Fiche de révision — Nombres réels

À connaître

• Chaîne : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
• Décimal ⇔ fraction irréductible \(\frac{a}{b}\) avec \(b=2^\alpha 5^\beta\).
• Intervalles : \(]a,b[\), \([a,b]\), \(]a,b]\), \([a,b[\), \(]-\infty,b]\), \([a,+\infty[\).
• Valeur absolue / distance : \(|x|,\ d(x,y)=|x-y|\) ; \(|x-x_0|\le r \iff x\in[x_0-r,\,x_0+r]\).
• Puissances / racines : \(a^ma^n=a^{m+n}\), \(a^{-n}=\frac1{a^n}\), \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\).
• Notation scientifique : \(x=\alpha\times10^n\) (\(1\le\alpha<10\)).

Méthodes

• Tester “décimal” : simplifier \(\frac{a}{b}\), factoriser \(b\) (seuls facteurs 2 et/ou 5).
• Lire/écrire un intervalle : parenthèse = ouvert ; crochet = fermé.
• Simplifier \(\sqrt{\cdot}\) en extrayant les carrés ; rationaliser (conjugué si somme/soustraction).
• Comparer des racines : encadrer ou élever au carré en conservant les sens.

Pièges

• Confondre “décimal” et “rationnel”.
• Oublier qu’un intervalle ouvert n’inclut pas sa borne.
• \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\) en général.