Exercice 1 — Quadrilatère dans un repère — diagonales, milieux et nature

2nde Difficile **

Consigne. Dans le repère orthonormé ci-dessous, on considère \(A(-4;3)\), \(B(2;4)\), \(C(4;-2)\) et \(D(-2;-3)\).

(a) Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BD}\).
(b) Calculer les milieux de \([AC]\) et \([BD]\). Que peut-on en déduire pour \(ABCD\) ?
(c) Calculer \(AB^2\), \(BC^2\), \(AC^2\) et \(BD^2\). Le parallélogramme est-il un rectangle ou un losange ?
(d) Donner les coordonnées exactes du point d’intersection des diagonales.

Indice

Deux diagonales qui ont le même milieu caractérisent un parallélogramme.
Dans un parallélogramme, des diagonales de même longueur caractérisent un rectangle ; pour un losange, comparer deux côtés consécutifs.

Solution / explication détaillée

(a) \(\overrightarrow{AC}=(4-(-4);-2-3)=(8;-5)\) et \(\overrightarrow{BD}=(-2-2;-3-4)=(-4;-7)\).

(b) Le milieu de \([AC]\) est \(M\left(\dfrac{-4+4}{2};\dfrac{3-2}{2}\right)=M\left(0;\dfrac12\right)\). Le milieu de \([BD]\) est aussi \(M\left(0;\dfrac12\right)\). Donc les diagonales ont le même milieu : \(\boxed{ABCD\text{ est un parallélogramme}}\).

(c) \(AB^2=6^2+1^2=37\) et \(BC^2=2^2+(-6)^2=40\), donc \(AB\neq BC\) : ce n’est pas un losange. Pour les diagonales, \(AC^2=8^2+(-5)^2=89\) et \(BD^2=(-4)^2+(-7)^2=65\). Elles n’ont pas la même longueur ; or un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. Donc ce parallélogramme n’est pas un rectangle non plus.

(d) Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc \(\boxed{I\left(0;\dfrac12\right)}\).

Exercice 2 — Vecteurs et translation — construction d’un parallélogramme

2nde Difficile **

Consigne. On considère \(A(-3;1)\), \(B(2;4)\) et \(C(5;-2)\).

(a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\).
(b) Le point \(D\) est l’image de \(C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Déterminer \(D\).
(c) Montrer que \(ABDC\) est un parallélogramme.
(d) Calculer les milieux de \([AD]\) et \([BC]\) et interpréter le résultat.

Indice

Une translation ajoute les coordonnées du vecteur au point de départ.
Pour \(ABDC\), comparer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).

Solution / explication détaillée

(a) \(\overrightarrow{AB}=(2+3;4-1)=(5;3)\).

(b) \(D=C+\overrightarrow{AB}\), donc \(D(5+5;-2+3)=\boxed{D(10;1)}\).

(c) \(\overrightarrow{CD}=(10-5;1-(-2))=(5;3)=\overrightarrow{AB}\). Ainsi, une paire de côtés opposés est parallèle et de même longueur : \(\boxed{ABDC\text{ est un parallélogramme}}\).

(d) Milieu de \([AD]\) : \(\left(\dfrac{-3+10}{2};\dfrac{1+1}{2}\right)=\left(\dfrac72;1\right)\). Milieu de \([BC]\) : \(\left(\dfrac{2+5}{2};\dfrac{4-2}{2}\right)=\left(\dfrac72;1\right)\). Les diagonales ont donc le même milieu, ce qui confirme le parallélogramme.

Exercice 3 — Distance — calcul exact + simplification de racine

2nde Difficile **

Consigne. Calculer les distances (forme exacte simplifiée) :

(a) \(A(-1;2)\), \(B(5;-2)\) : calculer \(AB\).
(b) \(C(3;7)\), \(D(-4;1)\) : calculer \(CD\).
(c) Comparer \(AB\) et \(CD\) sans calculatrice.
(d) Donner la distance de \(E(0;0)\) à \(F(6;8)\) et interpréter (triangle 3-4-5 “caché”).

Indice

\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
Pour comparer, comparer \(AB^2\) et \(CD^2\).
\(\sqrt{100}=10\), \(\sqrt{25}=5\), etc.

Solution / explication détaillée

(a) \(\Delta x=5-(-1)=6\), \(\Delta y=-2-2=-4\). Donc \(AB=\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\).

(b) \(\Delta x=-4-3=-7\), \(\Delta y=1-7=-6\). Donc \(CD=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}\) (non simplifiable).

(c) \(AB^2=52\) et \(CD^2=85\). Comme \(52<85\), on a \(AB<CD\).

(d) \(EF=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\). Interprétation : triangle rectangle “6-8-10”, multiple de 3-4-5.

Réponses : (a) \(2\sqrt{13}\) ; (b) \(\sqrt{85}\) ; (c) \(AB<CD\) ; (d) 10.

Exercice 4 — Milieu — coordonnées + point manquant (niveau piège)

2nde Difficile **

Consigne. On donne \(A(7;-5)\) et \(B(-1;9)\).

(a) Calculer le milieu \(M\) de \([AB]\).
(b) On donne \(N(3;2)\) milieu de \([AC]\). Trouver \(C\).
(c) On donne \(P(-4;1)\) et \(Q(8;-3)\). Trouver \(R\) tel que \(P\) soit le milieu de \([QR]\).
(d) Vérifier que dans (c), \(PQ=PR\) (argument simple).

Indice

Milieu : \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\;;\;\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\).
Point manquant : \(x_C=2x_N-x_A\), \(y_C=2y_N-y_A\).

Solution / explication détaillée

(a) \(M\left(\dfrac{7+(-1)}{2}\;;\;\dfrac{-5+9}{2}\right)=M(3\;;\;2)\).

(b) \(N(3;2)\) milieu de \([AC]\) ⇒ \(x_C=2\cdot3-7=-1\), \(y_C=2\cdot2-(-5)=9\). Donc \(C(-1;9)\) (on retrouve ici le même point que \(B\) : possible, cela signifie \(C=B\)).

(c) \(P\) milieu de \([QR]\) ⇒ \(x_R=2x_P-x_Q=2\cdot(-4)-8=-16\). \(y_R=2y_P-y_Q=2\cdot1-(-3)=5\). Donc \(R(-16;5)\).

(d) Si \(P\) est le milieu de \([QR]\), alors, par définition du milieu, \(QP=PR\) : le point \(P\) partage le segment \([QR]\) en deux segments de même longueur. Donc \(PQ=PR\).

Réponses : (a) \(M(3;2)\) ; (b) \(C(-1;9)\) ; (c) \(R(-16;5)\) ; (d) \(PQ=PR\).

