Cours — Repérage dans le plan
Coordonnées • distance • milieu • interprétations géométriques (cercle, symétrie, alignement).
1) Objectifs et idées clés
Compétences attendues
- Lire/placer un point \(A(x_A; y_A)\) dans un repère orthonormé.
- Calculer une distance \(AB\) avec la formule (Pythagore).
- Trouver le milieu \(M\) d’un segment \([AB]\).
- Traduire une condition géométrique par une égalité (ex : « \(AB=5\) » ou « \(M\) milieu »).
- Reconnaître une équation de cercle simple et une droite verticale/horizontale.
Pièges fréquents
- Confondre \(\Delta x = x_B-x_A\) avec \(x_A-x_B\) : ça ne change pas au carré, mais ça perturbe les étapes.
- Oublier que la distance est positive : \(AB=\sqrt{\cdots}\ge 0\).
- Milieu : on moyenne les coordonnées, pas les distances.
- \((x-2)^2+(y+1)^2=9\) : centre \((2; -1)\) (attention au signe).
Réflexe : je fais un croquis, je nomme clairement les points, puis je traduis en coordonnées.
2) Coordonnées dans un repère
Repère orthonormé
Un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\) est orthonormé si :
- les axes sont perpendiculaires,
- les unités sont les mêmes sur les deux axes.
Lecture rapide
- \(x_A\) : déplacement horizontal (droite si \(+\), gauche si \(-\)).
- \(y_A\) : déplacement vertical (haut si \(+\), bas si \(-\)).
- Sur l’axe des abscisses : \(y=0\). Sur l’axe des ordonnées : \(x=0\).
Points particuliers
| Lieu / condition | Traduction en coordonnées |
|---|---|
| Axe des abscisses | \(y=0\) |
| Axe des ordonnées | \(x=0\) |
| Droite verticale | \(x=a\) (avec \(a\) constant) |
| Droite horizontale | \(y=b\) (avec \(b\) constant) |
Exemple 1 — Lire et placer des points
On considère \(A(2; -1)\), \(B(-3; 4)\), \(C(0; -2)\).
- \(A\) : 2 unités à droite, 1 unité en bas.
- \(B\) : 3 unités à gauche, 4 unités en haut.
- \(C\) : \(x=0\) donc \(C\) est sur l’axe des ordonnées.
Conclusion : \(C\in (Oy)\) car \(\boxed{x_C=0}\).
3) Distance entre deux points
Formule (repère orthonormé)
Si \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\), alors :
\[
\boxed{AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}.
\]
Idée : c’est le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par les projections.
Méthode “propre”
| Étape | Ce que j’écris |
|---|---|
| 1 Différences | \(\Delta x=x_B-x_A\), \(\Delta y=y_B-y_A\) |
| 2 Carrés | \((\Delta x)^2\) et \((\Delta y)^2\) |
| 3 Somme | \((\Delta x)^2+(\Delta y)^2\) |
| 4 Racine | \(AB=\sqrt{\cdots}\) et simplification éventuelle |
Cas utile : distance à un axe
Pour \(A(x_A; y_A)\) :
- distance à \((Ox)\) : \(\boxed{d(A,(Ox))=|y_A|}\)
- distance à \((Oy)\) : \(\boxed{d(A,(Oy))=|x_A|}\)
Attention : ce n’est pas \(x_A\) ou \(y_A\), mais bien la valeur absolue.
Exemple 2 — Calculer une distance exactement
Soit \(A(-1; 2)\) et \(B(3; -4)\).
- \(\Delta x=3-(-1)=4\) donc \((\Delta x)^2=16\).
- \(\Delta y=-4-2=-6\) donc \((\Delta y)^2=36\).
- \((\Delta x)^2+(\Delta y)^2=16+36=52\).
- \(AB=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot 13}=2\sqrt{13}\).
Résultat : \(\boxed{AB=2\sqrt{13}}\).
Exemple 3 — “Cercle” par une condition de distance
On cherche les points \(M(x; y)\) tels que \(OM=5\), avec \(O(0;0)\).
