Vecteurs et translation

1. Vecteur et translation

• Une translation qui envoie \(A\) sur \(B\) est notée \(\mathcal{T}_{\overrightarrow{AB}}\) et associée au vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
• Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur (norme).
• Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
• Le vecteur nul est noté \(\vec{0}\) (par exemple \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\)).

2. Représentation et parallélogramme

• Un vecteur peut être représenté par n’importe quel segment ayant la même direction, le même sens et la même longueur.
• Dans un parallélogramme \(ABCD\), on a \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
• Réciproquement, si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), alors \(ABCD\) est un parallélogramme.

Très utile pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ou pour trouver un point manquant.

3. Somme et opposé de vecteurs

• Règle du triangle : si \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{BC}\), alors \[ \vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AC}. \]
• Règle du parallélogramme : la somme \(\vec{u} + \vec{v}\) est représentée par la diagonale du parallélogramme construit sur \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
• L’opposé d’un vecteur \(\vec{u}\) est le vecteur \(-\vec{u}\) tel que \(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\).

4. Coordonnées d’un vecteur

Dans un repère orthonormé, si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\), alors :

\[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}. \]

• Vecteurs égaux \(\Leftrightarrow\) coordonnées égales composante par composante.
• Si \(\vec{u} = (a;b)\) et \(\vec{v} = (c;d)\), alors \(\vec{u} + \vec{v} = (a+c \,;\, b+d)\).
• Si \(\vec{u} = (a;b)\), alors \(-\vec{u} = (-a;-b)\).

Translation par \((a;b)\) : un point \(M(x;y)\) est envoyé sur \(M'(x+a;y+b)\).

5. Milieu et diagonales

• Milieu de \([AB]\) : \[ M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \,;\, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right) \] et \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\).
• Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu : si \(O\) est leur point d’intersection, alors \(O\) est milieu de \([AC]\) et de \([BD]\).