Exercice 5 — Triangle rectangle — reconnaître via Pythagore (sans racines)

2nde Difficile **

Consigne. Soit \(A(1;1)\), \(B(7;1)\), \(C(1;5)\).

(a) Calculer \(AB^2\), \(AC^2\), \(BC^2\).
(b) En déduire la nature du triangle \(ABC\) (justifier).
(c) Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
(d) Trouver l’équation du cercle de centre \(A\) passant par \(C\) (forme \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)).

Indice

Comparer les carrés : pas besoin de racines.
Si rectangle en \(A\), alors aire = \(\dfrac{AB\cdot AC}{2}\).

Solution / explication détaillée

(a) \(AB\) : \(\Delta x=6\), \(\Delta y=0\) ⇒ \(AB^2=36\). \(AC\) : \(\Delta x=0\), \(\Delta y=4\) ⇒ \(AC^2=16\). \(BC\) : \((7-1)^2+(1-5)^2=36+16=52\) ⇒ \(BC^2=52\).

(b) \(AB^2+AC^2=36+16=52=BC^2\) ⇒ triangle rectangle en \(A\).

(c) \(AB=6\) et \(AC=4\) ⇒ aire \(=\dfrac{6\cdot4}{2}=12\).

(d) Centre \(A(1;1)\), rayon \(AC=4\) ⇒ \((x-1)^2+(y-1)^2=16\).

Réponses : (a) 36, 16, 52 ; (b) rectangle en \(A\) ; (c) 12 ; (d) \((x-1)^2+(y-1)^2=16\).

Exercice 6 — Médiatrice — équidistance, équation et lecture géométrique

2nde Difficile **

Consigne. On considère \(A(-4;1)\) et \(B(2;5)\).

(a) Écrire la condition \(MA=MB\) pour \(M(x;y)\) en utilisant les carrés des distances.
(b) Développer puis obtenir une équation cartésienne simplifiée de la médiatrice de \([AB]\).
(c) Le point \(P(1;0)\) appartient-il à cette médiatrice ? Justifier par substitution.
(d) Calculer le milieu \(I\) de \([AB]\) et vérifier qu’il appartient à la médiatrice.

Indice

Égaliser \(MA^2\) et \(MB^2\) évite les racines.
Les termes \(x^2\) et \(y^2\) s’éliminent après développement.

Solution / explication détaillée

(a) \(MA^2=(x+4)^2+(y-1)^2\) et \(MB^2=(x-2)^2+(y-5)^2\). On impose l’égalité.

(b) \((x+4)^2+(y-1)^2=(x-2)^2+(y-5)^2\). Après développement et simplification : \(12x+8y-12=0\), donc \(\boxed{3x+2y-3=0}\).

(c) Pour \(P(1;0)\), \(3\times1+2\times0-3=0\). Donc \(\boxed{P\text{ appartient à la médiatrice}}\).

(d) \(I\left(\dfrac{-4+2}{2};\dfrac{1+5}{2}\right)=I(-1;3)\). Test : \(3(-1)+2(3)-3=0\). C’est cohérent : toute médiatrice passe par le milieu du segment.

Exercice 7 — Cercle — écrire l’équation à partir d’un centre et d’un point

2nde Difficile **

Consigne. On considère \(A(2;-3)\) et \(B(8;1)\). Soit \(\mathcal{C}\) le cercle de centre \(A\) passant par \(B\).

(a) Calculer \(AB^2\) puis \(AB\) (forme exacte).
(b) Écrire l’équation de \(\mathcal{C}\) sous la forme \((x-2)^2+(y+3)^2=r^2\).
(c) Dire si \(P(5;1)\) appartient à \(\mathcal{C}\).
(d) Trouver un point \(Q\) sur \((Ox)\) appartenant à \(\mathcal{C}\) (il peut y en avoir 0, 1 ou 2).

Indice

Sur \((Ox)\) : \(y=0\). Remplace dans l’équation du cercle.
Appartenance : vérifier \((x-2)^2+(y+3)^2=r^2\).

Solution / explication détaillée

(a) \(AB^2=(8-2)^2+(1-(-3))^2=6^2+4^2=36+16=52\). Donc \(AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\).

(b) \(r^2=52\). Donc \(\boxed{(x-2)^2+(y+3)^2=52}\).

(c) Pour \(P(5;1)\) : \((5-2)^2+(1+3)^2=3^2+4^2=9+16=25\neq52\). Donc \(P\notin\mathcal{C}\).

(d) Sur \((Ox)\), \(y=0\). Équation : \((x-2)^2+(0+3)^2=52\) ⇒ \((x-2)^2+9=52\) ⇒ \((x-2)^2=43\). Donc \(x-2=\pm\sqrt{43}\) ⇒ \(x=2\pm\sqrt{43}\). Il y a donc deux points : \[ \boxed{Q_1(2-\sqrt{43};0)}\quad\text{et}\quad\boxed{Q_2(2+\sqrt{43};0)}. \]

Réponses : (a) \(AB=2\sqrt{13}\) ; (b) \((x-2)^2+(y+3)^2=52\) ; (c) non ; (d) \(x=2\pm\sqrt{43}\).

Exercice 8 — Alignement avec paramètre — déterminant et position relative

2nde Difficile **

Consigne. On considère \(A(-2;1)\), \(B(2;3)\) et \(C(k;5)\).

(a) Exprimer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(k\).
(b) Déterminer \(k\) pour que \(A\), \(B\) et \(C\) soient alignés.
(c) Pour cette valeur de \(k\), montrer que \(B\in[AC]\).
(d) Calculer le rapport \(\dfrac{AB}{BC}\).

Indice

Trois points sont alignés si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Utiliser le déterminant : \(x_{AB}y_{AC}-y_{AB}x_{AC}=0\).

Solution / explication détaillée

(a) \(\overrightarrow{AB}=(4;2)\) et \(\overrightarrow{AC}=(k+2;4)\).

(b) Le déterminant vaut \(4\times4-2(k+2)=16-2k-4=12-2k\). Il est nul pour \(\boxed{k=6}\).

(c) Alors \(C(6;5)\) et \(\overrightarrow{AC}=(8;4)=2\overrightarrow{AB}\). Donc \(B=A+\dfrac12\overrightarrow{AC}\) : \(B\) est bien situé entre \(A\) et \(C\).

(d) Puisque \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\), on a \(AB=BC\), donc \(\boxed{\dfrac{AB}{BC}=1}\).

Exercice 9 — Distance à l’origine — cercle centré en \(O\) + inégalités

2nde Difficile **

Consigne. Dans un repère orthonormé, \(O(0;0)\). On considère \(M(x;y)\).

(a) Écrire \(OM\) et \(OM^2\) en fonction de \(x\) et \(y\).
(b) Traduire : « \(M\) est à distance 5 de \(O\) » en une équation.
(c) Traduire : « \(M\) est à une distance au plus 3 de \(O\) » (inégalité).
(d) Dire si \(A(4;3)\) et \(B(2;2)\) vérifient la condition de (c).

