Cours — Variations de fonctions
Sens de variation • maximum/minimum (extrémums) • tableaux de variation • lecture et exploitation graphique.
1) Objectifs et compétences (programme 2nde)
Compétences attendues
- Lire et interpréter des variations (croissance/décroissance) à partir d’un graphe ou d’un tableau.
- Déterminer des maximum/minimum (extrémums) sur un intervalle.
- Construire et exploiter un tableau de variation (avec valeurs remarquables et limites si besoin).
- Comparer des valeurs \(f(a)\) et \(f(b)\) sans calcul grâce au sens de variation.
- Résoudre graphiquement des équations/inéquations simples (ex : \(f(x)\ge k\)).
Pièges fréquents (à éviter)
- Confondre croissante et “la courbe monte” (attention au sens de lecture de gauche à droite).
- Dire “maximum” alors que la valeur n’est pas atteinte (ex : intervalle ouvert).
- Oublier que “sur \([a;b]\)” signifie bornes incluses : on compare aussi \(f(a)\) et \(f(b)\).
- Sur un intervalle, une fonction peut être croissante puis décroissante : pas monotone.
Réflexe 2nde : “Je repère l’intervalle, je lis de gauche à droite, je conclus sur la comparaison ou l’extrémum.”
2) Vocabulaire indispensable
Monotone
Une fonction est monotone sur un intervalle si elle est :
- soit croissante sur tout l’intervalle,
- soit décroissante sur tout l’intervalle.
“Monotone” = un seul sens de variation (pas “monte puis descend”).
Maximum / minimum (extrémums)
Sur un ensemble \(I\) :
- \(f\) a un maximum \(M\) si \(\forall x\in I,\ f(x)\le M\) et il existe \(x_0\in I\) tel que \(f(x_0)=M\).
- \(f\) a un minimum \(m\) si \(\forall x\in I,\ f(x)\ge m\) et il existe \(x_1\in I\) tel que \(f(x_1)=m\).
Si la valeur n’est jamais atteinte (ex : intervalle ouvert), on parle plutôt de borne supérieure, mais pas de “maximum”.
Exemple rapide — “atteint” ou non ?
Sur \(I=]0;1[\), la fonction \(f(x)=x\) est croissante.
- Elle n’a pas de maximum sur \(]0;1[\) (car \(1\) n’appartient pas à l’intervalle).
- Mais elle est majorée par 1 : \(f(x)<1\) pour tout \(x\in]0;1[\).
3) Sens de variation (définitions + lecture)
Définitions (sur un intervalle \(I\))
| Terme | Définition (comparaison) |
|---|---|
| Croissante | Si \(x_1<x_2\) alors \(f(x_1)\le f(x_2)\). |
| Strictement croissante | Si \(x_1<x_2\) alors \(f(x_1)< f(x_2)\). |
| Décroissante | Si \(x_1<x_2\) alors \(f(x_1)\ge f(x_2)\). |
| Strictement décroissante | Si \(x_1<x_2\) alors \(f(x_1)> f(x_2)\). |
Phrase clé : on lit toujours de gauche à droite (quand \(x\) augmente).
Conséquence immédiate (comparaison sans calcul)
Si \(f\) est :
- croissante sur \(I\), alors \(a<b\Rightarrow f(a)\le f(b)\).
- décroissante sur \(I\), alors \(a<b\Rightarrow f(a)\ge f(b)\).
Mini-exemple
\(f\) est décroissante sur \([ -2 ; 5]\).
Comme \(-1<3\), on a \(\boxed{f(-1)\ge f(3)}\).
4) Extrémums sur un intervalle
Sur un intervalle fermé \([a;b]\)
Une fonction “raisonnable” (continue, ou définie par un graphe sans trou) atteint souvent
un minimum et un maximum sur \([a;b]\).
En pratique en 2nde : on lit le plus petit et le plus grand niveau atteints sur le graphe entre \(a\) et \(b\).
Sur un intervalle ouvert \(]a;b[\)
Attention : même si la fonction est bornée, elle peut ne pas atteindre ses bornes.
Exemple : \(f(x)=x\) sur \(]0;1[\) n’a ni minimum ni maximum.
Exemple guidé — maximum/minimum avec tableau de variations
Si \(f\) est croissante sur \([ -3 ; 2]\) et \(f(-3)=-1\), \(f(2)=5\), alors :
- Minimum = \(\boxed{-1}\) atteint en \(x=-3\).
- Maximum = \(\boxed{5}\) atteint en \(x=2\).
5) Tableaux de variation
À quoi ça sert ?
Un tableau de variation résume :
- le domaine (ou intervalle étudié),
- le sens de variation sur chaque morceau,
- les valeurs aux points clés (bornes, extremums).
Une fois le tableau fait, on compare des valeurs et on résout \(f(x)\ge k\) très vite.
Comment le lire ?
- Ligne du haut : \(x\) (points importants).
- Ligne du bas : \(f(x)\) (valeurs) + flèches \(↗\) ou \(↘\).
- Flèche \(↗\) : croissante ; \(↘\) : décroissante.
