Nombres réels et calculs
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A — Très facile / Facile

  1. Classer dans \(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}\) : \(7,\ -3,\ 0{,}02,\ \frac{12}{5},\ \sqrt{9},\ \pi\).
  2. Décimal ? (fraction irréductible) : \(\frac{3}{40},\ \frac{7}{45},\ \frac{14}{125},\ \frac{5}{18}\).
  3. Notation scientifique : \(0{,}000084,\ 6{,}2\times10^{4},\ 12{,}5\times10^{-3}\).
  4. Calculs : \(2{,}5\times0{,}04\), \(6{,}3\div0{,}9\), \(0{,}125\times0{,}008\).
  5. Encadrer \(\sqrt{10}\) par deux entiers consécutifs, puis à \(10^{-2}\).

B — Moyen

  1. Traduire et tracer : \(x\in]2,7]\), \(x\in[-3,+\infty[\).
  2. Avec \(I=[-4,1{,}5]\), \(J=]0,5]\) : calculer \(I\cap J\), \(I\cup J\).
  3. Résoudre : \(|x-3|\le 1{,}2\) ; \(|2x+1|>5\).
  4. Simplifier : \(\sqrt{48},\ \sqrt{75},\ \sqrt{200}\) sous \(a\sqrt b\).
  5. Rationaliser : \(\dfrac{5}{\sqrt3}\), \(\dfrac{7}{2+\sqrt5}\).

C — Difficile

  1. Comparer \(\sqrt2+\sqrt7\) et \(\sqrt{11}\) (justifier).
  2. Montrer que \(\dfrac{1}{3}\) n’est pas décimal ; que \(\dfrac{25}{200}\) l’est.
  3. (Court) Montrer que \(\sqrt2\) est irrationnel (par l’absurde).
  4. Soit \(a=\sqrt3+\sqrt2\). Calculer \((a-\sqrt6)^2\) et conclure sur la rationalité de \(a\).
  5. Encadrer \(\sqrt{2025}\) à \(10^{-2}\) près sans calculatrice.

D — Très difficile

  1. Résoudre \(|x-1|+|x+2|\le5\) dans \(\mathbb{R}\).
  2. Si \(x\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{D}\), montrer que \(\dfrac{x}{2}\notin\mathbb{D}\).
  3. Poser \(x=\sqrt{2+\sqrt3}\). Montrer que \(x+\dfrac1x\) est rationnel.
  4. Donner un irrationnel explicite dans tout \([a,b]\) avec \(a
Corrections (aperçu)
A1) \(7\in\mathbb{N}\), \(-3\in\mathbb{Z}\), \(0{,}02\in\mathbb{D}\), \(12/5=2{,}4\in\mathbb{D}\), \(\sqrt9=3\in\mathbb{N}\), \(\pi\notin\mathbb{Q}\).
A2) décimale : \(3/40,\ 14/125\) ; non : \(7/45,\ 5/18\). A3) \(8{,}4\times10^{-5}\), \(6{,}2\times10^{4}\), \(1{,}25\times10^{-2}\). A4) \(0{,}10;\ 7;\ 0{,}001\). A5) \(3<\sqrt{10}<4\), \(\sqrt{10}\approx3{,}16\). B6) \(22\). B9) \(4\sqrt3,\ 5\sqrt3,\ 10\sqrt2\). B10) \(\frac{5\sqrt3}{3}\), \((7\sqrt5-14)\). C11) \((\sqrt2+\sqrt7)^2=9+2\sqrt{14}>11\Rightarrow \sqrt2+\sqrt7>\sqrt{11}\). C12) \(1/3\) : non ; \(25/200=1/8\) : oui. C13) Par l’absurde. C14) \(5-2\sqrt6\Rightarrow a\) irrationnel. C15) \(45\). D16) \([-2,4]\). D17) Diviser par 2 ne supprime pas un facteur ≠2,5 dans le dénominateur irréductible. D18) \(\sqrt{2-\sqrt3}=\dfrac1x\) ⇒ \(x+\frac1x=\sqrt6\). D19) \(a+\dfrac{\sqrt2}{10}(b-a)\) convient.
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