On considère le nombre \(N=8a7b\) où \(a\) et \(b\) sont des chiffres.
- Déterminer toutes les paires \((a;b)\) pour lesquelles \(N\) est divisible par 3.
- Parmi celles-ci, déterminer celles pour lesquelles \(N\) est divisible par 9.
- Donner au moins un exemple concret dans chaque cas.
Correction
Somme des chiffres : \(8+a+7+b=15+a+b\).
1) Divisibilité par 3
\[ N \text{ divisible par }3 \iff 15+a+b \text{ multiple de }3 \] Or \(15\) est multiple de 3, donc : \[ 15+a+b \text{ multiple de }3 \iff a+b \text{ multiple de }3. \]Donc \((a;b)\) convient ⇔ \(a+b\in\{0,3,6,9,12,15,18\}\).
Exemples : \((1;2)\Rightarrow a+b=3\) donc \(N=8172\) divisible par 3. \((9;9)\Rightarrow a+b=18\) donc \(N=8979\) divisible par 3.
2) Divisibilité par 9
\[ N \text{ divisible par }9 \iff 15+a+b \text{ multiple de }9. \] Les multiples de 9 proches : \(9,18,27\). Comme \(15+a+b\in[15;33]\), il faut : \[ 15+a+b\in\{18,27\}. \] Donc : \[ a+b=3 \quad \text{ou}\quad a+b=12. \]Exemples : \((1;2)\Rightarrow a+b=3\Rightarrow 8172\) divisible par 9. \((3;9)\Rightarrow a+b=12\Rightarrow 8379\) divisible par 9.
- Montrer que pour tout entier \(n\ge 1\), \(10^n-1\) est divisible par 9.
- Montrer que pour tout entier \(n\ge 1\), \(10^n+1\) n’est jamais divisible par 9.
Correction
1) \(10^n-1\)
\[ 10\equiv 1\pmod 9 \quad (\text{car }10-1=9) \] Donc en élevant à la puissance \(n\) : \[ 10^n\equiv 1^n\equiv 1\pmod 9 \] alors : \[ 10^n-1\equiv 0\pmod 9 \Rightarrow 9\mid(10^n-1). \]2) \(10^n+1\)
Avec \(10^n\equiv 1\pmod 9\), on obtient : \[ 10^n+1\equiv 1+1\equiv 2\pmod 9 \] Or \(2\not\equiv 0\pmod 9\). Donc : \[ 9\nmid(10^n+1). \]On définit \(A_n=n^2+n+41\).
- Calculer \(A_{0}\), \(A_{1}\), \(A_{2}\).
- Montrer que \(A_{40}\) n’est pas premier.
- Factoriser \(A_{40}\).
Correction
1) Valeurs
\[ A_0=0^2+0+41=41,\quad A_1=1+1+41=43,\quad A_2=4+2+41=47 \]Ces trois nombres sont premiers (petits tests possibles).
2) Cas \(n=40\)
\[ A_{40}=40^2+40+41=1600+40+41=1681 \] Or : \[ 1681=41^2 \] donc \(A_{40}\) n’est pas premier.3) Factorisation
\[ A_{40}=41\times 41 \]On considère \(a=840\) et \(b=1\,260\).
- Décomposer \(a\) et \(b\) en facteurs premiers.
- Calculer \(\mathrm{PGCD}(a;b)\).
- Calculer \(\mathrm{PPCM}(a;b)\) (sans refaire un tableau complet si possible).
Correction
1) Décompositions
\[ 840=2^3\times 3\times 5\times 7 \] \[ 1\,260=2^2\times 3^2\times 5\times 7 \]2) PGCD
On prend les facteurs communs avec les plus petits exposants : \[ \mathrm{PGCD}(840;1\,260)=2^2\times 3^1\times 5\times 7 \] \[ =4\times 3\times 5\times 7=420 \]3) PPCM
Méthode 1 : grands exposants : \[ \mathrm{PPCM}(840;1\,260)=2^3\times 3^2\times 5\times 7 \] \[ =8\times 9\times 5\times 7=2\,520 \] Méthode 2 (contrôle) : \[ a\times b=\mathrm{PGCD}\times \mathrm{PPCM} \] et donc \(\mathrm{PPCM}=\dfrac{840\times 1\,260}{420}=2\,520\).Simplifier la fraction \(\dfrac{2\,121}{1\,485}\) en justifiant avec l’algorithme d’Euclide.