- \(OM=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}\).
- \(OM=5 \iff \sqrt{x^2+y^2}=5 \iff x^2+y^2=25\).
Lieu : cercle de centre \(O\) et rayon \(5\) ; équation : \(\boxed{x^2+y^2=25}\).
4) Milieu d’un segment
Formule du milieu
Si \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\), le milieu \(M\) de \([AB]\) est :
\[
\boxed{M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\;;\;\frac{y_A+y_B}{2}\right)}.
\]
Interprétation
Dire “\(M\) est le milieu de \([AB]\)” signifie :
- \(A, M, B\) sont alignés,
- et \(AM=MB\).
On utilise la formule de coordonnées pour aller vite (niveau 2nde).
Exemple 4 — Trouver le milieu
Soit \(A(6; -2)\) et \(B(-4; 8)\). Le milieu \(M\) vaut :
- \(\displaystyle x_M=\frac{6+(-4)}{2}=\frac{2}{2}=1\).
- \(\displaystyle y_M=\frac{-2+8}{2}=\frac{6}{2}=3\).
Résultat : \(\boxed{M(1; 3)}\).
Exemple 5 — Retrouver un point à partir du milieu
On sait que \(M(2; -1)\) est le milieu de \([AB]\) et que \(A(-4; 3)\). Trouver \(B(x_B; y_B)\).
Avec la formule du milieu :
\[
\frac{x_A+x_B}{2}=x_M \quad\Rightarrow\quad x_A+x_B=2x_M \quad\Rightarrow\quad x_B=2x_M-x_A
\]
et pareil pour \(y\).
- \(x_B=2\cdot 2-(-4)=4+4=8\).
- \(y_B=2\cdot(-1)-3=-2-3=-5\).
Résultat : \(\boxed{B(8; -5)}\).
5) Lecture géométrique (traduire en équations)
Cercle (centre + rayon)
Les points \(M(x; y)\) tels que \(MA=r\) (avec \(A(a; b)\)) vérifient :
\[
\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}.
\]
Centre : \(A(a; b)\), rayon : \(r\).
Médiatrice (idée niveau 2nde)
Les points \(M\) tels que \(MA=MB\) sont sur la médiatrice de \([AB]\).
On traduit en coordonnées :
\[
MA^2=MB^2
\]
(on évite les racines).
Astuce : comparer les carrés des distances pour garder un calcul propre.
Alignement (lecture simple)
En 2nde, on utilise souvent une idée “graphique / pente” :
- Si trois points ont la même abscisse (\(x\) constant) ⇒ ils sont alignés sur une droite verticale.
- Si trois points ont la même ordonnée (\(y\) constant) ⇒ ils sont alignés sur une droite horizontale.
Exemple 6 — Reconnaître un cercle à partir d’une équation
On considère \((x-2)^2+(y+3)^2=16\).
- Centre : \((2; -3)\) (car \(y+3 = y-(-3)\)).
- Rayon : \(r=\sqrt{16}=4\).
Conclusion : cercle de centre \(\boxed{(2; -3)}\) et de rayon \(\boxed{4}\).
Exemple 7 — Médiatrice : résoudre \(MA=MB\)
Soient \(A(0; 0)\) et \(B(4; 0)\). Chercher les points \(M(x; y)\) tels que \(MA=MB\).
On compare les carrés :
\[
MA^2 = (x-0)^2+(y-0)^2 = x^2+y^2
\]
\[
MB^2 = (x-4)^2+(y-0)^2 = (x-4)^2+y^2
\]
Condition \(MA^2=MB^2\) :
\[
x^2+y^2 = (x-4)^2+y^2 \iff x^2=(x-4)^2
\]
\[
x^2=x^2-8x+16 \iff 8x=16 \iff x=2
\]
Conclusion : \(\boxed{x=2}\) (droite verticale), c’est bien la médiatrice de \([AB]\).
