Cours — Arithmétique : Divisibilité, Nombres Premiers, Pgcd / Ppcm (3e)
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Cours de mathématiques en 3ème : Arithmétique : Divisibilité, Nombres Premiers, Pgcd / Ppcm
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3e
Chapitres
Cours — Arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD et PPCM
Divisibilité • critères • nombres premiers • décomposition en facteurs premiers • PGCD • PPCM • fractions irréductibles • problèmes de synchronisation.
1) Objectifs et plan de travail
Compétences attendues en 3e
- Reconnaître une situation de divisibilité.
- Utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10.
- Savoir reconnaître ou tester un nombre premier.
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers.
- Calculer un PGCD et l’utiliser pour rendre une fraction irréductible.
- Calculer un PPCM dans les problèmes de synchronisation.
Pièges fréquents
- Le nombre 1 n’est pas un nombre premier.
- Divisible par 9 implique divisible par 3, mais l’inverse est faux.
- PGCD : on garde les facteurs communs avec les petits exposants.
- PPCM : on garde tous les facteurs avec les grands exposants.
Réflexe Brevet : pour simplifier une fraction, on cherche un PGCD. Pour deux événements qui se reproduisent ensemble, on cherche un PPCM.
2) Réflexes essentiels à connaître par cœur
Formules et définitions rapides
\[
\begin{aligned}
&b\mid a \iff \exists k\in\mathbb{Z},\ a=bk \\
&p \text{ premier } \iff p\ge 2 \text{ et ses seuls diviseurs sont }1\text{ et }p \\
&\mathrm{PGCD}(a;b)=\text{plus grand diviseur commun à }a\text{ et }b \\
&\mathrm{PPCM}(a;b)=\text{plus petit multiple commun non nul de }a\text{ et }b \\
&a\times b=\mathrm{PGCD}(a;b)\times\mathrm{PPCM}(a;b)\quad (a,b>0)
\end{aligned}
\]
Méthode propre : écrire les décompositions en facteurs premiers permet de calculer rapidement le PGCD et le PPCM.
3) Divisibilité et critères
Définition
Dire que « b divise a », ou que « a est divisible par b », signifie qu’il existe un entier relatif \(k\) tel que
\[
a=b\times k.
\]
On note alors \(b\mid a\).
| Divisibilité par | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Le chiffre des unités est pair : 0, 2, 4, 6 ou 8. | \(348\) est divisible par \(2\). |
| 3 | La somme des chiffres est divisible par 3. | \(372\) : \(3+7+2=12\), donc divisible par \(3\). |
| 5 | Le chiffre des unités est 0 ou 5. | \(145\) est divisible par \(5\). |
| 9 | La somme des chiffres est divisible par 9. | \(729\) : \(7+2+9=18\), donc divisible par \(9\). |
| 10 | Le chiffre des unités est 0. | \(1\,250\) est divisible par \(10\). |
Exemple corrigé — tester plusieurs critères
On étudie le nombre \(4\,536\).
\[
4+5+3+6=18.
\]
Donc \(4\,536\) est divisible par \(3\) et par \(9\). Son chiffre des unités est \(6\), donc il est aussi divisible par \(2\).
Attention : un nombre peut être divisible par 3 sans être divisible par 9. Exemple : \(123\), car \(1+2+3=6\).
4) Nombres premiers
Définition
Un entier \(p\) est premier lorsqu’il a exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même.
\[
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\dots
\]
Méthode pour tester
Pour savoir si \(n\) est premier, on teste les diviseurs premiers jusqu’à \(\sqrt n\).
\[
\sqrt{97}\approx 9{,}8.
\]
On teste donc \(2,3,5,7\). Aucun ne divise \(97\), donc \(97\) est premier.
Piège : \(1\) n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur positif : lui-même.
5) Décomposition en facteurs premiers
Méthode
On divise successivement par les nombres premiers \(2,3,5,7,\dots\), puis on écrit le résultat avec des puissances.
\[
360=2\times 180=2^2\times 90=2^3\times 45
\]
\[
45=3\times 15=3^2\times 5
\]
\[
\boxed{360=2^3\times 3^2\times 5}
\]
Exemple corrigé — décomposer \(504\)
\[
504=2\times252=2^2\times126=2^3\times63.
\]
Or \(63=3^2\times7\). Donc
\[
\boxed{504=2^3\times3^2\times7}.
\]
Copie propre : la réponse finale doit être écrite sous la forme \(2^a\times3^b\times5^c\times\cdots\).
