Fiche ultra-synthèse — Repérage dans le plan (2nde)
Coordonnées • distance • milieu • lecture géométrique (cercle, médiatrice, symétrie).
Objectif : réponses rapides + zéro piège.
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Coordonnées d’un point
Un point \(A\) se note \(\boxed{A(x_A; y_A)}\).
\(x_A\) : horizontal (droite/gauche) • \(y_A\) : vertical (haut/bas).
\(x_A\) : horizontal (droite/gauche) • \(y_A\) : vertical (haut/bas).
| Lieu | Condition |
|---|---|
| Axe \((Ox)\) | \(\boxed{y=0}\) |
| Axe \((Oy)\) | \(\boxed{x=0}\) |
| Droite verticale | \(\boxed{x=a}\) |
| Droite horizontale | \(\boxed{y=b}\) |
Exemple : \(C(0; -2)\) est sur \((Oy)\) car \(x_C=0\).
2 Distance \(AB\)
Si \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) :
\[
\boxed{AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}
\]
Astuce “comparaison” : pour comparer \(AB\) et \(AC\), comparer \(\boxed{AB^2}\) et \(\boxed{AC^2}\) (sans racines).
La distance est toujours \(\ge 0\). On ne garde jamais un “−” devant une racine.
3 Milieu d’un segment
Si \(M\) est le milieu de \([AB]\), alors :
\[
\boxed{M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\;;\;\frac{y_A+y_B}{2}\right)}
\]
Retrouver \(B\) si \(A\) et \(M\) sont connus :
\[
\boxed{x_B=2x_M-x_A}\qquad \boxed{y_B=2y_M-y_A}
\]
Symétrie centrale de centre \(O(0;0)\) : \(A(x;y)\mapsto A'(-x;-y)\).
4 Lecture géométrique (traductions)
| Phrase | Traduction |
|---|---|
| \(MA=r\) (centre \(A(a;b)\)) | \(\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\) |
| \(MA=MB\) | \(\boxed{MA^2=MB^2}\) (médiatrice) |
| \(M\) milieu de \([AB]\) | formule du milieu |
| \(M\in (Ox)\) | \(\boxed{y_M=0}\) |
| \(M\in (Oy)\) | \(\boxed{x_M=0}\) |
Pour \(MA=MB\), on compare les carrés : plus simple et sans racines.
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Distance (méthode propre)
- Calculer \(\Delta x=x_B-x_A\) et \(\Delta y=y_B-y_A\).
- Calculer \((\Delta x)^2+(\Delta y)^2\).
- Prendre la racine : \(AB=\sqrt{\cdots}\) et simplifier si possible.
Exemple : \(A(-1;2)\), \(B(3;-4)\)
\(\Delta x=4\), \(\Delta y=-6\) ⇒ \(AB=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)
\(\Delta x=4\), \(\Delta y=-6\) ⇒ \(AB=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)
B Milieu + point manquant
- Écrire la formule du milieu.
- Multiplier par 2 puis isoler \(x_B\), \(y_B\).
Si \(M(2;-1)\) est le milieu de \([AB]\) et \(A(-4;3)\) :
\(x_B=2\cdot 2-(-4)=8\), \(y_B=2\cdot(-1)-3=-5\)
Donc \(B(8;-5)\).
\(x_B=2\cdot 2-(-4)=8\), \(y_B=2\cdot(-1)-3=-5\)
Donc \(B(8;-5)\).
C Lieu “cercle”
« Les points \(M(x;y)\) tels que \(MA=r\) » ⇒ cercle de centre \(A\) et rayon \(r\).
\(MA=r \iff (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Reconnaissance directe : \((x-2)^2+(y+3)^2=16\) ⇒ centre \((2;-3)\), rayon \(4\).
D Médiatrice (condition \(MA=MB\))
On écrit \(MA^2=MB^2\), on développe, on simplifie, on obtient souvent une équation de droite.
\(A(0;0)\), \(B(4;0)\) :
\(x^2+y^2=(x-4)^2+y^2 \Rightarrow x=2\).
Médiatrice : droite \(x=2\).
\(x^2+y^2=(x-4)^2+y^2 \Rightarrow x=2\).
Médiatrice : droite \(x=2\).
Pièges classiques (à éviter)
1 Signes dans \((x-a)\)
Centre : \((x-2)^2+(y+1)^2=r^2\) ⇒ centre \(\boxed{(2;-1)}\) (car \(y+1=y-(-1)\)).
2 Oublier le carré
\(AB\neq (x_B-x_A)+(y_B-y_A)\).
Il faut \(\boxed{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) sous la racine.
Il faut \(\boxed{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) sous la racine.
3 Milieu ≠ moyenne des distances
Le milieu, c’est la moyenne des coordonnées, pas “à vue” ni des longueurs.
Comparaisons : si on demande “lequel est le plus long ?”, comparer les carrés des distances (gain de temps + moins d’erreurs).
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Coordonnées
Donner la condition pour que \(P(x;y)\) soit sur \((Ox)\).
Corrigé : \(\boxed{y=0}\).
Q2 Distance
Calculer \(AB\) avec \(A(2;-1)\), \(B(-4;3)\).
Corrigé : \(\Delta x=-6\), \(\Delta y=4\) ⇒ \(AB=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\).
Q3 Milieu
Milieu de \(A(6;-2)\) et \(B(-4;8)\).
Corrigé : \(M(1;3)\).
Q4 Cercle
Traduire \(MA=5\) avec \(A(1;-2)\) et \(M(x;y)\).
Corrigé : \((x-1)^2+(y+2)^2=25\).
Q5 Médiatrice
Trouver l’équation de la médiatrice de \([A(0;0)B(4;0)]\).
Corrigé : \(x=2\).
Q6 Point sur un cercle
\(C:(x-2)^2+(y+1)^2=9\). \(P(5;-1)\) appartient-il à \(C\) ?
Corrigé : \((5-2)^2+(-1+1)^2=9+0=9\) ⇒ oui.
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Placer et lire \(A(x;y)\) dans un repère.
- Reconnaître \((Ox)\) (\(y=0\)) et \((Oy)\) (\(x=0\)).
- Calculer \(AB\) et simplifier \(\sqrt{\cdot}\) si possible.
- Trouver le milieu \(M\) et retrouver un point manquant.
- Traduire \(MA=r\) et \(MA=MB\) sans me tromper de signes.
Réflexes 20/20
1) Je calcule d’abord \(\Delta x\), \(\Delta y\), puis je mets au carré.
2) Pour comparer des longueurs : je compare \(\boxed{AB^2}\) (plus rapide).
3) Je fais attention aux centres : \((y+3)\) signifie centre \(-3\).
2) Pour comparer des longueurs : je compare \(\boxed{AB^2}\) (plus rapide).
3) Je fais attention aux centres : \((y+3)\) signifie centre \(-3\).
À bannir : oublier les carrés, confondre milieu, erreurs de signes dans \((x-a)\), \((y-b)\).