6) Méthodes “Bac-ready” (niveau 2nde solide)
Méthode A — Calculer une distance
Pour \(A(x_A; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\) :
- je calcule \(\Delta x=x_B-x_A\) et \(\Delta y=y_B-y_A\)
- je fais \((\Delta x)^2+(\Delta y)^2\)
- je prends la racine et je simplifie
Si on demande une comparaison (ex : \(AB<AC\)) : comparer les carrés (plus rapide, sans racines).
Méthode B — Traduire une condition géométrique
- \(MA=r \Rightarrow (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
- \(MA=MB \Rightarrow MA^2=MB^2\) (on développe, on simplifie)
- \(M\) milieu de \([AB]\Rightarrow M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\;;\;\frac{y_A+y_B}{2}\right)\)
Astuce : écrire la phrase → entourer les mots-clés (“distance”, “milieu”, “égal”) → choisir la formule.
7) Exemples d’entraînement (corrigés courts)
Exemple 8 — Triangle rectangle ? (test avec les carrés)
\(A(0; 0)\), \(B(6; 0)\), \(C(2; 4)\). Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ?
On calcule les carrés des longueurs :
\[
AB^2=(6-0)^2+(0-0)^2=36
\]
\[
AC^2=(2-0)^2+(4-0)^2=4+16=20
\]
\[
BC^2=(2-6)^2+(4-0)^2=16+16=32
\]
On teste Pythagore : \(AC^2+BC^2=20+32=52\neq 36\) et aucune autre combinaison ne marche.
Conclusion : \(\boxed{ABC\ \text{n’est pas rectangle}}\).
Exemple 9 — Point sur un cercle
\(C : (x-1)^2+(y+2)^2=9\). Le point \(P(4; -2)\) appartient-il à \(C\) ?
On remplace \(x\) et \(y\) :
\[
(4-1)^2+(-2+2)^2=3^2+0^2=9
\]
Conclusion : \(\boxed{P\in C}\).
Exemple 10 — Symétrie centrale (milieu)
\(A(5; 1)\). On veut le point \(A'(x; y)\) symétrique de \(A\) par rapport à \(O(0;0)\).
En symétrie centrale de centre \(O\), \(O\) est le milieu de \([AA']\).
Donc :
\[
\frac{x_A+x_{A'}}{2}=0 \Rightarrow x_{A'}=-x_A
\qquad\text{et}\qquad
\frac{y_A+y_{A'}}{2}=0 \Rightarrow y_{A'}=-y_A
\]
Donc \(A'(-5; -1)\).
Résultat : \(\boxed{A'(-5; -1)}\).
8) Mini-formulaire (à connaître)
Distance
Si \(A(x_A; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\) :
\[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]
\[ d(A,(Ox))=|y_A| \qquad d(A,(Oy))=|x_A| \]
\[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]
\[ d(A,(Ox))=|y_A| \qquad d(A,(Oy))=|x_A| \]
Milieu
Si \(M\) milieu de \([AB]\) :
\[ M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\;;\;\frac{y_A+y_B}{2}\right) \]
Retrouver \(B\) si \(M\) et \(A\) sont connus :
\[ x_B=2x_M-x_A \qquad y_B=2y_M-y_A \]
\[ M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\;;\;\frac{y_A+y_B}{2}\right) \]
Retrouver \(B\) si \(M\) et \(A\) sont connus :
\[ x_B=2x_M-x_A \qquad y_B=2y_M-y_A \]
Cercle (centre \(A(a; b)\), rayon \(r\))
\[
MA=r
\iff
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
\]
Checklist “copie parfaite”
- Je note les coordonnées au format (x; y) et je fais un petit croquis.
- Pour une distance, je calcule \(\Delta x\) et \(\Delta y\), puis j’applique la formule et je simplifie.
- Pour comparer des distances, je compare les carrés (sans racines).
- Pour un milieu, je moyenne les coordonnées : \(\frac{x_A+x_B}{2}\) et \(\frac{y_A+y_B}{2}\).
- Je sais traduire : \(MA=r\) en équation, et reconnaître un cercle \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Rappel notation FR : intervalles \([a ; b]\). Coordonnées : \((x; y)\).