Cours — Algorithmique / Scratch (3e)
Cette page propose un cours de mathématiques en 3ème sur Algorithmique / Scratch. Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler variables, conditions, boucles, raisonnement algorithmique.
Cours — Algorithmique & Scratch
Variables • conditions • boucles • tableaux de traces • programmes de calcul • géométrie Scratch • aléatoire • débogage.
Objectifs Brevet
Vocabulaire
Variables
Tableaux de traces
Conditions
Boucles
Scratch & géométrie
Programmes de calcul
Aléatoire
Débogage
À connaître (réflexes)
- Un algorithme se lit ligne par ligne.
- Une variable peut changer : il faut suivre sa valeur.
- Une boucle répète un bloc d’instructions.
- Une condition est soit vraie, soit fausse.
- Un tableau de traces évite presque toutes les erreurs.
Pièges fréquents
- Confondre mettre à et ajouter à.
- Oublier d’initialiser \(c\), \(S\), \(n\), ou \(score\).
- Utiliser \(>\) au lieu de \(\ge\).
- Oublier la mise à jour dans une boucle “tant que”.
- Se tromper d’angle dans les figures Scratch.
0) Objectifs Brevet : ce qu’il faut savoir faire
| Compétence | Ce qu’on te demande souvent |
|---|---|
| Lire un programme | Prévoir le résultat affiché après plusieurs instructions. |
| Compléter un script | Retrouver un nombre de répétitions, une longueur, un angle ou une expression. |
| Tracer une figure Scratch | Comprendre les rotations \(90^\circ\), \(120^\circ\), \(72^\circ\), \(60^\circ\). |
| Déboguer | Repérer une erreur dans une variable, une condition ou une boucle. |
Méthode générale
- Repérer les variables.
- Identifier les valeurs initiales.
- Suivre les instructions dans l’ordre exact.
- Faire un tableau de traces s’il y a une boucle.
- Lire la dernière valeur affichée.
1) Vocabulaire essentiel
Algorithme
Suite finie d’instructions permettant de résoudre un problème.
\[
\text{Entrées} \longrightarrow \text{Traitement} \longrightarrow \text{Sorties}
\]
Programme Scratch
Traduction visuelle d’un algorithme avec des blocs : événements, mouvements, variables, conditions, boucles.
Variable
Une variable est une boîte qui stocke une valeur. Cette valeur peut être remplacée ou modifiée.
\[
x \leftarrow 7
\qquad \text{signifie : on met }7\text{ dans }x.
\]
Instruction
Action précise : avancer, tourner, mettre une variable à une valeur, afficher, tester.
2) Structure typique d’un algorithme
| Étape | Rôle | Exemple |
|---|---|---|
| 1 | Lire les données | \(\text{demander }x\) |
| 2 | Initialiser | \(c\leftarrow0,\quad S\leftarrow0\) |
| 3 | Répéter | \(\text{répéter }N\text{ fois}\) |
| 4 | Tester | \(\text{si }x\ge10\text{ alors}\) |
| 5 | Mettre à jour | \(c\leftarrow c+1\) |
| 6 | Afficher | \(\text{afficher }c\) |
Phrase clé
Je suis le programme ligne par ligne et je mets à jour les variables dans l’ordre exact.
3) Variables : affectation, compteur, accumulateur
Affectation : “mettre à”
\[
x\leftarrow5
\qquad\text{puis}\qquad
x\leftarrow12
\]
À la fin, \(x=12\). L’ancienne valeur 5 est remplacée.
Incrément : “ajouter à”
\[
x\leftarrow x+1
\]
Cela augmente \(x\) de 1. Ce n’est pas la même chose que \(x\leftarrow1\).
Compteur
\[
c\leftarrow0
\qquad\text{puis}\qquad
c\leftarrow c+1
\]
Il sert à compter des occurrences : réponses justes, valeurs positives, réussites.
