Vecteurs et translation

Exercices — Vecteurs et translation

Niveau 2nde avancé : égalité de vecteurs, translations, sommes, coordonnées et configurations géométriques (parallélogrammes, triangles…).

1. Dans un repère orthonormé, on considère les points \[ A(1;2), \quad B(4;5), \quad C(-2;1). \]
   1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
   2. On note \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\). On souhaite construire l’image du point \(C\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\). Déterminer les coordonnées du point \(C'\) tel que \(\overrightarrow{CC'} = \vec{u}\).
   3. Vérifier que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CC'}\) en comparant leurs coordonnées.
2. Soit le quadrilatère \(ABCD\) dans le plan. On sait que \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}. \]
   1. Expliquer pourquoi les côtés \(AB\) et \(DC\) sont parallèles et de même longueur.
   2. Que peut-on dire de la nature du quadrilatère \(ABCD\) ? Justifier.
   3. On suppose maintenant que \(ABCD\) est un parallélogramme et que \(A(0;1)\), \(B(3;4)\) et \(D(-1;3)\). Calculer les coordonnées de \(C\).
3. Dans un repère, on considère les points \[ A(0;0), \quad B(2;1), \quad C(5;3), \quad D(4;0). \]
   1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
   2. Vérifier que \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}. \]
   3. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AD}\).
   4. Déterminer un point \(E\) tel que \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). (On donnera les coordonnées de \(E\).)
4. On considère le vecteur \[ \vec{u} = \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]
   1. Donner les coordonnées de l’opposé \(-\vec{u}\).
   2. Dans un repère, on place \(R(1;4)\). On note \(S\) l’image de \(R\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\) et \(T\) l’image de \(R\) par la translation de vecteur \(-\vec{u}\). Calculer les coordonnées de \(S\) et de \(T\).
   3. Quelle est la relation entre les vecteurs \(\overrightarrow{ST}\) et \(\vec{u}\) ? Vérifier avec les coordonnées.
5. On considère les points \[ A(-2;1), \quad B(4;5). \]
   1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{OA}\) et de \(\overrightarrow{OB}\), où \(O\) est l’origine du repère.
   2. On définit le point \(G\) par \[ \overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{2}\big(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\big). \] Montrer que \(G\) est le milieu de \([AB]\).
   3. Vérifier que les coordonnées de \(G\) coïncident avec la formule du milieu vue dans le chapitre « Repérage dans le plan ».
6. On considère les vecteurs \[ \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}. \]
   1. Calculer les coordonnées de \(\vec{u} + \vec{v}\).
   2. On place un point \(M(2;0)\). On note \(M_1\) l’image de \(M\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\), puis \(M_2\) l’image de \(M_1\) par la translation de vecteur \(\vec{v}\). Calculer les coordonnées de \(M_1\) et de \(M_2\).
   3. Vérifier que \(M_2\) est également l’image de \(M\) par la translation de vecteur \(\vec{u} + \vec{v}\).
7. Dans un repère, on considère le quadrilatère \(ABCD\) de sommets \[ A(1;1), \quad B(5;2), \quad C(7;6), \quad D(3;5). \]
   1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\), puis \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
   2. En déduire la nature du quadrilatère \(ABCD\).
   3. Calculer les coordonnées du milieu de \([AC]\) et de \([BD]\). Que constates-tu ?
8. Dans un plan muni d’un repère, un randonneur part du point \(S(1;2)\). Il effectue successivement les déplacements suivants :
   • un déplacement de vecteur \(\vec{u} = (3;1)\) ;
   • puis un déplacement de vecteur \(\vec{v} = (-2;4)\) ;
   • enfin un déplacement de vecteur \(\vec{w} = (-1;-3)\).
   1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\).
   2. Déterminer les coordonnées du point d’arrivée final \(S'\).
   3. Quelle est la translation unique qui envoie \(S\) sur \(S'\) ? Donner le vecteur correspondant.