Exemple complet (tableau)
On suppose que \(f\) est définie sur \([ -4 ; 3]\) et :
- croissante sur \([ -4 ; -1]\) avec \(f(-4)=1\) et \(f(-1)=4\),
- décroissante sur \([ -1 ; 3]\) avec \(f(3)=0\).
| \(x\) | -4 | ↗ | -1 | ↘ | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 1 | 4 | 0 |
Lectures immédiates
- Maximum sur \([ -4 ; 3]\) : \(\boxed{4}\) (atteint en \(x=-1\)).
- Minimum sur \([ -4 ; 3]\) : \(\boxed{0}\) (atteint en \(x=3\)).
- Comparer : comme \(0<2\) et \(2\in[-1;3]\) (décroissante), alors \(f(0)\ge f(2)\).
Encadrements
Sur \([ -1 ; 3]\), \(f\) décroît de 4 vers 0, donc pour tout \(x\in[-1;3]\) :
\[
0 \le f(x) \le 4.
\]
Par exemple, \(1\in[-1;3]\) donc \(0\le f(1)\le 4\).
Tableau “à trou” (fonction non définie en un point)
Si une fonction n’est pas définie en \(x=a\), on ne met pas \(a\) comme valeur de \(x\) “normale” :
on le signale (par exemple en séparant le tableau en deux morceaux).
Exemple : domaine \(]-\infty;1[\cup]1;+ \infty[\) : on fait deux tableaux ou une séparation nette.
6) Exploitation graphique (lecture de courbe)
Trouver le sens de variation sur un intervalle
- On se place de gauche à droite (quand \(x\) augmente).
- Si la courbe monte, \(f\) est croissante ; si elle descend, \(f\) est décroissante.
- On repère les “points de retournement” : endroits où la courbe change de sens.
Lire un maximum/minimum sur un graphe
- Maximum : le point le plus haut (ordonnée la plus grande) sur l’intervalle.
- Minimum : le point le plus bas (ordonnée la plus petite) sur l’intervalle.
- Sur \([a;b]\), on compare aussi les extrémités \(x=a\) et \(x=b\).
Si le point “le plus haut” n’est jamais atteint (trou / intervalle ouvert), pas de maximum.
Résoudre graphiquement \(f(x)\ge k\) (méthode standard)
- Tracer (ou imaginer) la droite horizontale \(y=k\).
- Repérer les points d’intersection avec la courbe : ce sont les solutions de \(f(x)=k\).
- Garder les abscisses où la courbe est au-dessus de la droite (pour \(\ge\)).
Important : si c’est \(\le\), on garde les zones où la courbe est en dessous.
7) Méthodes “copie parfaite”
Méthode A — Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) sans calcul
- Je vérifie que \(a\) et \(b\) sont dans le même intervalle de monotonie.
- Je compare \(a\) et \(b\) (qui est le plus petit ?).
- Je conclus avec le sens de variation (croissante/décroissante).
Exemple
\(f\) est croissante sur \([ -2 ; 4]\). Comparer \(f(-1)\) et \(f(3)\).
Comme \(-1<3\), alors \(\boxed{f(-1)\le f(3)}\).
Comme \(-1<3\), alors \(\boxed{f(-1)\le f(3)}\).
Méthode B — Trouver max/min sur \([a;b]\) avec un tableau
- Je repère les valeurs de \(f\) aux bornes et aux points “sommet/creux”.
- Le maximum = la plus grande valeur atteinte.
- Le minimum = la plus petite valeur atteinte.
Si une valeur n’est pas atteinte (trou/intervalle ouvert), je ne l’appelle pas “maximum”.
Méthode C — Faire un tableau de variation à partir d’un graphe
- Je repère le domaine visible (intervalle étudié).
- Je repère les points où la courbe change de sens (sommet, creux).
- Je lis les valeurs \(f(x)\) aux points importants.
- Je remplis le tableau : \(x\) en haut, \(f(x)\) en bas, flèches \(↗\) / \(↘\).
8) Mini-formulaire (à connaître)
Sens de variation
\[
\text{Croissante : } x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)
\]
\[
\text{Décroissante : } x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)
\]
Extrémums (sur un ensemble \(I\))
\[
M=\max_I f \iff
\begin{cases}
\forall x\in I,\ f(x)\le M\\
\exists x_0\in I,\ f(x_0)=M
\end{cases}
\]
\[
m=\min_I f \iff
\begin{cases}
\forall x\in I,\ f(x)\ge m\\
\exists x_1\in I,\ f(x_1)=m
\end{cases}
\]
Checklist finale (2nde)
- Je sais dire “croissante/décroissante” sur un intervalle précis \([a ; b]\).
- Je sais comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) sans calcul en utilisant la monotonie.
- Je sais lire un maximum/minimum sur \([a ; b]\) (en comparant bornes et points remarquables).
- Je sais compléter / interpréter un tableau de variation (valeurs + flèches).
- Je sais résoudre graphiquement \(f(x)\ge k\) avec la droite \(y=k\).
Rappel : notation FR : intervalles \([a ; b]\) (et pas \([a, b]\)).