6) PGCD : plus grand diviseur commun
Avec les facteurs premiers
On garde uniquement les facteurs communs avec les plus petits exposants.
\[
84=2^2\times3\times7,
\qquad
126=2\times3^2\times7.
\]
\[
\mathrm{PGCD}(84;126)=2\times3\times7=42.
\]
Avec l’algorithme d’Euclide
On effectue des divisions euclidiennes successives. Le dernier reste non nul est le PGCD.
\[
252=198\times1+54
\]
\[
198=54\times3+36
\]
\[
54=36\times1+18
\]
\[
36=18\times2+0
\]
\[
\boxed{\mathrm{PGCD}(252;198)=18}
\]
Quand utiliser le PGCD ?
- Pour simplifier une fraction.
- Pour rendre une fraction irréductible.
- Pour partager des quantités en lots identiques les plus grands possibles.
7) PPCM : plus petit multiple commun
Méthode avec les facteurs premiers
On prend tous les facteurs qui apparaissent, avec les plus grands exposants.
\[
12=2^2\times3,
\qquad
18=2\times3^2.
\]
\[
\mathrm{PPCM}(12;18)=2^2\times3^2=36.
\]
Relation utile
Pour deux entiers strictement positifs \(a\) et \(b\),
\[
a\times b=\mathrm{PGCD}(a;b)\times\mathrm{PPCM}(a;b).
\]
Exemple corrigé — trouver un PPCM avec le PGCD
On sait que \(\mathrm{PGCD}(48;180)=12\). Alors
\[
48\times180=12\times\mathrm{PPCM}(48;180).
\]
Donc
\[
\mathrm{PPCM}(48;180)=\frac{48\times180}{12}=720.
\]
8) Fractions irréductibles
Règle
Pour rendre \(\dfrac{a}{b}\) irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
\[
d=\mathrm{PGCD}(a;b)
\quad\Rightarrow\quad
\frac{a}{b}=\frac{a\div d}{b\div d}.
\]
Exemple corrigé — simplifier \(\dfrac{756}{1\,134}\)
On calcule
\[
\mathrm{PGCD}(756;1\,134)=378.
\]
Donc
\[
\frac{756}{1\,134}
=\frac{756\div378}{1\,134\div378}
=\boxed{\frac{2}{3}}.
\]
Attention : une fraction est irréductible quand le PGCD du numérateur et du dénominateur vaut \(1\).
9) Problèmes Brevet : reconnaître PGCD ou PPCM
| Situation | Outil | Pourquoi ? |
|---|---|---|
| Former des lots identiques les plus grands possibles | PGCD | On cherche un diviseur commun maximal. |
| Simplifier une fraction | PGCD | On divise par le plus grand diviseur commun. |
| Deux bus repassent ensemble | PPCM | On cherche un multiple commun minimal. |
| Deux alarmes sonnent en même temps | PPCM | On cherche la première synchronisation. |
Exemple corrigé — problème de synchronisation
Trois bus passent toutes les \(18\) min, \(24\) min et \(30\) min. Ils partent ensemble à 7 h 00.
On cherche
\[
\mathrm{PPCM}(18;24;30).
\]
Décompositions :
\[
18=2\times3^2,
\qquad
24=2^3\times3,
\qquad
30=2\times3\times5.
\]
Donc
\[
\mathrm{PPCM}(18;24;30)=2^3\times3^2\times5=360.
\]
\(360\) minutes valent \(6\) heures. La prochaine rencontre aura donc lieu à
\[
\boxed{13\text{ h }00}.
\]
10) Formulaire final et checklist anti-erreurs
À retenir
\[
\begin{aligned}
&b\mid a \iff a=bk,\quad k\in\mathbb{Z} \\
&\mathrm{PGCD}:\text{ facteurs communs avec petits exposants} \\
&\mathrm{PPCM}:\text{ tous les facteurs avec grands exposants} \\
&a\times b=\mathrm{PGCD}(a;b)\times\mathrm{PPCM}(a;b)
\end{aligned}
\]
Checklist Brevet
- J’ai vérifié les critères de divisibilité.
- J’ai écrit les décompositions avec des puissances.
- J’ai distingué PGCD et PPCM.
- J’ai justifié la simplification d’une fraction.
- J’ai converti les durées si nécessaire.
Conclusion : en arithmétique, le plus important est de reconnaître le bon outil : PGCD pour partager/simplifier, PPCM pour synchroniser/retrouver ensemble.
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