Indice

\(OM^2=x^2+y^2\).
« au plus 3 » signifie \(\le 3\) donc \(OM\le 3\) ou \(x^2+y^2\le 9\).

Solution / explication détaillée

(a) \(OM=\sqrt{x^2+y^2}\) et \(OM^2=x^2+y^2\).

(b) \(OM=5\iff x^2+y^2=25\). (Cercle de centre \(O\), rayon 5.)

(c) \(OM\le 3\iff x^2+y^2\le 9\). (Disque de centre \(O\), rayon 3.)

(d) Pour \(A(4;3)\) : \(x^2+y^2=16+9=25\not\le 9\) ⇒ non. Pour \(B(2;2)\) : \(4+4=8\le 9\) ⇒ oui.

Réponses : (b) \(x^2+y^2=25\) ; (c) \(x^2+y^2\le 9\) ; (d) A non, B oui.

Exercice 10 — Milieu + rectangle — diagonales (lecture géométrique)

2nde Difficile **

Consigne. On considère \(A(1;-2)\), \(C(7;4)\). On cherche un rectangle \(ABCD\) (dans cet ordre).

(a) Calculer le milieu \(M\) de la diagonale \([AC]\).
(b) On impose \(B(7;-2)\). Trouver \(D\) pour que \(ABCD\) soit un rectangle.
(c) Vérifier que \(M\) est aussi le milieu de \([BD]\).
(d) Calculer l’aire du rectangle et préciser s’il s’agit en fait d’un carré.

Indice

Dans un rectangle, les diagonales ont le même milieu.
Si \(M\) est milieu de \([BD]\), alors \(D(2x_M-x_B\;;\;2y_M-y_B)\).

Solution / explication détaillée

(a) \(M\left(\dfrac{1+7}{2}\;;\;\dfrac{-2+4}{2}\right)=M(4\;;\;1)\).

(b) On veut \(M\) milieu de \([BD]\). Donc \(D(2\cdot4-7\;;\;2\cdot1-(-2))=(1\;;\;4)\). Donc \(\boxed{D(1;4)}\).

(c) Milieu de \([BD]\) : \(\left(\dfrac{7+1}{2}\;;\;\dfrac{-2+4}{2}\right)=(4;1)=M\). OK.

(d) \(AB\) est horizontal : \(|7-1|=6\). \(AD\) est vertical : \(|4-(-2)|=6\). Comme \(AB=AD=6\), ce rectangle est même un carré. Son aire vaut \(6\times6=\boxed{36}\).

Réponses : (a) \(M(4;1)\) ; (b) \(D(1;4)\) ; (c) oui ; (d) 36.

Exercice 11 — Comparer des distances — méthode “carrés” (très efficace)

2nde Difficile **

Consigne. On donne \(A(-3;1)\), \(B(2;6)\), \(C(6;-2)\).

(a) Calculer \(AB^2\), \(AC^2\), \(BC^2\).
(b) En déduire quel est le plus grand côté.
(c) Dire si le triangle est obtusangle, rectangle ou acutangle (avec une justification via les carrés).
(d) Trouver un point \(D\) tel que \(AD=AB\) et \(D\in(Ox)\) (si possible).

Indice

Classer via les carrés. Si plus grand côté = \(c\), compare \(c^2\) à \(a^2+b^2\).
(d) \(D\in(Ox)\Rightarrow y_D=0\). Et \(AD^2=AB^2\).

Solution / explication détaillée

(a) \(AB^2=(2+3)^2+(6-1)^2=5^2+5^2=50\).
\(AC^2=(6+3)^2+(-2-1)^2=9^2+(-3)^2=81+9=90\).
\(BC^2=(6-2)^2+(-2-6)^2=4^2+(-8)^2=16+64=80\).

(b) Le plus grand carré est 90, donc le plus grand côté est \(AC\).

(c) On compare \(AC^2\) à \(AB^2+BC^2\) : \(90\) vs \(50+80=130\). On a \(AC^2<AB^2+BC^2\) ⇒ triangle acutangle (tous les angles aigus).

(d) \(AB^2=50\). Cherchons \(D(x;0)\) tel que \(AD^2=50\). Or \(AD^2=(x+3)^2+(0-1)^2=(x+3)^2+1\). Donc \((x+3)^2+1=50\Rightarrow (x+3)^2=49\Rightarrow x+3=\pm 7\). Donc \(x=4\) ou \(x=-10\). On obtient deux solutions : \(\boxed{D_1(4;0)}\) et \(\boxed{D_2(-10;0)}\).

Réponses : (a) 50, 90, 80 ; (b) \(AC\) ; (c) acutangle ; (d) \(D(4;0)\) ou \((-10;0)\).

Exercice 12 — Cercle donné par une équation — centre, rayon, appartenance

2nde Difficile **

Consigne. On considère le cercle \(\mathcal{C}\) d’équation : \[ (x+1)^2+(y-4)^2=25. \]

(a) Donner le centre et le rayon.
(b) Dire si \(A(2;8)\) appartient à \(\mathcal{C}\).
(c) Trouver les points d’intersection avec \((Oy)\) (c’est-à-dire \(x=0\)).
(d) Trouver les points d’intersection avec \((Ox)\) (\(y=0\)), ou justifier qu’il n’y en a pas.

Indice

Centre : \((-1;4)\) car \((x-(-1))^2+(y-4)^2\).
Sur \((Oy)\) : poser \(x=0\). Sur \((Ox)\) : poser \(y=0\).

Solution / explication détaillée

(a) Centre \(I(-1;4)\), rayon \(r=5\).

(b) Test : \((2+1)^2+(8-4)^2=3^2+4^2=9+16=25\). Donc \(A\in\mathcal{C}\).

(c) Sur \((Oy)\), \(x=0\) : \((0+1)^2+(y-4)^2=25\Rightarrow 1+(y-4)^2=25\Rightarrow (y-4)^2=24\Rightarrow y-4=\pm\sqrt{24}=\pm 2\sqrt6\). Donc \(\boxed{(0\;;\;4-2\sqrt6)}\) et \(\boxed{(0\;;\;4+2\sqrt6)}\).

(d) Sur \((Ox)\), \(y=0\) : \((x+1)^2+(0-4)^2=25\Rightarrow (x+1)^2+16=25\Rightarrow (x+1)^2=9\Rightarrow x+1=\pm 3\). Donc \(x=2\) ou \(x=-4\). Points : \(\boxed{(2;0)}\) et \(\boxed{(-4;0)}\).

Réponses : centre \((-1;4)\), rayon 5 ; (b) oui ; (c) \(y=4\pm2\sqrt6\) ; (d) \((2;0)\), \((-4;0)\).

