Variations Fonctions
2NDE • MATHS — Learna
📘 Cours 🧠 Fiche ✏️ Exercices ⚡ Quiz
Track your progress
Log in to save progress and quiz attempts.
Login Register
Fiche ultra-synthèse — Variations de fonctions (2nde)
Croissante / décroissante • maximum / minimum • tableaux de variation • lecture de courbe. Objectif : comparer, encadrer, conclure vite (zéro confusion).
Essentiel Méthodes Tableaux Pièges Mini-tests Checklist
Essentiel (à connaître par cœur)
1 Croissante / décroissante
Sur un intervalle \(I\)Définition
Croissante Si \(x_1<x_2\) alors \(f(x_1)\le f(x_2)\).
Décroissante Si \(x_1<x_2\) alors \(f(x_1)\ge f(x_2)\).
Strictement On remplace \(\le\) par \(<\) (ou \(\ge\) par \(>\)).
Conséquence immédiate :
si \(f\) est croissante sur \(I\) et \(a<b\), alors \(\boxed{f(a)\le f(b)}\).
si \(f\) est décroissante sur \(I\) et \(a<b\), alors \(\boxed{f(a)\ge f(b)}\).
2 Maximum / minimum (extrémums)
Sur un ensemble \(I\) :
  • \(\max_I f = M\) si \(f(x)\le M\) pour tout \(x\in I\) et il existe \(x_0\in I\) tel que \(f(x_0)=M\).
  • \(\min_I f = m\) si \(f(x)\ge m\) pour tout \(x\in I\) et il existe \(x_1\in I\) tel que \(f(x_1)=m\).
Piège : sur \(]a;b[\), la fonction peut être bornée mais ne pas atteindre ses bornes ⇒ pas de “maximum/minimum”.
3 Lire sur un graphique
On lit de gauche à droite :
  • courbe qui monte ⇒ \(f\) croissante
  • courbe qui descend ⇒ \(f\) décroissante
  • changement de sens ⇒ sommet/creux ⇒ extrémum possible
Pour un max/min sur \([a;b]\) : comparer aussi les valeurs aux bornes \(a\) et \(b\).
4 Résoudre graphiquement \(f(x)\ge k\)
  1. Tracer la droite horizontale \(y=k\).
  2. Repérer les intersections : solutions de \(f(x)=k\).
  3. Garder les \(x\) où la courbe est au-dessus (pour \(\ge\)).
Si c’est \(\le\), on garde les zones en dessous. Si c’est \(>\) ou \(<\), attention : on exclut les points d’intersection.
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) sans calcul
  1. Je vérifie que \(a\) et \(b\) sont dans un intervalle où le sens de variation est connu.
  2. Je compare \(a\) et \(b\) (qui est le plus grand ?).
  3. Je conclus : croissante ⇒ même sens ; décroissante ⇒ sens inverse.
Exemple : \(f\) décroissante sur \([ -2 ; 6]\).
\(-1<4 \Rightarrow \boxed{f(-1)\ge f(4)}\).
B Trouver max/min sur \([a;b]\)
  • Je repère les points où \(f\) change de sens (sommet/creux) et je prends les bornes.
  • Je liste les valeurs \(f(a)\), \(f(b)\), et celles des points critiques visibles.
  • La plus grande valeur atteinte = maximum ; la plus petite = minimum.
Sur un intervalle ouvert, une valeur “limite” n’est pas forcément atteinte ⇒ pas forcément un maximum.
C Encadrer \(f(x)\) sur un intervalle
Si on connaît le min et le max de \(f\) sur \([a;b]\), alors : \[ \boxed{\min \le f(x)\le \max \quad \text{pour tout }x\in[a;b]}. \]
Exemple : sur \([ -3 ; 2]\), min = \(-1\), max = \(5\) ⇒ \(\boxed{-1\le f(x)\le 5}\).
D Résoudre \(f(x)\ge k\) avec un tableau
  • Si \(f\) est monotone sur l’intervalle, il y a au plus une solution à \(f(x)=k\).
  • On repère où \(k\) se place entre les valeurs du tableau, puis on déduit l’ensemble des solutions.