Accumulateur
\[
S\leftarrow0
\qquad\text{puis}\qquad
S\leftarrow S+x
\]
Il sert à calculer une somme, un score total ou une moyenne.
Piège Scratch
Mettre \(S\) à \(x\) remplace \(S\). Pour additionner, il faut écrire :
\[
S\leftarrow S+x
\]
4) Tableau de traces : méthode la plus sûre
Un tableau de traces suit les valeurs des variables à chaque étape. Il est indispensable quand il y a une boucle.
Programme
\[
\begin{array}{l}
a \leftarrow 4\\
b \leftarrow 2\\
\text{Répéter 3 fois :}\\
\quad a \leftarrow a+b\\
\quad b \leftarrow b+1
\end{array}
\]
Tableau
| Tour | \(a\) | \(b\) |
|---|---|---|
| 0 | 4 | 2 |
| 1 | 6 | 3 |
| 2 | 9 | 4 |
| 3 | 13 | 5 |
✅ Pourquoi \(a=13\) à la fin ?
- Départ : \(a=4\), \(b=2\).
- Tour 1 : \(a=4+2=6\), puis \(b=3\).
- Tour 2 : \(a=6+3=9\), puis \(b=4\).
- Tour 3 : \(a=9+4=13\), puis \(b=5\).
Règle
L’ordre des instructions compte : si on modifie \(b\) avant \(a\), le résultat peut changer.
5) Conditions : si / sinon, ET, OU
Comparaisons
- \(=\) : égal à
- \(\ne\) : différent de
- \(<\), \(\le\), \(>\), \(\ge\)
- ET : les deux conditions sont vraies.
- OU : au moins une condition est vraie.
Si / Sinon
\[
\begin{array}{l}
\text{Si }x\ge10\text{ alors}\\
\quad \text{afficher “Gagné”}\\
\text{Sinon}\\
\quad \text{afficher “Perdu”}
\end{array}
\]
Condition composée
\[
(0\le x\le10)\quad\text{OU}\quad(x=12)
\]
| Valeur de \(x\) | Condition vraie ? |
|---|---|
| 12 | Oui, car \(x=12\). |
| 7 | Oui, car \(0\le7\le10\). |
| -2 | Non. |
Erreur fréquente : \(x>12\) ne contient pas \(x=12\). Pour inclure 12, il faut \(x\ge12\).
6) Boucles : répéter plusieurs fois
Répéter \(n\) fois
On connaît le nombre de répétitions.
\[
\begin{array}{l}
S\leftarrow0\\
\text{Répéter 5 fois :}\\
\quad S\leftarrow S+3
\end{array}
\]
À la fin : \(S=15\).
Tant que
La boucle continue tant qu’une condition reste vraie.
\[
\begin{array}{l}
x\leftarrow3\\
n\leftarrow0\\
\text{Tant que }x\le80\text{ faire :}\\
\quad x\leftarrow2x+5\\
\quad n\leftarrow n+1
\end{array}
\]
🧩 Exemple guidé — boucle “tant que”
| Tour | Test au début | \(x\) | \(n\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(3\le80\) vrai | 3 | 0 |
| 1 | \(11\le80\) vrai | 11 | 1 |
| 2 | \(27\le80\) vrai | 27 | 2 |
| 3 | \(59\le80\) vrai | 59 | 3 |
| 4 | \(123\le80\) faux | 123 | 4 |
La boucle s’arrête avec \(x=123\) et \(n=4\).
Dans une boucle “tant que”, il faut toujours une mise à jour qui permet d’arrêter la boucle.
7) Scratch et géométrie
Polygone régulier
Pour tracer un polygone régulier, on répète : avancer puis tourner.
\[
\text{angle extérieur}
=
\frac{360^\circ}{\text{nombre de côtés}}
\]
Angles utiles
| Figure | Rotation |
|---|---|
| Triangle équilatéral | \(120^\circ\) |
| Carré | \(90^\circ\) |
| Pentagone régulier | \(72^\circ\) |
| Hexagone régulier | \(60^\circ\) |
Exemple Brevet — bloc triangle
\[
\begin{array}{l}
\text{définir triangle}\\
\text{stylo en position d’écriture}\\
\text{Répéter 3 fois :}\\
\quad \text{avancer de côté pas}\\
\quad \text{tourner de }120^\circ\\
\text{relever le stylo}
\end{array}
\]
La rotation \(120^\circ\) vient de \(\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\).