Exercice 13 — Lieu géométrique — points équidistants de deux points

2nde Difficile **

Consigne. On donne \(A(0;2)\) et \(B(6;0)\). On considère l’ensemble des points \(M(x;y)\) tels que \(MA=MB\).

(a) Écrire l’équation \(MA^2=MB^2\).
(b) Simplifier pour obtenir une équation de droite.
(c) Trouver l’ordonnée du point d’intersection avec \((Oy)\).
(d) Vérifier que le milieu \(I\) de \([AB]\) appartient à cette droite.

Indice

\(MA^2=(x-0)^2+(y-2)^2\), \(MB^2=(x-6)^2+(y-0)^2\).
Les termes \(x^2\) et \(y^2\) disparaissent après simplification.

Solution / explication détaillée

(a) \(x^2+(y-2)^2=(x-6)^2+y^2\).

(b) Développons : \(x^2+y^2-4y+4 = x^2-12x+36 + y^2\). Simplification : \(-4y+4=-12x+36\) ⇒ \(12x-4y-32=0\) ⇒ diviser par 4 : \[ \boxed{3x-y-8=0} \quad (\text{soit } y=3x-8). \]

(c) Sur \((Oy)\), \(x=0\) ⇒ \(y=-8\). Intersection : \((0;-8)\).

(d) Milieu \(I\left(\dfrac{0+6}{2}\;;\;\dfrac{2+0}{2}\right)=I(3;1)\). Test : \(3\cdot3-1-8=9-1-8=0\). OK.

Réponses : (b) \(y=3x-8\) ; (c) \((0;-8)\) ; (d) \(I(3;1)\) appartient.

Exercice 14 — Milieu + cercle — triangle isocèle (lecture)

2nde Difficile **

Consigne. On donne \(A(-4;0)\), \(B(2;6)\) et \(C(8;0)\).

(a) Calculer \(AB^2\) et \(BC^2\). Le triangle est-il isocèle en \(B\) ?
(b) Calculer le milieu \(M\) de \([AC]\).
(c) Montrer que \(BM\) est une hauteur (argument distance / symétrie).
(d) Déterminer l’équation du cercle de diamètre \([AC]\) (utiliser le centre \(M\)).

Indice

Isocèle en \(B\) ⇔ \(AB=BC\) ⇔ \(AB^2=BC^2\).
Diamètre \([AC]\) ⇒ centre = milieu de \([AC]\).

Solution / explication détaillée

(a) \(AB^2=(2+4)^2+(6-0)^2=6^2+6^2=72\). \(BC^2=(8-2)^2+(0-6)^2=6^2+(-6)^2=72\). Donc \(AB^2=BC^2\Rightarrow AB=BC\). Triangle isocèle en \(B\).

(b) \(M\left(\dfrac{-4+8}{2}\;;\;\dfrac{0+0}{2}\right)=M(2;0)\).

(c) Comme \(A\) et \(C\) ont la même ordonnée, \([AC]\) est horizontal. Le milieu \(M(2;0)\) est sur \([AC]\). Dans un triangle isocèle en \(B\), la médiane issue de \(B\) vers la base est aussi hauteur. Ici, \(BA=BC\) et \(M\) est le milieu de \([AC]\) ⇒ \(BM\perp AC\). Donc \(BM\) est une hauteur.

(d) Rayon \(r=MA\). Or \(MA^2=(2+4)^2+(0-0)^2=6^2=36\) donc \(r^2=36\). Équation : \((x-2)^2+y^2=36\).

Réponses : (a) isocèle en \(B\) ; (b) \(M(2;0)\) ; (d) \((x-2)^2+y^2=36\).

Exercice 15 — Trouver un point à distance imposée — intersection de deux cercles (logique)

2nde Difficile **

Consigne. On cherche les points \(M(x;y)\) tels que :

\(MA=5\) avec \(A(1;2)\) et \(MB=5\) avec \(B(7;2)\).

(a) Traduire ces deux conditions par deux équations.
(b) Soustraire les équations pour obtenir une équation de droite (sans développer tout).
(c) En déduire les coordonnées possibles de \(M\).
(d) Interprétation géométrique : quel est le lieu des points \(M\) ?

Indice

Deux cercles de même rayon, centres alignés horizontalement : les intersections sont sur la médiatrice de \([AB]\).
Distance 5 ⇒ rayon 5.

Solution / explication détaillée

(a) \((x-1)^2+(y-2)^2=25\) et \((x-7)^2+(y-2)^2=25\).

(b) On soustrait : \((x-1)^2-(x-7)^2=0\) (car \((y-2)^2\) et 25 s’annulent). Or \((x-1)^2-(x-7)^2=[(x-1)-(x-7)]\cdot[(x-1)+(x-7)]=6\cdot(2x-8)=12(x-4)\). Donc \(x=4\).

(c) Remplacer \(x=4\) dans \((x-1)^2+(y-2)^2=25\) : \(3^2+(y-2)^2=25\Rightarrow (y-2)^2=16\Rightarrow y-2=\pm4\Rightarrow y=6\) ou \(y=-2\). Donc \(\boxed{M_1(4;6)}\) et \(\boxed{M_2(4;-2)}\).

(d) Ce sont les intersections des deux cercles de rayon 5, centres \(A\) et \(B\). Elles sont sur la médiatrice de \([AB]\), ici la droite \(x=4\).

Réponses : (b) \(x=4\) ; (c) \((4;6)\) et \((4;-2)\).

Exercice 16 — Distance minimale à une droite oblique — sans dérivée

2nde Très difficile ***

Consigne. On considère le point \(A(1;-2)\) et la droite \(d:y=x+1\). Tout point de \(d\) s’écrit \(M(t;t+1)\).

(a) Exprimer \(AM^2\) en fonction de \(t\).
(b) Mettre l’expression sous la forme \(2(t+1)^2+8\) et en déduire la valeur de \(t\) qui minimise la distance.
(c) Déterminer le point \(H\) de \(d\) le plus proche de \(A\) et la distance minimale \(AH\).
(d) Vérifier géométriquement que \((AH)\perp d\).

Indice

Utiliser \(AM^2=(t-1)^2+(t+1-(-2))^2\).
Une somme d’un carré et d’une constante est minimale lorsque le carré vaut zéro.

Solution / explication détaillée

(a) \(AM^2=(t-1)^2+(t+3)^2=2t^2+4t+10\).

(b) \(2t^2+4t+10=2(t+1)^2+8\). Le minimum est donc obtenu pour \(\boxed{t=-1}\).

(c) \(H(-1;0)\). Le minimum de \(AM^2\) vaut \(8\), donc \(\boxed{AH=2\sqrt2}\).

