Exercices corrigés — Arithmétique : Divisibilité, Nombres Premiers, Pgcd / Ppcm (3e)

(a) On applique l’algorithme d’Euclide :

\[ 210=126\times1+84,\qquad 126=84\times1+42,\qquad 84=42\times2+0. \]

Le dernier reste non nul est \(42\), donc \(\operatorname{PGCD}(126;210)=42\).

(b)

\[ \frac{126}{210}=\frac{126\div42}{210\div42}=\frac{3}{5}. \]

(c) Le plus grand nombre de lots identiques est \(42\).

(d) Chaque lot contient \(126\div42=3\) stylos et \(210\div42=5\) cahiers.

Réponses : PGCD \(=42\), fraction irréductible \(\frac35\), \(42\) lots de \(3\) stylos et \(5\) cahiers.

(a) Si l’on prépare \(n\) sachets identiques sans reste, alors \(n\) doit diviser \(84\) et \(147\). C’est donc un diviseur commun.

(b) Algorithme d’Euclide :

\[ 147=84\times1+63,\qquad 84=63\times1+21,\qquad 63=21\times3+0. \]

Donc \(\operatorname{PGCD}(84;147)=21\). On peut faire au maximum \(21\) sachets.

(c) Chaque sachet contient :

\[ 84\div21=4\quad\text{sucettes},\qquad 147\div21=7\quad\text{bonbons}. \]

(d) Vérification : \(21\times4=84\) et \(21\times7=147\). Tout est utilisé.

Réponse : \(21\) sachets contenant chacun \(4\) sucettes et \(7\) bonbons.

(a)

\[ 1260=924\times1+336,\quad 924=336\times2+252,\quad 336=252\times1+84,\quad 252=84\times3+0. \]

Donc \(\operatorname{PGCD}(924;1260)=84\).

(b)

\[ \frac{924}{1260}=\frac{924\div84}{1260\div84}=\frac{11}{15}. \]

(c) \(11\) est premier et ne divise pas \(15\). Donc \(\operatorname{PGCD}(11;15)=1\), la fraction est irréductible.

(d) \(\frac{11}{15}=0{,}7333\ldots\), donc au millième : \(0{,}733\).

Réponses : PGCD \(=84\), fraction \(\frac{11}{15}\), valeur approchée \(0{,}733\).

(a) Pour ne pas découper les dalles, leur côté doit entrer un nombre entier de fois dans la longueur et dans la largeur. Il doit donc diviser \(525\) et \(315\).

(b)

\[ 525=315\times1+210,\quad 315=210\times1+105,\quad 210=105\times2+0. \]

Donc \(\operatorname{PGCD}(525;315)=105\). Le côté maximal est \(105\) cm.

(c)

\[ 525\div105=5,\qquad 315\div105=3. \]

Il faut \(5\) dalles dans la longueur et \(3\) dans la largeur.

(d) Nombre total : \(5\times3=15\).

Réponse : \(15\) dalles carrées de côté \(105\) cm.

(a)

\[ 120=96\times1+24,\qquad 96=24\times4+0. \]

Donc \(\operatorname{PGCD}(96;120)=24\). Le nombre maximal de bouquets est \(24\).

(b) Chaque bouquet contient :

\[ 96\div24=4\quad\text{roses rouges},\qquad 120\div24=5\quad\text{roses blanches}. \]

(c) Recette : \(24\times9{,}50=228\). La recette totale est \(228\) €.

(d) Pour \(12\) bouquets : \(96\div12=8\) roses rouges et \(120\div12=10\) roses blanches.

Réponses : \(24\) bouquets de \(4\) rouges et \(5\) blanches ; recette \(228\) €.

(a) \(97\) n’est divisible ni par \(2\), ni par \(3\), ni par \(5\), ni par \(7\). Comme \(\sqrt{97}\approx9{,}8\), il n’y a pas d’autre diviseur premier à tester. Donc \(97\) est premier.

(b)

\[ 121=11^2,\qquad 143=11\times13,\qquad 169=13^2. \]

(c) Parmi les quatre nombres, seul \(97\) est premier.