Coordonnées Scratch
- La position d’un lutin est donnée par \((x;y)\).
- \(x\) augmente vers la droite et diminue vers la gauche.
- \(y\) augmente vers le haut et diminue vers le bas.
- Partir de \((-180;-150)\) signifie : à gauche et en bas de la scène.
8) Programmes de calcul et expressions littérales
Transformer en expression
Exemple : choisir \(x\), ajouter 2, puis multiplier par 4.
\[
x\longrightarrow x+2\longrightarrow 4(x+2)
\]
Résoudre un résultat nul
\[
4(x+2)(5x-3)=0
\]
\[
\iff x=-2\quad\text{ou}\quad x=\frac35
\]
✅ Exemple complet — développement
\[
4(x+2)(5x-3)
=
4(5x^2+7x-6)
=
20x^2+28x-24
\]
Un programme de calcul peut être étudié avec les outils d’algèbre : développement, factorisation, équation.
9) Simulations aléatoires
Nombre aléatoire
Le bloc Scratch “nombre aléatoire entre 1 et 6” permet de simuler un dé équilibré.
\[
r\in\{1;2;3;4;5;6\}
\]
Fréquence expérimentale
Une fréquence est :
\[
f=\frac{\text{nombre de réussites}}{\text{nombre total d’essais}}
\]
Schéma type
\[
\begin{array}{l}
N\leftarrow1000\\
c\leftarrow0\\
\text{Répéter }N\text{ fois :}\\
\quad r\leftarrow \text{nombre aléatoire entre }1\text{ et }6\\
\quad \text{Si }r=6\text{ alors }c\leftarrow c+1\\
f\leftarrow\dfrac{c}{N}\\
\text{Afficher }f
\end{array}
\]
Quand \(N\) est grand, la fréquence obtenue se rapproche souvent de la probabilité théorique.
10) Débogage : repérer et corriger une erreur
Erreurs classiques
- Oubli d’initialisation.
- Test incorrect : \(>\) au lieu de \(\ge\).
- Mise à jour oubliée dans une boucle.
- Confusion entre “mettre à” et “ajouter à”.
Méthode de correction
- Tester avec des valeurs simples.
- Faire un tableau de traces.
- Comparer résultat attendu / résultat obtenu.
- Modifier une seule instruction à la fois.
🧩 Exemple classique — compteur faux
On veut compter le nombre de valeurs positives parmi 5 valeurs saisies.
\[
\begin{array}{l}
c\leftarrow0\\
\text{Répéter 5 fois :}\\
\quad \text{Lire }x\\
\quad \text{Si }x>0\text{ alors }c\leftarrow1\\
\text{Afficher }c
\end{array}
\]
Bug : \(c\leftarrow1\) ne compte pas. Il faut écrire :
\[
c\leftarrow c+1
\]
Synthèse (1 minute)
Structures
- Séquence : instructions dans l’ordre.
- Condition : si / sinon.
- Boucle : répéter plusieurs fois.
- Trace : tableau des variables.
Scratch géométrie
- Triangle équilatéral : \(120^\circ\).
- Carré : \(90^\circ\).
- Pentagone : \(72^\circ\).
- Hexagone : \(60^\circ\).
Variables
- Compteur : \(c\leftarrow c+1\).
- Accumulateur : \(S\leftarrow S+x\).
- Affectation : \(x\leftarrow 5\).
Débogage
- Vérifier initialisation.
- Vérifier condition.
- Vérifier mise à jour.
- Tester avec un exemple simple.
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