(d) La droite \(d\) a pour coefficient directeur \(1\). Le coefficient directeur de \((AH)\) vaut \(\dfrac{0-(-2)}{-1-1}=-1\). Leur produit vaut \(-1\), donc les droites sont perpendiculaires.

Exercice 17 — Transformations coordonnées — symétries et composition

2nde Très difficile ***

Consigne. On considère \(A(3;-5)\) et \(B(-1;2)\).

(a) Déterminer les images \(A_O\) et \(B_O\) par la symétrie centrale de centre \(O\).
(b) Déterminer les images de \(A\) par les symétries d’axes \((Ox)\) puis \((Oy)\).
(c) Montrer que la composition de ces deux symétries axiales donne la symétrie centrale de centre \(O\).
(d) Vérifier que la distance \(AB\) est conservée après la symétrie centrale.

Indice

Centre \(O\) : \((x;y)\mapsto(-x;-y)\).
Axe \((Ox)\) : \((x;y)\mapsto(x;-y)\) ; axe \((Oy)\) : \((x;y)\mapsto(-x;y)\).

Solution / explication détaillée

(a) \(A_O(-3;5)\) et \(B_O(1;-2)\).

(b) \(A(3;-5)\mapsto(3;5)\mapsto(-3;5)\).

(c) Le résultat \((-3;5)\) est exactement l’image de \(A\) par la symétrie centrale. Le même calcul vaut pour tout \((x;y)\) : \((x;y)\mapsto(x;-y)\mapsto(-x;-y)\).

(d) \(AB^2=(-4)^2+7^2=65\). Après transformation, \(A_OB_O^2=(4)^2+(-7)^2=65\). Donc \(\boxed{AB=A_OB_O}\).

Exercice 18 — Différence de carrés des distances — lieu affine et vérification

2nde Très difficile ***

Consigne. On donne \(A(-6;2)\), \(B(2;-2)\). On cherche les points \(M(x;y)\) tels que \(MA^2-MB^2=32\).

(a) Écrire \(MA^2\) et \(MB^2\).
(b) Calculer \(MA^2-MB^2\) et simplifier (on doit obtenir une équation de droite).
(c) Donner un point solution simple en choisissant une valeur de \(x\).
(d) Vérifier la solution obtenue en remplaçant dans l’équation initiale.

Indice

Après développement, \(x^2\) et \(y^2\) s’annulent.
Va vite : développe proprement (ou utilise l’idée : \((x-a)^2-(x-b)^2\)).

Solution / explication détaillée

(a) \(MA^2=(x+6)^2+(y-2)^2\), \(MB^2=(x-2)^2+(y+2)^2\).

(b) \((x+6)^2-(x-2)^2 + (y-2)^2-(y+2)^2 = 32\). Or \((x+6)^2-(x-2)^2=[(x+6)-(x-2)]\cdot[(x+6)+(x-2)]=8(2x+4)=16x+32\). Et \((y-2)^2-(y+2)^2=[(y-2)-(y+2)]\cdot[(y-2)+(y+2)]=(-4)(2y)=-8y\). Donc \(16x+32-8y=32\Rightarrow 16x-8y=0\Rightarrow 2x-y=0\). Ainsi \(\boxed{y=2x}\).

(c) Choisissons \(x=1\) ⇒ \(y=2\). Donc \(M(1;2)\) est une solution.

(d) Vérifions : \(MA^2=(1+6)^2+(2-2)^2=49\). \(MB^2=(1-2)^2+(2+2)^2=1+16=17\). Différence : \(49-17=32\). OK.

Réponses : (b) \(y=2x\) ; (c) \(M(1;2)\) (exemple).

Exercice 19 — Point sur un cercle — équation + comparaison

2nde Très difficile ***

Consigne. On considère \(\mathcal{C}\) : \((x-3)^2+(y+2)^2=20\).

(a) Donner le centre et le rayon (forme exacte).
(b) Dire si \(A(1;0)\) appartient à \(\mathcal{C}\).
(c) Dire si \(B(7;-2)\) appartient à \(\mathcal{C}\).
(d) Trouver un point \(P\) de \(\mathcal{C}\) ayant la même ordonnée que le centre (donc \(y=-2\)).

Indice

Rayon : \(r=\sqrt{20}=2\sqrt5\).
Pour (d) : remplace \(y=-2\) dans l’équation.

Solution / explication détaillée

(a) Centre \(I(3;-2)\). Rayon \(r=\sqrt{20}=2\sqrt5\).

(b) Test \(A(1;0)\) : \((1-3)^2+(0+2)^2=4+4=8\neq20\). Donc non.

(c) Test \(B(7;-2)\) : \((7-3)^2+(-2+2)^2=16+0=16\neq20\). Donc non.

(d) Imposer \(y=-2\) : \((x-3)^2+0=20\Rightarrow (x-3)^2=20\Rightarrow x-3=\pm\sqrt{20}=\pm 2\sqrt5\). Donc \(\boxed{P_1(3-2\sqrt5;-2)}\) et \(\boxed{P_2(3+2\sqrt5;-2)}\).

Réponses : centre \((3;-2)\), rayon \(2\sqrt5\) ; (b) non ; (c) non ; (d) \(x=3\pm2\sqrt5\).

Exercice 20 — Milieu + cercle — diamètre et angle droit (lecture)

2nde Très difficile ***

Consigne. On considère \(A(-2;0)\), \(C(6;0)\). Soit \(\mathcal{C}\) le cercle de diamètre \([AC]\).

(a) Déterminer le centre \(M\) et le rayon \(r\).
(b) Écrire l’équation de \(\mathcal{C}\).
(c) Dire si \(B(2;4)\) appartient à \(\mathcal{C}\).
(d) Si \(B\in\mathcal{C}\), que peut-on dire de l’angle \(\widehat{ABC}\) ? (propriété du cercle de diamètre).

Indice

Centre = milieu de \([AC]\).
Diamètre ⇒ angle inscrit droit.

Solution / explication détaillée

(a) \(M\left(\dfrac{-2+6}{2}\;;\;\dfrac{0+0}{2}\right)=M(2;0)\). Diamètre \(AC=8\) donc rayon \(r=4\).

(b) \((x-2)^2+y^2=16\).

(c) Test \(B(2;4)\) : \((2-2)^2+4^2=16\). Donc \(B\in\mathcal{C}\).

(d) Si \(B\) est sur le cercle de diamètre \([AC]\), alors \(\widehat{ABC}=90^\circ\). (Angle inscrit qui intercepte un diamètre.)

Réponses : (a) \(M(2;0)\), \(r=4\) ; (b) \((x-2)^2+y^2=16\) ; (c) oui ; (d) angle droit.

Exercice 21 — Lieu géométrique — équidistance à deux droites puis intersection avec un cercle

2nde Très difficile ***

Consigne. On considère les droites parallèles \(d_1:x=-2\) et \(d_2:x=6\).