(d) Si un nombre \(n\) possède deux diviseurs \(a\) et \(b\) avec \(n=a\times b\), alors au moins l’un des deux est inférieur ou égal à \(\sqrt n\). Sinon, leur produit serait strictement supérieur à \(n\).

Réponse : \(97\) est premier ; les autres sont composés.

(a)

\[ A=8\times9\times5=360,\qquad B=4\times3\times25\times7=2100. \]

(b)

\[ \operatorname{PGCD}(A;B)=2^2\times3\times5=60. \]

(c)

\[ \operatorname{PPCM}(A;B)=2^3\times3^2\times5^2\times7=12600. \]

(d)

\[ A\times B=360\times2100=756000, \]

et

\[ 60\times12600=756000. \]

La relation est vérifiée.

Réponses : \(A=360\), \(B=2100\), PGCD \(=60\), PPCM \(=12600\).

(a) On cherche le premier moment où les deux cycles se retrouvent ensemble : c’est un PPCM.

(b) Décompositions :

\[ 18=2\times3^2, \qquad 24=2^3\times3. \]

Donc :

\[ \operatorname{PPCM}(18;24)=2^3\times3^2=72. \]

Les deux bus repasseront ensemble au bout de \(72\) minutes.

(c) \(8\) h \(+72\) min \(=9\) h \(12\).

(d) Les passages communs ont lieu toutes les \(72\) min : \(0\), \(72\), \(144\), \(216\) minutes après \(8\) h. Il y en a donc \(4\), en comptant \(8\) h et le passage à \(11\) h \(36\).

Réponses : prochain passage commun à \(9\) h \(12\), et \(4\) passages communs entre \(8\) h et \(12\) h inclus.

(a)

\[ 221=13\times17, \qquad 391=17\times23, \]

donc :

\[ A=\frac{221}{391}=\frac{13}{23}. \]

(b)

\[ 187=11\times17, \qquad 323=17\times19, \]

donc :

\[ B=\frac{187}{323}=\frac{11}{19}. \]

(c) On compare \(\frac{13}{23}\) et \(\frac{11}{19}\) :

\[ 13\times19=247, \qquad 11\times23=253. \]

Comme \(247<253\), alors \(A

(d)

\[ A-B=\frac{13}{23}-\frac{11}{19}=\frac{247-253}{437}=-\frac{6}{437}. \]

La fraction est irréductible car \(437=19\times23\) et \(6\) n’est divisible ni par \(19\) ni par \(23\).

Réponses : \(A=\frac{13}{23}\), \(B=\frac{11}{19}\), \(A

(a)

\[ 1{,}44\text{ m}=144\text{ cm},\qquad 2{,}16\text{ m}=216\text{ cm}. \]

(b)

\[ 216=144\times1+72, \qquad 144=72\times2+0. \]

Donc le plus grand côté possible est \(72\) cm.

(c)

\[ 144\div72=2, \qquad 216\div72=3. \]

On obtient \(2\times3=6\) carrés.

(d) Aire du panneau :

\[ 144\times216=31104\text{ cm}^2. \]

Aire d’un carré :

\[ 72^2=5184\text{ cm}^2. \]

Or \(31104\div5184=6\). La vérification confirme le résultat.

Réponse : \(6\) carrés de côté \(72\) cm.

(a) Comme \(n\) doit être divisible par \(6\) et par \(8\), il doit être un multiple commun de \(6\) et \(8\), donc un multiple de leur PPCM.

(b)

\[ 6=2\times3, \qquad 8=2^3, \qquad \operatorname{PPCM}(6;8)=2^3\times3=24. \]

(c) Les multiples de \(24\) entre \(200\) et \(260\) sont :

\[ 216, \quad 240. \]

(d) \(240\) est divisible par \(5\), mais \(216\) ne l’est pas. Donc le seul nombre possible est \(216\).

Réponse : \(n=216\).