Si \(f\) décroît de 7 à 1 sur \([0;4]\) :
\(f(x)\ge 5\) ⇔ \(x\in[0; \alpha]\) (où \(f(\alpha)=5\)).
Tableaux de variation (lecture + modèle)
1 Comment lire
  • Ligne \(x\) : points importants (bornes, sommet, creux).
  • Ligne \(f(x)\) : valeurs correspondantes.
  • Flèche \(↗\) : croissante ; flèche \(↘\) : décroissante.
  • Valeur au “sommet/creux” : extrémum local (souvent max/min sur l’intervalle).
2 Exemple type
\(f\) est définie sur \([ -4 ; 3]\), croît puis décroît :
\(x\) -4 ↗ -1 ↘ 3
\(f(x)\) 1 4 0
Sur \([ -4 ; 3]\) : maximum \(=4\) (en \(x=-1\)), minimum \(=0\) (en \(x=3\)).
Modèle “à recopier” en copie
Sur \([a;b]\), d’après le tableau :
- \(f\) est (croissante/décroissante) sur [ ... ; ... ]
- Maximum sur \([a;b]\) : ... atteint en \(x=...\)
- Minimum sur \([a;b]\) : ... atteint en \(x=...\)
- Donc pour tout \(x\in[a;b]\) : \(\min \le f(x)\le \max\).
Pièges classiques (à éviter)
1 “La courbe monte”
On lit toujours quand \(x\) augmente (de gauche à droite).
Pas de conclusion “à l’œil” si on regarde à l’envers.
2 Maximum non atteint
Sur \(]a;b[\) (bornes exclues), même si \(f(x)\) se rapproche d’une valeur, ce n’est pas forcément un maximum.
3 Confondre “croissante” et “positive”
Croissante ≠ \(f(x)\ge 0\).
Une fonction peut être croissante et rester négative.
Réflexe : si on te demande “comparer \(f(2)\) et \(f(5)\)”, tu n’as pas besoin de calculer : tu utilises le sens de variation.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Comparaison
\(f\) est croissante sur \([ -2 ; 6]\). Comparer \(f(1)\) et \(f(4)\).
Corrigé : \(1<4\) ⇒ \(\boxed{f(1)\le f(4)}\).
Q2 Décroissance
\(f\) est décroissante sur \([0;10]\). Comparer \(f(2)\) et \(f(9)\).
Corrigé : \(2<9\) ⇒ \(\boxed{f(2)\ge f(9)}\).
Q3 Encadrement
Sur \([ -1 ; 3]\), max = 5 et min = -2. Encadrer \(f(x)\).
Corrigé : \(\boxed{-2\le f(x)\le 5}\) pour tout \(x\in[-1;3]\).
Q4 Lecture tableau
Sur \([a;b]\), \(f\) est croissante. Où est le maximum ?
Corrigé : maximum en \(\boxed{x=b}\) (valeur \(f(b)\)).
Q5 Lecture tableau
Sur \([a;b]\), \(f\) est décroissante. Où est le minimum ?
Corrigé : minimum en \(\boxed{x=b}\) (valeur \(f(b)\)).
Q6 Inéquation graphique
Que représente l’intersection de la courbe \(y=f(x)\) avec \(y=3\) ?
Corrigé : ce sont les solutions de \(\boxed{f(x)=3}\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
  • Donner la définition de “croissante/décroissante” avec \(x_1<x_2\).
  • Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) sans calcul grâce à la monotonie.
  • Lire un tableau de variation (valeurs + flèches) et en déduire max/min.
  • Encadrer \(f(x)\) sur \([a ; b]\) avec \(\min\) et \(\max\).
  • Résoudre graphiquement \(f(x)\ge k\) (droite \(y=k\)).
Réflexes 20/20
1) Toujours préciser l’intervalle : \([a ; b]\).
2) Comparaison : “\(a<b\)” puis “croissante/décroissante” puis conclusion.
3) Max/min : je n’oublie jamais de tester les bornes.
À bannir : “maximum” si la valeur n’est pas atteinte ; confusion croissante/positive ; lecture de droite à gauche.