Exercices corrigés — Variations De Fonctions (2nde)

1) Croissante : si \(x_1<x_2\), alors \(f(x_1)\le f(x_2)\).

2) Décroissante : si \(x_1<x_2\), alors \(f(x_1)\ge f(x_2)\).

3) Oui. Si \(f\) est constante, toutes les images sont égales ; les deux inégalités larges sont donc vraies.

4) Strictement croissante signifie : si \(x_1<x_2\), alors \(f(x_1)<f(x_2)\).

1) \(f\) est croissante sur \([-4;1]\), puis décroissante sur \([1;6]\).

2) Le maximum est \(5\), atteint en \(x=1\). Le minimum est \(-2\), atteint en \(x=-4\).

3) Comme \(-3<0\) et que \(f\) est croissante sur \([-4;1]\), \(f(-3)\le f(0)\).

4) Comme \(2<5\) et que \(f\) est décroissante sur \([1;6]\), \(f(2)\ge f(5)\).

1) \(-4<1\) sur un intervalle de croissance, donc \(g(-4)\le g(1)\).

2) \(3<6\) sur un intervalle de décroissance, donc \(g(3)\ge g(6)\).

3) Non : les deux abscisses sont dans deux morceaux différents et aucune valeur ne permet de relier leurs images.

4) \(g(2)\) est un maximum sur \([-5;7]\) : pour tout \(x\in[-5;7]\), \(g(x)\le g(2)\).

1) Sur \([-2;5]\), \(-7\le f(x)\le9\).

2) Sur \([1;3]\), \(-1\le f(x)\le2\).

3) Comme \(-2<0<1\), \(-7<f(0)<-1\).

4) Comme \(3<4<5\), \(2<f(4)<9\).

1) En \(x=-1\), on passe de croissante à décroissante ; en \(x=3\), de décroissante à croissante.

2) Maximum local : \(7\) en \(x=-1\). Minimum local : \(-1\) en \(x=3\).

3) Le maximum global vaut \(7\) et le minimum global vaut \(-1\).

4) Oui. Une fonction peut prendre la même valeur maximale ou minimale en plusieurs abscisses.

1) Le tableau suit : \(-5\nearrow4\searrow-1\nearrow6\).

2) Maximum global : \(6\) en \(8\). Minimum global : \(-5\) en \(-6\).

3) Sur \([-6;-2]\), \(-4<-3\) et \(u\) est croissante : \(u(-4)\le u(-3)\).

4) Sur \([-2;3]\), \(0<2\) et \(u\) est décroissante : \(u(0)\ge u(2)\).

1) Le coefficient directeur vaut \(3>0\), donc \(f\) est strictement croissante.

2) Quand \(x\) va de \(-\infty\) vers \(+\infty\), \(f(x)\) augmente de \(-\infty\) vers \(+\infty\).

3) \(f(-2)=-8\), \(f(4)=10\), donc \(f([-2;4])=[-8;10]\).

4) \(1<3x-2<10\iff3<3x<12\iff1<x<4\).

1) Croissante si \(m-2>0\), donc \(m>2\).

2) Décroissante si \(m<2\).

3) Constante si \(m=2\).

4) Pour \(m=5\), \(g(x)=3x+5\) est croissante : minimum \(g(-1)=2\), maximum \(g(3)=14\).

1) \(f\) décroît jusqu’à \(0\), puis croît ; son minimum global est \(0\) en \(x=0\).

2) Sur \([-3;1]\), le minimum est \(0\) et le maximum \(9\), donc \([0;9]\).

3) Sur \([-5;-2]\), la fonction est décroissante : image \([4;25]\).

4) Sur \([2;6]\), elle est croissante : image \([4;36]\).

1) Quand \(x\le2\) augmente, \(|x-2|\) diminue, donc \((x-2)^2\) diminue ; multiplier par \(3\) puis soustraire \(4\) conserve ce sens.

2) Pour \(x\ge2\), \((x-2)^2\) augmente avec \(x\), donc \(f\) augmente.

3) Le tableau est décroissant jusqu’à \(x=2\), puis croissant.

4) \(f(2)=-4\), donc le minimum global est \(-4\), atteint en \(x=2\).

