Cours — Vecteurs et translation
1. Translation et vecteur
Une translation qui envoie un point \(A\) sur un point \(B\) est notée \(\mathcal{T}_{\overrightarrow{AB}}\). Elle est entièrement déterminée par le segment \([AB]\) :
- la direction de la translation : celle de la droite \((AB)\) ;
- le sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- la longueur (ou norme) : la distance \(AB\).
On associe à cette translation le vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Un vecteur se note généralement \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\), etc.
Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux s’ils ont :
- la même direction ;
- le même sens ;
- la même longueur.
Le vecteur nul \(\vec{0}\) est le vecteur de norme nulle : on a par exemple \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
2. Représentations d’un vecteur
Un vecteur ne dépend pas de la position du segment qui le représente, mais de sa direction, de son sens et de sa norme. Ainsi, si \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, \] les segments \([AB]\) et \([CD]\) sont des représentants du même vecteur.
Une propriété importante : dans un quadrilatère \(ABCD\),
- si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), alors \(ABCD\) est un parallélogramme ;
- réciproquement, si \(ABCD\) est un parallélogramme, alors \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
3. Translation d’un point par un vecteur
Soit \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) un vecteur fixé. Pour tout point \(M\), on peut définir son image \(M'\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\) : \[ \overrightarrow{MM'} = \vec{u}. \]
Géométriquement, pour construire \(M'\) :
- on trace par \(M\) une droite parallèle à la droite \((AB)\) ;
- on place sur cette droite un point \(M'\) tel que \([MM']\) ait même longueur et même sens que \([AB]\).
4. Somme et opposé de vecteurs
La somme de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le vecteur \(\vec{u} + \vec{v}\) défini par la règle du parallélogramme ou du triangle.
- Règle du triangle : si \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{BC}\), alors \[ \vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AC}. \]
- Règle du parallélogramme : si l’on construit le parallélogramme ayant \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) comme côtés adjacents, alors la diagonale correspond à \(\vec{u} + \vec{v}\).
L’opposé d’un vecteur \(\vec{u}\) est le vecteur \(-\vec{u}\) tel que \[ \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}. \] Géométriquement, \(-\vec{u}\) a même direction et même longueur que \(\vec{u}\), mais un sens opposé.
5. Coordonnées d’un vecteur dans un repère
Dans un repère orthonormé, si \[ A(x_A;y_A) \quad \text{et} \quad B(x_B;y_B), \] alors le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées : \[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}. \]
- Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales composante par composante.
- Si \(\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\), l’opposé est \(-\vec{u} = \begin{pmatrix} -a \\ -b \end{pmatrix}\).
- Si \(\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}\), alors \[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} a + c \\ b + d \end{pmatrix}. \]
Si un point \(M(x;y)\) est translaté par le vecteur \(\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\), alors son image \(M'(x';y')\) vérifie : \[ x' = x + a, \qquad y' = y + b. \]
6. Application : milieu et parallélogramme
Si \(M\) est le milieu du segment \([AB]\), on a \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}. \] En coordonnées, \[ M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \,;\, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right), \] comme dans le chapitre « Repérage dans le plan ».
Dans un parallélogramme \(ABCD\), les diagonales se coupent en leur milieu : si \(O\) est le point d’intersection de \([AC]\) et \([BD]\), alors \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}\) et \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}\).
7. À retenir
- Un vecteur représente une translation (direction, sens, longueur).
- Vecteurs égaux : même direction, même sens, même longueur.
- Somme de vecteurs : règle du triangle ou du parallélogramme.
- Coordonnées : \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A \,;\, y_B - y_A)\).
- Translation par \((a;b)\) : \(M(x;y) \mapsto M'(x+a; y+b)\).
- Parallélogramme : égalités de vecteurs et milieux des diagonales.