(a) Pour \(M(x;y)\), exprimer les distances à \(d_1\) et \(d_2\).
(b) Déterminer le lieu des points équidistants de \(d_1\) et \(d_2\).
(c) On ajoute la condition \(OM=5\). Déterminer les points \(M\) possibles.
(d) Interpréter graphiquement le nombre de solutions.

Indice

La distance à une droite verticale \(x=a\) vaut \(|x-a|\).
Les points équidistants de deux droites parallèles appartiennent à leur droite médiane.

Solution / explication détaillée

(a) \(d(M,d_1)=|x+2|\) et \(d(M,d_2)=|x-6|\).

(b) \(|x+2|=|x-6|\). Le point est à mi-distance des abscisses \(-2\) et \(6\), donc \(\boxed{x=2}\).

(c) Avec \(x=2\) et \(x^2+y^2=25\), on obtient \(4+y^2=25\), donc \(y=\pm\sqrt{21}\). Les solutions sont \(\boxed{(2;\sqrt{21})}\) et \(\boxed{(2;-\sqrt{21})}\).

(d) La droite \(x=2\) coupe le cercle de centre \(O\) et de rayon \(5\) en deux points.

Exercice 22 — Partager un segment dans un rapport imposé — coordonnées exactes

2nde Très difficile ***

Consigne. On considère \(A(-2;1)\) et \(B(7;4)\). Le point \(G\) appartient au segment \([AB]\) et vérifie \(AG=2\,GB\).

(a) Expliquer pourquoi \(G\) est situé aux deux tiers du trajet de \(A\) vers \(B\).
(b) Déterminer les coordonnées de \(G\).
(c) Vérifier vectoriellement que \(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GB}\).
(d) Calculer \(AG\), \(GB\) et vérifier le rapport des longueurs.

Indice

Si \(AG=2GB\), alors \(AB=AG+GB=3GB\).
Donc \(\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AB}\).

Solution / explication détaillée

(a) \(AB=3GB\), donc \(GB=\dfrac13AB\) et \(AG=\dfrac23AB\).

(b) \(\overrightarrow{AB}=(9;3)\), donc \(\dfrac23\overrightarrow{AB}=(6;2)\). Ainsi \(G=A+(6;2)=\boxed{G(4;3)}\).

(c) \(\overrightarrow{AG}=(6;2)\) et \(\overrightarrow{GB}=(3;1)\), donc \(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GB}\).

(d) \(GB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\) et \(AG=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}\). Donc \(\boxed{AG=2GB}\).

Exercice 23 — Lieu géométrique — distance fixe à un point + contrainte d’axe

2nde Très difficile ***

Consigne. On considère \(A(2;1)\). On cherche les points \(M(x;y)\) tels que \(MA=\sqrt{10}\) et \(M\in(Oy)\).

(a) Traduire \(MA=\sqrt{10}\) par une équation.
(b) Traduire \(M\in(Oy)\).
(c) Résoudre et donner les coordonnées des points \(M\) possibles.
(d) Interpréter : combien y a-t-il de solutions et pourquoi ?

Indice

Sur \((Oy)\), \(x=0\).
\(MA^2=10\) donc \((x-2)^2+(y-1)^2=10\).

Solution / explication détaillée

(a) \((x-2)^2+(y-1)^2=10\).

(b) \(x=0\).

(c) Remplacer \(x=0\) : \((0-2)^2+(y-1)^2=10\Rightarrow 4+(y-1)^2=10\Rightarrow (y-1)^2=6\Rightarrow y-1=\pm\sqrt6\). Donc \(\boxed{M_1(0\;;\;1-\sqrt6)}\) et \(\boxed{M_2(0\;;\;1+\sqrt6)}\).

(d) Deux solutions : l’axe \((Oy)\) coupe le cercle (centre \(A\), rayon \(\sqrt{10}\)) en deux points (ici, car l’axe passe “assez près” du centre).

Réponses : \((0\;;\;1\pm\sqrt6)\).

Exercice 24 — Triangle : isocèle + médiatrice — retrouver un point inconnu

2nde Très difficile ***

Consigne. On donne \(A(-1;2)\), \(B(5;2)\). On cherche \(C(x;y)\) tel que :

\(CA=CB\) (triangle isocèle en \(C\)),
et \(y=6\) (donc \(C\) est sur la droite horizontale \(y=6\)).

(a) Déterminer l’équation de la médiatrice de \([AB]\) (sans faire long).
(b) En déduire l’abscisse de \(C\).
(c) Donner les coordonnées de \(C\) et vérifier que \(CA=CB\) via les carrés.
(d) Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

Indice

Ici \(A\) et \(B\) ont la même ordonnée ⇒ \([AB]\) est horizontal.
Médiatrice d’un segment horizontal = droite verticale passant par son milieu.

Solution / explication détaillée

(a) Milieu de \([AB]\) : \(I\left(\dfrac{-1+5}{2}\;;\;\dfrac{2+2}{2}\right)=I(2;2)\). Comme \([AB]\) est horizontal, sa médiatrice est la droite verticale \(\boxed{x=2}\).

(b) \(C\) doit vérifier \(x=2\) et \(y=6\). Donc \(\boxed{C(2;6)}\).

(c) \(CA^2=(2+1)^2+(6-2)^2=3^2+4^2=25\). \(CB^2=(2-5)^2+(6-2)^2=(-3)^2+4^2=25\). Donc \(CA^2=CB^2\Rightarrow CA=CB\). OK.

(d) Base \([AB]\) : longueur \(=6\). Hauteur depuis \(C\) vers \(AB\) : \(|6-2|=4\). Aire \(=\dfrac{6\cdot4}{2}=12\).

Réponses : (a) \(x=2\) ; (b) \(C(2;6)\) ; (d) 12.

Exercice 25 — Challenge final — mix total (distances, milieu, cercle, médiatrice)

2nde Très difficile ***

Consigne. On donne \(A(-3;1)\) et \(B(5;7)\).

(a) Calculer \(AB\) (forme exacte simplifiée).
(b) Calculer le milieu \(M\) de \([AB]\).
(c) Déterminer l’équation de la médiatrice de \([AB]\) (forme \(ax+by+c=0\)).
(d) Soit \(\mathcal{C}\) le cercle de centre \(M\) passant par \(A\). Dire si le point \(P(1;1)\) appartient à \(\mathcal{C}\).

Indice

(c) Médiatrice : ensemble des points \(X\) tels que \(XA=XB\) ⇒ écrire \(XA^2=XB^2\).
(d) Appartenance : comparer \(MP^2\) à \(MA^2\).