(a) D’abord :

\[ 252=168\times1+84, \qquad 168=84\times2+0. \]

Donc \(\operatorname{PGCD}(168;252)=84\). Puis :

\[ 294=84\times3+42, \qquad 84=42\times2+0. \]

Donc \(\operatorname{PGCD}(168;252;294)=42\).

(b) Le nombre maximal d’équipements est \(42\).

(c) Chaque équipement contient :

\[ 168\div42=4\text{ maillots},\quad 252\div42=6\text{ shorts},\quad 294\div42=7\text{ paires de chaussettes}. \]

(d) Vérification : \(42\times4=168\), \(42\times6=252\), \(42\times7=294\).

Réponse : \(42\) équipements de \(4\) maillots, \(6\) shorts et \(7\) paires de chaussettes.

(a) \(\operatorname{PGCD}(378;630)=126\), donc :

\[ \frac{378}{630}=\frac{3}{5}. \]

(b) \(154=2\times7\times11\) et \(231=3\times7\times11\), donc \(\operatorname{PGCD}(154;231)=77\). Ainsi :

\[ \frac{154}{231}=\frac{2}{3}. \]

(c)

\[ A=\frac35+\frac23=\frac9{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}. \]

La fraction est irréductible car \(19\) est un nombre premier et ne divise pas \(15\). Donc \(\operatorname{PGCD}(19;15)=1\).

(d) \(\frac{19}{15}\approx1{,}266\ldots\), donc \(A\approx1{,}27\).

Réponse : \(A=\frac{19}{15}\approx1{,}27\).

(a) Dire que \(N\) laisse un reste \(7\) dans les divisions par \(12\), \(15\) et \(20\) signifie que \(N-7\) est divisible par \(12\), \(15\) et \(20\).

(b)

\[ 12=2^2\times3, \quad 15=3\times5, \quad 20=2^2\times5. \]

Donc :

\[ \operatorname{PPCM}(12;15;20)=2^2\times3\times5=60. \]

(c) On cherche \(N-7\) multiple de \(60\), avec \(500

\[ N=540+7=547. \]

(d)

\[ 547=12\times45+7, \quad 547=15\times36+7, \quad 547=20\times27+7. \]

Réponse : \(N=547\).

(a)

\[ 252=180\times1+72, \quad 180=72\times2+36, \quad 72=36\times2+0. \]

Donc \(\operatorname{PGCD}(180;252)=36\). Le plus grand nombre de boîtes est \(36\).

(b) Chaque boîte contient :

\[ 180\div36=5\quad\text{crayons bleus}, \qquad 252\div36=7\quad\text{crayons rouges}. \]

(c) \(180\div30=6\), mais \(252\div30=8{,}4\), qui n’est pas entier. Donc on ne peut pas faire \(30\) boîtes sans reste.

(d) \(180\div36=5\) et \(252\div36=7\), donc on peut faire exactement \(36\) boîtes.

Réponses : maximum \(36\) boîtes ; \(30\) impossible ; \(36\) possible.

(a)

\[ 1134=756\times1+378, \qquad 756=378\times2+0. \]

Donc \(\operatorname{PGCD}(756;1134)=378\).

(b)

\[ 756=2^2\times3^3\times7, \qquad 1134=2\times3^4\times7. \]

(c) On prend les facteurs communs avec les plus petits exposants :

\[ \operatorname{PGCD}(756;1134)=2\times3^3\times7=2\times27\times7=378. \]

(d) Ici, l’algorithme d’Euclide est plus rapide car il donne le résultat en seulement deux divisions.

Réponse : \(\operatorname{PGCD}(756;1134)=378\).

(a)

\[ 14=2\times7, \quad 21=3\times7, \quad 30=2\times3\times5. \]

Donc :

\[ \operatorname{PPCM}(14;21;30)=2\times3\times5\times7=210. \]

Elles se rallument ensemble toutes les \(210\) secondes.

(b) \(210\) secondes \(=3\) minutes \(30\) secondes. Prochain allumage : \(10\) h \(03\) min \(30\) s.

(c) Pendant \(600\) secondes, les instants communs sont \(0\), \(210\), \(420\). Il y en a \(3\).