1) \(g(b)-g(a)=3(b-a)(a+b+4)\). Ici \(b-a>0\). Comme \(a<b\le-2\), on a \(a+b+4<0\), donc \(g(b)-g(a)<0\).

2) Ainsi \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;-2]\).

3) Si \(-2\le a<b\), alors \(a+b+4>0\), donc \(g(b)-g(a)>0\) : \(g\) est strictement croissante sur \([-2;+\infty[\).

4) Comme \(g(-2)=-11\), la fonction décroît vers \(-11\), puis croît ; son minimum vaut \(-11\) en \(-2\).

1) Domaine : \(\mathbb R\setminus\{0\}\). Elle est décroissante sur chaque branche.

2) Sur \([2;6]\), image \([\dfrac16;\dfrac12]\).

3) Sur \([-6;-2]\), image \([-\dfrac12;-\dfrac16]\).

4) Comme \(-5<-3\) sur la branche négative décroissante, \(h(-5)>h(-3)\). Comme \(2<7\) sur la branche positive décroissante, \(h(2)>h(7)\).

1) Domaine : \(\mathbb R\setminus\{1\}\).

2) Sur chacune des deux branches, \(p\) est strictement décroissante.

3) \(p(2)=7\) et \(p(6)=3\), donc \(p([2;6])=[3;7]\).

4) Comme \(3<5\) et que \(p\) est décroissante sur \(]1;+\infty[\), \(p(3)>p(5)\).

1) \(c\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \(+\infty\).

2) Image de \([-2;3]\) : \([-8;27]\).

3) Par croissance, \(-8<x^3<27\iff-2<x<3\).

4) Comme \(-1{,}5<2\) et que le cube est croissant, \((-1{,}5)^3<2^3\).

1) Domaine : \([0;+\infty[\), et \(r\) est croissante.

2) Image : \([2;5]\).

3) Par croissance, \(2\le\sqrt{x}\le5\iff4\le x\le25\).

4) Comme \(7<11\), \(\sqrt7<\sqrt{11}\).

1) La distance à \(2\) diminue jusqu’à \(2\), puis augmente : \(v\) décroît sur \([-3;2]\) et croît sur \([2;6]\).

2) Minimum : \(0\), atteint en \(x=2\).

3) Aux bornes : \(v(-3)=5\) et \(v(6)=4\), donc le maximum vaut \(5\), atteint en \(-3\).

4) Image : \([0;5]\).

1) Sur \([-4;0]\), \(-x-1\) est décroissante. Sur \([0;4]\), \(x^2-1\) est croissante.

2) On passe de \(h(-4)=3\) à \(h(0)=-1\), puis à \(h(4)=15\).

3) Minimum : \(-1\) en \(0\). Maximum : \(15\) en \(4\).

4) Premier morceau : \(-x-1\le0\iff x\ge-1\), donc \([-1;0]\). Second : \(x^2-1\le0\) sur \([0;1]\). Réunion : \([-1;1]\).

1) Croissante sur \([-5;-3]\), décroissante sur \([-3;0]\), croissante sur \([0;2]\), décroissante sur \([2;5]\).

2) Maximum : \(4\) en \(-3\). Minimum : \(-2\) en \(0\).

3) Sur \([-5;-3]\), \(-4<-3\), puis \(-2\) est sur le morceau suivant ; la lecture exacte donne \(f(-4)=2\) et \(f(-2)=2\), donc égalité.

4) Lecture : sur le segment de \((0,-2)\) à \((2,3)\), \(f(1)=\dfrac12\). Sur le segment de \((2,3)\) à \((5,1)\), \(f(4)=\dfrac53\). Donc \(f(1)<f(4)\).

1) Les zéros sont \(x=-3\), \(x=0\) et \(x=\dfrac32\).

2) La courbe est sur ou au-dessus de l’axe sur \([-3;0]\cup[\dfrac32;4]\).

3) Minimum : \(-2\) en \(-4\). Maximum : \(5\) en \(4\).

4) Croissante sur \([-4;-2]\), décroissante sur \([-2;1]\), croissante sur \([1;4]\).

1) La fonction est croissante sur \([-2;1]\), puis décroissante sur \([1;4]\).