Solution / explication détaillée

(a) \(\Delta x=5-(-3)=8\), \(\Delta y=7-1=6\). Donc \[ AB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10. \]

(b) \(M\left(\dfrac{-3+5}{2}\;;\;\dfrac{1+7}{2}\right)=M(1\;;\;4)\).

(c) Soit \(X(x;y)\). Condition \(XA^2=XB^2\) : \((x+3)^2+(y-1)^2=(x-5)^2+(y-7)^2\). Développons : \(x^2+6x+9 + y^2-2y+1 = x^2-10x+25 + y^2-14y+49\). Simplification : \(6x+10 -2y = -10x+74-14y\). On regroupe : \(6x+10x + (-2y+14y) +10-74=0\Rightarrow 16x+12y-64=0\). On divise par 4 : \[ \boxed{4x+3y-16=0}. \] (Vérification rapide : \(M(1;4)\) : \(4+12-16=0\), donc la médiatrice passe bien par le milieu.)

(d) \(MA^2\) : \(M(1;4)\), \(A(-3;1)\) ⇒ \(( -3-1)^2+(1-4)^2=(-4)^2+(-3)^2=16+9=25\). \(MP^2\) pour \(P(1;1)\) : \((1-1)^2+(1-4)^2=0+9=9\). Comme \(MP^2\neq MA^2\), \(P\notin\mathcal{C}\).

Réponses : (a) 10 ; (b) \(M(1;4)\) ; (c) \(4x+3y-16=0\) ; (d) non.

Exercice 26 — Alignement avec paramètre — résolution exacte

2nde Très difficile ***

Consigne. On considère \(A(1;2)\), \(B(4;5)\) et \(C(k;2k-1)\).

(a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
(b) Déterminer \(k\) pour que \(A,B,C\) soient alignés.
(c) Pour cette valeur, placer \(C\) par rapport à \(A\) et \(B\) en comparant les vecteurs.
(d) Calculer \(AC\) et \(CB\).

Indice

Utiliser la nullité du déterminant de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Une fois \(k\) trouvé, comparer directement les vecteurs.

Solution / explication détaillée

(a) \(\overrightarrow{AB}=(3;3)\) et \(\overrightarrow{AC}=(k-1;2k-3)\).

(b) \(3(2k-3)-3(k-1)=0\), soit \(3k-6=0\), donc \(\boxed{k=2}\).

(c) \(C(2;3)\) et \(\overrightarrow{AC}=(1;1)=\dfrac13\overrightarrow{AB}\). Donc \(C\in[AB]\), situé au tiers du trajet de \(A\) vers \(B\).

(d) \(AC=\sqrt2\) et \(CB=\sqrt{(4-2)^2+(5-3)^2}=2\sqrt2\).

Exercice 27 — Parallélogramme incliné — losange, diagonales et aire

2nde Très difficile ***

Consigne. On considère \(A(0;0)\), \(B(4;1)\), \(D(1;4)\) et \(C=B+D\).

(a) Déterminer les coordonnées de \(C\) et justifier que \(ABCD\) est un parallélogramme.
(b) Comparer \(AB\) et \(AD\). Quelle nature plus précise obtient-on ?
(c) Comparer les longueurs des diagonales \(AC\) et \(BD\) et vérifier que ce losange n’est pas un carré.
(d) Calculer son aire à l’aide du déterminant de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).

Indice

Dans un parallélogramme, \(C=B+D-A\).
L’aire est \(|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})|\).

Solution / explication détaillée

(a) \(C(5;5)\). On a \(\overrightarrow{DC}=(4;1)=\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}=(1;4)=\overrightarrow{AD}\), donc \(ABCD\) est un parallélogramme.

(b) \(AB^2=4^2+1^2=17\) et \(AD^2=1^2+4^2=17\). Deux côtés consécutifs sont égaux : \(\boxed{ABCD\text{ est un losange}}\).

(c) \(\overrightarrow{AC}=(5;5)\), donc \(AC^2=50\). De plus \(\overrightarrow{BD}=(-3;3)\), donc \(BD^2=18\). Les diagonales n’ont pas la même longueur ; un carré a des diagonales de même longueur. Donc ce losange n’est pas un carré.

(d) Aire \(=|4\times4-1\times1|=\boxed{15}\).

Exercice 28 — Cercle et droite — intersections exactes et corde

2nde Très difficile ***

Consigne. On considère le cercle \(\mathcal C:x^2+y^2=25\) et la droite \(d:y=x+1\).

(a) Déterminer les points d’intersection \(P\) et \(Q\) de \(d\) avec \(\mathcal C\).
(b) Calculer le milieu \(M\) de la corde \([PQ]\).
(c) Calculer la longueur \(PQ\).
(d) Vérifier que \(OM\perp PQ\).

Indice

Remplacer \(y\) par \(x+1\) dans l’équation du cercle.
Pour la perpendicularité, comparer les coefficients directeurs.

Solution / explication détaillée

(a) \(x^2+(x+1)^2=25\), soit \(2x^2+2x-24=0\), donc \(x^2+x-12=0=(x-3)(x+4)\). Ainsi \(\boxed{P(3;4)}\) et \(\boxed{Q(-4;-3)}\).

(b) \(M\left(\dfrac{3-4}{2};\dfrac{4-3}{2}\right)=\boxed{M\left(-\dfrac12;\dfrac12\right)}\).

(c) \(\overrightarrow{QP}=(7;7)\), donc \(PQ=\sqrt{98}=\boxed{7\sqrt2}\).

(d) La droite \(PQ=d\) a pour coefficient directeur \(1\). La droite \(OM\) a pour coefficient directeur \(\dfrac{1/2}{-1/2}=-1\). Elles sont donc perpendiculaires.

Exercice 29 — Lieu d’Apollonius — transformer une condition de distances en cercle

2nde Très difficile ***

Consigne. On considère \(A(0;0)\) et \(B(3;0)\). On cherche le lieu des points \(M(x;y)\) tels que \(MA=2\,MB\).

(a) Traduire la condition en une équation avec les carrés des distances.
(b) Développer et mettre l’équation sous la forme \((x-4)^2+y^2=4\).
(c) Donner le centre et le rayon du lieu obtenu.
(d) Déterminer ses intersections avec l’axe \((Ox)\).

Indice

Mettre au carré : \(MA^2=4MB^2\).
Compléter le carré en \(x\).

Solution / explication détaillée

(a) \(x^2+y^2=4[(x-3)^2+y^2]\).

(b) Après développement : \(x^2-8x+y^2+12=0\), donc \(x^2-8x+16+y^2=4\), soit \(\boxed{(x-4)^2+y^2=4}\).

(c) Le lieu est un cercle de centre \(\boxed{I(4;0)}\) et de rayon \(\boxed{2}\).

