1) Les ensembles usuels

• \(\mathbb{N}\) : entiers naturels \(0,1,2,\dots\)
• \(\mathbb{Z}\) : entiers relatifs (positifs, négatifs, 0)
• \(\mathbb{D}\) : décimaux (écriture finie) \(x=\dfrac{p}{10^n}\)
• \(\mathbb{Q}\) : rationnels \(\dfrac{a}{b}\) avec \(a,b\in\mathbb{Z}\), \(b\ne0\)
• \(\mathbb{R}\) : tous les réels (rationnels + irrationnels \(\sqrt2,\ \pi,\dots\))
• Inclusions : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).

2) Nombres décimaux

• Critère : une fraction irréductible \(\dfrac{a}{b}\) est décimale ⇔ le dénominateur \(b=2^\alpha 5^\beta\).
• Valeur de position : \(12{,}305=12+\tfrac{3}{10}+\tfrac{5}{1000}\).
• Opérations : addition/soustraction → aligner les virgules ; produit → additionner les chiffres après virgule ; quotient → rendre le diviseur entier.
• Notation scientifique : \(x=\alpha\times10^n\) avec \(1\le \alpha<10\), \(n\in\mathbb{Z}\).

3) Intervalles de \(\mathbb{R}\)

\(]a,b[=(a,b)\), \([a,b]\), \(]a,b]\), \([a,b[\), \(]-\infty,b]\), \([a,+\infty[\). Opérations : intersection \(I\cap J\) (commun) ; réunion \(I\cup J\) (rassemblé).

4) Valeur absolue & distance

• \(|x|=\begin{cases}x&(x\ge0)\\-x&(x<0)\end{cases}\), inégalité triangulaire \(|x+y|\le|x|+|y|\).
• Distance : \(d(x,y)=|x-y|\). \(|x-x_0|\le r \iff x\in[x_0-r,\,x_0+r]\).

5) Puissances & racines carrées

• Règles : \(a^ma^n=a^{m+n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \((ab)^n=a^nb^n\), \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\) (\(a\ne0\)).
• \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\), \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\) (si \(a,b\ge0,\ b>0\)).
• Forme \(k\sqrt m\) (extraire les carrés) ; rationalisation des dénominateurs.

6) Comparaisons & encadrements

• Si \(a^20\)) alors \(a<\sqrt{k}
• Comparer \(\sqrt m+\sqrt n\) et \(\sqrt p\) : possible par élévation au carré (en conservant les sens).
• Densité : entre deux réels distincts, il existe un rationnel et un irrationnel.