2) Maximum : \(4\) en \(1\). Minimum : \(-5\), atteint en \(-2\) et \(4\).

3) \(4-(x-1)^2=0\iff(x-1)^2=4\iff x=-1\) ou \(x=3\).

4) L’image est \([-5;4]\).

1) \(0\) appartient aux trois intervalles de valeurs \([-5;4]\), \([-1;4]\) et \([-1;6]\) : il y a \(3\) solutions.

2) \(5\) n’est pas atteint sur les deux premiers morceaux, mais il est atteint une fois sur \([3;8]\) : \(1\) solution.

3) Le maximum global vaut \(6\) : aucune solution.

4) \(-3\) est pris une fois sur \([-6;-2]\) seulement : \(1\) solution.

1) Comme \(0\) est entre \(6\) et \(-2\), la continuité donne une solution ; la stricte décroissance assure qu’elle est unique.

2) Sur \([-5;-1]\), \(f\ge1>0\). Puis sur \([-1;4]\), \(f\ge0\) jusqu’à \(\alpha\). Enfin sur \([4;7]\), \(f\le0\) et vaut \(0\) seulement en \(7\). Donc \([-5;\alpha]\cup\{7\}\).

3) Maximum : \(6\) en \(-1\). Minimum : \(-2\) en \(4\).

4) Non. Les deux abscisses sont dans des morceaux distincts et les encadrements disponibles se recouvrent.

1) \(f([-4;1])=[-2;5]\).

2) \(f([1;6])=[0;5]\).

3) Sur tout le domaine, le minimum vaut \(-2\) et le maximum \(5\), donc \([-2;5]\).

4) Le maximum sur \([0;4]\) est \(5\), atteint en \(x=1\). Le minimum vaut \(\min(f(0),f(4))\). Ainsi \(f([0;4])=[\min(f(0),f(4));5]\), mais on ne peut pas donner une borne inférieure numérique sans connaître \(f(0)\) et \(f(4)\).

1) \(A(x)=20x-x^2=100-(x-10)^2\).

2) La distance \(|x-10|\) diminue sur \([0;10]\) puis augmente sur \([10;20]\), donc \(A\) croît puis décroît.

3) Le maximum vaut \(100\,\text{cm}^2\), atteint pour \(x=10\). Le rectangle optimal est un carré \(10\times10\).

1) Sur \([4;8]\), \(|x-10|\) diminue quand \(x\) augmente, donc \(A\) est croissante.

2) Minimum : \(A(4)=4\times16=64\).

3) Maximum : \(A(8)=8\times12=96\).

1) \(S(x)=-2x^2+24x=-2(x-6)^2+72\).

2) \(S\) croît sur \([0;6]\), puis décroît sur \([6;12]\).

3) Maximum : \(72\,\text{m}^2\) pour \(x=6\). Le troisième côté mesure \(24-12=12\) m.

1) \(h\) croît sur \([0;2]\), puis décroît sur \([2;4]\).

2) Maximum \(20\) m atteint à \(t=2\) s.

3) \(-5(t-2)^2+20\ge15\iff(t-2)^2\le1\iff1\le t\le3\).

1) \(B\) croît sur \([0;15]\) puis décroît sur \([15;30]\).

2) Maximum : \(450\), atteint pour \(x=15\), soit \(1500\) objets.

3) \(|10-15|=|20-15|=5\), donc \(B(10)=B(20)\).

1) \(a^2<b^2\).

2) \(a^3<b^3\).

3) \(\sqrt a<\sqrt b\).

4) On a \(x^2<x<\sqrt x\).

1) Croissante sur \([-6;-2]\), décroissante sur \([-2;3]\), croissante sur \([3;8]\).

2) Maximum global : \(6\) en \(8\). Minimum global : \(-5\) en \(-6\).

3) Il y a trois solutions : une sur chacun des trois morceaux, car \(0\) est compris entre les valeurs aux bornes de chaque morceau.

4) Sur le premier morceau, \(u(x)\ge4\) seulement en \(x=-2\). Sur le dernier, \(u(x)\ge4\) pour \(x\in[\beta;8]\). Donc \(\{-2\}\cup[\beta;8]\).