(d) Sur \((Ox)\), \(y=0\), donc \((x-4)^2=4\), d’où \(\boxed{(2;0)}\) et \(\boxed{(6;0)}\).

Exercice 30 — Challenge final — triangle rectangle, cercle circonscrit et intersections

2nde Très difficile ***

Consigne. On considère \(A(-2;-4)\), \(B(-4;0)\) et \(C(2;3)\).

(a) Calculer \(AB^2\), \(BC^2\) et \(AC^2\), puis déterminer la nature de \(ABC\).
(b) Déterminer le centre \(I\) et le rayon \(R\) du cercle circonscrit.
(c) Écrire une équation du cercle circonscrit.
(d) Déterminer les points où ce cercle coupe l’axe \((Oy)\).

Indice

Si le triangle est rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
Pour les intersections avec \((Oy)\), poser \(x=0\).

Solution / explication détaillée

(a) \(AB^2=(-2)^2+4^2=20\), \(BC^2=6^2+3^2=45\), \(AC^2=4^2+7^2=65\). Comme \(20+45=65\), \(\boxed{ABC\text{ est rectangle en }B}\).

(b) L’hypoténuse est \([AC]\). Son milieu est \(I\left(0;-\dfrac12\right)\). De plus \(AC=\sqrt{65}\), donc \(\boxed{R=\dfrac{\sqrt{65}}{2}}\).

(c) \(\boxed{x^2+\left(y+\dfrac12\right)^2=\dfrac{65}{4}}\).

(d) Avec \(x=0\), \(\left(y+\dfrac12\right)^2=\dfrac{65}{4}\), donc \(y=\dfrac{-1\pm\sqrt{65}}{2}\). Les intersections sont \(\boxed{\left(0;\dfrac{-1-\sqrt{65}}2\right)}\) et \(\boxed{\left(0;\dfrac{-1+\sqrt{65}}2\right)}\).

Exercices corrigés — Repérage Dans Le Plan (2nde)

✏️ Exercices — Repérage dans le plan — Difficile / Très difficile *

Exercice 1 — Quadrilatère dans un repère — diagonales, milieux et nature

Exercice 2 — Vecteurs et translation — construction d’un parallélogramme

Exercice 3 — Distance — calcul exact + simplification de racine

Exercice 4 — Milieu — coordonnées + point manquant (niveau piège)

Exercice 5 — Triangle rectangle — reconnaître via Pythagore (sans racines)

Exercice 6 — Médiatrice — équidistance, équation et lecture géométrique

Exercice 7 — Cercle — écrire l’équation à partir d’un centre et d’un point

Exercice 8 — Alignement avec paramètre — déterminant et position relative

Exercice 9 — Distance à l’origine — cercle centré en \(O\) + inégalités

Exercice 10 — Milieu + rectangle — diagonales (lecture géométrique)

Exercice 11 — Comparer des distances — méthode “carrés” (très efficace)

Exercice 12 — Cercle donné par une équation — centre, rayon, appartenance

Exercice 13 — Lieu géométrique — points équidistants de deux points

Exercice 14 — Milieu + cercle — triangle isocèle (lecture)

Exercice 15 — Trouver un point à distance imposée — intersection de deux cercles (logique)

Exercice 16 — Distance minimale à une droite oblique — sans dérivée

Exercice 17 — Transformations coordonnées — symétries et composition

Exercice 18 — Différence de carrés des distances — lieu affine et vérification

Exercice 19 — Point sur un cercle — équation + comparaison

Exercice 20 — Milieu + cercle — diamètre et angle droit (lecture)

Exercice 21 — Lieu géométrique — équidistance à deux droites puis intersection avec un cercle

Exercice 22 — Partager un segment dans un rapport imposé — coordonnées exactes

Exercice 23 — Lieu géométrique — distance fixe à un point + contrainte d’axe

Exercice 24 — Triangle : isocèle + médiatrice — retrouver un point inconnu

Exercice 25 — Challenge final — mix total (distances, milieu, cercle, médiatrice)

Exercice 26 — Alignement avec paramètre — résolution exacte

Exercice 27 — Parallélogramme incliné — losange, diagonales et aire

Exercice 28 — Cercle et droite — intersections exactes et corde

Exercice 29 — Lieu d’Apollonius — transformer une condition de distances en cercle

Exercice 30 — Challenge final — triangle rectangle, cercle circonscrit et intersections

Exercices corrigés — Repérage Dans Le Plan (2nde)

✏️ Exercices — Repérage dans le plan — Difficile ** / Très difficile ***

Exercice 1 — Quadrilatère dans un repère — diagonales, milieux et nature

Exercice 2 — Vecteurs et translation — construction d’un parallélogramme

Exercice 3 — Distance — calcul exact + simplification de racine

Exercice 4 — Milieu — coordonnées + point manquant (niveau piège)

Exercice 5 — Triangle rectangle — reconnaître via Pythagore (sans racines)

Exercice 6 — Médiatrice — équidistance, équation et lecture géométrique

Exercice 7 — Cercle — écrire l’équation à partir d’un centre et d’un point

Exercice 8 — Alignement avec paramètre — déterminant et position relative

Exercice 9 — Distance à l’origine — cercle centré en \(O\) + inégalités

Exercice 10 — Milieu + rectangle — diagonales (lecture géométrique)

Exercice 11 — Comparer des distances — méthode “carrés” (très efficace)

Exercice 12 — Cercle donné par une équation — centre, rayon, appartenance

Exercice 13 — Lieu géométrique — points équidistants de deux points

Exercice 14 — Milieu + cercle — triangle isocèle (lecture)

Exercice 15 — Trouver un point à distance imposée — intersection de deux cercles (logique)

Exercice 16 — Distance minimale à une droite oblique — sans dérivée

Exercice 17 — Transformations coordonnées — symétries et composition

Exercice 18 — Différence de carrés des distances — lieu affine et vérification

Exercice 19 — Point sur un cercle — équation + comparaison

Exercice 20 — Milieu + cercle — diamètre et angle droit (lecture)

Exercice 21 — Lieu géométrique — équidistance à deux droites puis intersection avec un cercle

Exercice 22 — Partager un segment dans un rapport imposé — coordonnées exactes

Exercice 23 — Lieu géométrique — distance fixe à un point + contrainte d’axe

Exercice 24 — Triangle : isocèle + médiatrice — retrouver un point inconnu

Exercice 25 — Challenge final — mix total (distances, milieu, cercle, médiatrice)

Exercice 26 — Alignement avec paramètre — résolution exacte

Exercice 27 — Parallélogramme incliné — losange, diagonales et aire

Exercice 28 — Cercle et droite — intersections exactes et corde

Exercice 29 — Lieu d’Apollonius — transformer une condition de distances en cercle

Exercice 30 — Challenge final — triangle rectangle, cercle circonscrit et intersections

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