Correction
Algorithme d’Euclide
\[ 2\,121=1\,485\times 1+636 \] \[ 1\,485=636\times 2+213 \] \[ 636=213\times 2+210 \] \[ 213=210\times 1+3 \] \[ 210=3\times 70+0 \] Donc \(\mathrm{PGCD}(2\,121;1\,485)=3\).Simplification
\[ \frac{2\,121}{1\,485}=\frac{2\,121\div 3}{1\,485\div 3}=\frac{707}{495} \]On peut vérifier que 707 n’est pas divisible par 3 (somme 14), donc on est bien irréductible.
On cherche le plus petit entier \(n>0\) tel que :
- \(n\) est multiple de 24 et de 35,
- \(n\) est divisible par 9,
- et \(n\) est compris dans \([2\,000 ; 3\,000]\).
Déterminer \(n\) (justifier toutes les étapes).
Correction
1) Multiples de 24 et 35
\[ 24=2^3\times 3,\quad 35=5\times 7 \] \[ \mathrm{PPCM}(24;35)=2^3\times 3\times 5\times 7=840 \] Donc \(n\) est un multiple de 840 : \(n=840k\).2) Contrainte \([2\,000 ; 3\,000]\)
\[ 2\,000\le 840k \le 3\,000 \] \[ \frac{2\,000}{840}\le k \le \frac{3\,000}{840} \] \[ 2{,}38\le k \le 3{,}57 \Rightarrow k\in\{3\} \] Donc \(n=840\times 3=2\,520\).3) Divisibilité par 9
Somme des chiffres de \(2\,520\) : \(2+5+2+0=9\), donc \(2\,520\) est divisible par 9.Conclusion : \(n=\boxed{2\,520}\).
Un feu clignote toutes les 12 s. Un autre clignote toutes les 18 s. Un troisième clignote toutes les 45 s. Ils clignotent ensemble à 10 h 03 min 20 s.
- Au bout de combien de secondes clignoteront-ils à nouveau ensemble ?
- Donner l’heure exacte du prochain clignotement commun.
Correction
1) Calcul du PPCM
\[ 12=2^2\times 3,\quad 18=2\times 3^2,\quad 45=3^2\times 5 \] \[ \mathrm{PPCM}(12;18;45)=2^2\times 3^2\times 5=4\times 9\times 5=180 \] Donc ils se recalent toutes les \(\boxed{180}\) secondes.2) Heure du prochain alignement
\(180\) s = 3 min. \[ 10\text{ h }03\text{ min }20\text{ s } + 3\text{ min }=10\text{ h }06\text{ min }20\text{ s} \]Conclusion : \(\boxed{10\text{ h }06\text{ min }20\text{ s}}\).
Soit \(n\in\mathbb{N}\). On pose :
\[ a=2n+1,\qquad b=2n+3 \]- Montrer que \(\mathrm{PGCD}(a;b)=1\).
- En déduire \(\mathrm{PPCM}(a;b)\) en fonction de \(n\).
Correction
1) PGCD
On remarque : \[ b-a=(2n+3)-(2n+1)=2 \] Si \(d\) est un diviseur commun de \(a\) et \(b\), alors \(d\mid(b-a)\), donc \(d\mid 2\). Or \(a=2n+1\) est impair, donc \(a\) n’est pas divisible par 2. Ainsi, le seul diviseur commun possible est \(d=1\). \[ \Rightarrow\ \mathrm{PGCD}(a;b)=\boxed{1}. \]2) PPCM
On utilise la relation : \[ a\times b=\mathrm{PGCD}(a;b)\times \mathrm{PPCM}(a;b) \] Ici \(\mathrm{PGCD}(a;b)=1\), donc : \[ \mathrm{PPCM}(a;b)=a\times b=(2n+1)(2n+3). \]- Divisibilité / preuves (Ex. 1–2) : 6 pts
- Non-primalité & factorisation (Ex. 3) : 3 pts
- PGCD/PPCM combinés (Ex. 4–6) : 7 pts
- Alignements & unités (Ex. 7) : 2 pts
- Premier entre eux (Ex. 8) : 2 pts