPCM}(a;b)\quad (a,b>0) \]Si on connaît le PGCD, on peut trouver le PPCM sans redécomposer.
Règle : on divise numérateur et dénominateur par le PGCD.
\[ d=\mathrm{PGCD}(a;b)\quad\Rightarrow\quad \frac{a}{b}=\frac{a\div d}{b\div d} \]Exemple
\[ \mathrm{PGCD}(756;1\,134)=378 \] \[ \frac{756}{1\,134}=\frac{756\div 378}{1\,134\div 378}=\frac{2}{3} \]Réflexe : « ensemble / en même temps » ⇒ on calcule un PPCM.
\[ \text{Bus : }18\text{ min},\ 24\text{ min},\ 30\text{ min} \] \[ \mathrm{PPCM}(18;24;30)=360\text{ min}=6\text{ h} \]Donc si ils sont ensemble à 7 h 00, la prochaine fois sera à 13 h 00.
- Pour 3 ou 9 : somme des chiffres calculée correctement
- Pour “premier” : test des diviseurs jusqu’à \(\sqrt{n}\)
- Décomposition écrite avec puissances : \(2^a\times 3^b\times \cdots\)
- PGCD : facteurs communs + petits exposants
- PPCM : tous les facteurs + grands exposants
- Fraction : simplification justifiée par le PGCD
- Alignement : “ensemble” ⇒ PPCM + conversion d’unités