(d) Pendant \(3600\) secondes, les multiples de \(210\) allant de \(0\) à \(3600\) sont \(0,210,420,\ldots,3570\). Comme \(3570=210\times17\), il y a \(18\) allumages communs en comptant le départ.

Réponses : toutes les \(210\) s ; prochain à \(10\) h \(03\) min \(30\) s ; \(3\) pendant \(10\) min ; \(18\) pendant \(1\) h.

(a) Pour deux entiers positifs :

\[ a\times b=\operatorname{PGCD}(a;b)\times\operatorname{PPCM}(a;b). \]

(b) On remplace :

\[ 84\times b=28\times420. \]

Donc :

\[ b=\frac{28\times420}{84}=\frac{420}{3}=140. \]

(c) Vérification :

\[ 84=2^2\times3\times7, \qquad 140=2^2\times5\times7. \]

Donc \(\operatorname{PGCD}(84;140)=2^2\times7=28\) et \(\operatorname{PPCM}(84;140)=2^2\times3\times5\times7=420\).

(d)

\[ \frac{a}{b}=\frac{84}{140}=\frac{3}{5}. \]

Réponses : \(b=140\), et \(\frac{a}{b}=\frac35\).

(a) On calcule le PGCD des trois nombres. D’abord :

\[ 360=240 imes1+120, \qquad 240=120 imes2+0. \]

Donc \(\operatorname{PGCD}(240;360)=120\). Puis :

\[ 420=120 imes3+60, \qquad 120=60 imes2+0. \]

Donc \(\operatorname{PGCD}(240;360;420)=60\). Le nombre maximal de colis identiques est donc \(60\).

(b) Chaque colis contient :

\[ 240\div60=4 ext{ boîtes de riz}, \quad 360\div60=6 ext{ boîtes de pâtes}, \quad 420\div60=7 ext{ conserves}. \]

(c) Il y a \(60\) colis pour \(52\) familles. Toutes les familles peuvent recevoir un colis et il restera :

\[ 60-52=8 ext{ colis}. \]

(d) Pour préparer \(72\) colis avec la même composition, il faut au total :

\[ 72 imes4=288 ext{ boîtes de riz}, \quad 72 imes6=432 ext{ boîtes de pâtes}, \quad 72 imes7=504 ext{ conserves}. \]

On compare avec les quantités disponibles :

\[ 288-240=48, \quad 432-360=72, \quad 504-420=84. \]

Réponses : \(60\) colis au maximum ; chaque colis contient \(4\) boîtes de riz, \(6\) boîtes de pâtes et \(7\) conserves ; il reste \(8\) colis pour \(52\) familles ; pour \(72\) colis, il faut ajouter \(48\) boîtes de riz, \(72\) boîtes de pâtes et \(84\) conserves.

(a) On applique l’algorithme d’Euclide :

\[ 540=378 imes1+162, \quad 378=162 imes2+54, \quad 162=54 imes3+0. \]

Donc :

\[ \operatorname{PGCD}(378;540)=54. \]

(b) On utilise la relation fondamentale :

\[ 378 imes540=\operatorname{PGCD}(378;540) imes\operatorname{PPCM}(378;540). \]

Donc :

\[ \operatorname{PPCM}(378;540)=rac{378 imes540}{54}=3780. \]

(c) Les deux signaux se déclencheront de nouveau ensemble après \(3780\) secondes.

On convertit :

\[ 3780\div60=63. \]

Donc \(3780\) secondes correspondent à \(63\) minutes, c’est-à-dire \(1\) heure et \(3\) minutes.

(d) En partant de \(8 ext{ h }00\), on ajoute \(1\) heure et \(3\) minutes :

\[ 8 ext{ h }00+1 ext{ h }03=9 ext{ h }03. \]

Réponses : \(\operatorname{PGCD}(378;540)=54\), \(\operatorname{PPCM}(378;540)=3780\). Les deux signaux se retrouveront ensemble après \(3780\) secondes, soit \(1\) h \(03\), donc à \(9 ext{ h }03\).