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2NDE • MATHS — Learna
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✏️ Exercices — Repérage dans le plan (TRÈS DIFFICILE)

Thèmes : coordonnées • distances • milieux • lieux géométriques (cercle, médiatrice) • lecture/interpretation.
Objectif : méthode propre, calculs exacts (racines simplifiées), justifications claires (comparaison via les carrés).

Exercice 1 — Lire / placer des points — pièges d’axes et quadrants
2nde

Consigne. Dans un repère orthonormé, on considère :

\(A(-3;2)\), \(B(0;-4)\), \(C(5;0)\), \(D(-2;-1)\).

  1. (a) Indiquer sur quel axe (ou aucun) se trouve chaque point.
  2. (b) Donner le quadrant de \(A\) et de \(D\).
  3. (c) Donner un point \(E\) tel que \(E\) soit sur la droite verticale passant par \(A\) et sur l’axe \((Ox)\).
  4. (d) Donner un point \(F\) tel que \(F\) soit sur la droite horizontale passant par \(B\) et sur l’axe \((Oy)\).
Exercice 2 — Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et translation — coordonnées
2nde

Consigne. On considère \(A(2;-3)\) et \(B(-5;4)\).

  1. (a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\).
  2. (b) Donner \(C\) tel que \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\) et \(C\neq B\) (donc une translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) appliquée à \(A\)).
  3. (c) Donner \(D\) image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
  4. (d) Vérifier que \(AB=CD\) (en utilisant une idée simple, sans recalculer tout).
Exercice 3 — Distance — calcul exact + simplification de racine
2nde

Consigne. Calculer les distances (forme exacte simplifiée) :

  1. (a) \(A(-1;2)\), \(B(5;-2)\) : calculer \(AB\).
  2. (b) \(C(3;7)\), \(D(-4;1)\) : calculer \(CD\).
  3. (c) Comparer \(AB\) et \(CD\) sans calculatrice.
  4. (d) Donner la distance de \(E(0;0)\) à \(F(6;8)\) et interpréter (triangle 3-4-5 “caché”).
Exercice 4 — Milieu — coordonnées + point manquant (niveau piège)
2nde

Consigne. On donne \(A(7;-5)\) et \(B(-1;9)\).

  1. (a) Calculer le milieu \(M\) de \([AB]\).
  2. (b) On donne \(N(3;2)\) milieu de \([AC]\). Trouver \(C\).
  3. (c) On donne \(P(-4;1)\) et \(Q(8;-3)\). Trouver \(R\) tel que \(P\) soit le milieu de \([QR]\).
  4. (d) Vérifier que dans (c), \(PQ=PR\) (argument simple).
Exercice 5 — Triangle rectangle — reconnaître via Pythagore (sans racines)
2nde

Consigne. Soit \(A(1;1)\), \(B(7;1)\), \(C(1;5)\).

  1. (a) Calculer \(AB^2\), \(AC^2\), \(BC^2\).
  2. (b) En déduire la nature du triangle \(ABC\) (justifier).
  3. (c) Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
  4. (d) Trouver l’équation du cercle de centre \(A\) passant par \(C\) (forme \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)).
Exercice 6 — Point sur une médiatrice — condition \(MA=MB\)
2nde

Consigne. On considère \(A(-2;3)\) et \(B(4;-1)\). Soit \(M(x;y)\).

  1. (a) Écrire la condition \(MA=MB\) sous forme \(MA^2=MB^2\).
  2. (b) Développer et obtenir une équation (simplifiée) de la médiatrice de \([AB]\).
  3. (c) Vérifier que \(P(1;2)\) appartient à cette médiatrice.
  4. (d) Donner le milieu \(I\) de \([AB]\) et vérifier que \(I\) appartient bien à la médiatrice.
Exercice 7 — Cercle — écrire l’équation à partir d’un centre et d’un point
2nde

Consigne. On considère \(A(2;-3)\) et \(B(8;1)\). Soit \(\mathcal{C}\) le cercle de centre \(A\) passant par \(B\).

  1. (a) Calculer \(AB^2\) puis \(AB\) (forme exacte).
  2. (b) Écrire l’équation de \(\mathcal{C}\) sous la forme \((x-2)^2+(y+3)^2=r^2\).
  3. (c) Dire si \(P(5;1)\) appartient à \(\mathcal{C}\).
  4. (d) Trouver un point \(Q\) sur \((Ox)\) appartenant à \(\mathcal{C}\) (il peut y en avoir 0, 1 ou 2).
Exercice 8 — Alignement — vérifier par égalité de distances (piège)
2nde

Consigne. On donne \(A(-2;1)\), \(B(4;5)\), \(C(7;7)\).

  1. (a) Calculer \(AB^2\), \(BC^2\) et \(AC^2\).
  2. (b) Vérifier si \(B\) est sur le segment \([AC]\) (et pas seulement sur la droite).
  3. (c) En déduire si \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés uniquement avec des distances.
  4. (d) Si ce n’est pas le cas, donner un point \(D\) tel que \(A\), \(B\), \(D\) soient alignés et que \(B\) soit le milieu de \([AD]\).
Exercice 9 — Distance à l’origine — cercle centré en \(O\) + inégalités
2nde

Consigne. Dans un repère orthonormé, \(O(0;0)\). On considère \(M(x;y)\).

  1. (a) Écrire \(OM\) et \(OM^2\) en fonction de \(x\) et \(y\).
  2. (b) Traduire : « \(M\) est à distance 5 de \(O\) » en une équation.
  3. (c) Traduire : « \(M\) est à une distance au plus 3 de \(O\) » (inégalité).
  4. (d) Dire si \(A(4;3)\) et \(B(2;2)\) vérifient la condition de (c).
Exercice 10 — Milieu + rectangle — diagonales (lecture géométrique)
2nde

Consigne. On considère \(A(1;-2)\), \(C(7;4)\). On cherche un rectangle \(ABCD\) (dans cet ordre).

  1. (a) Calculer le milieu \(M\) de la diagonale \([AC]\).
  2. (b) On impose \(B(7;-2)\). Trouver \(D\) pour que \(ABCD\) soit un rectangle.
  3. (c) Vérifier que \(M\) est aussi le milieu de \([BD]\).
  4. (d) Calculer l’aire du rectangle.
Exercice 11 — Comparer des distances — méthode “carrés” (très efficace)
2nde

Consigne. On donne \(A(-3;1)\), \(B(2;6)\), \(C(6;-2)\).

  1. (a) Calculer \(AB^2\), \(AC^2\), \(BC^2\).
  2. (b) En déduire quel est le plus grand côté.
  3. (c) Dire si le triangle est obtusangle, rectangle ou acutangle (avec une justification via les carrés).
  4. (d) Trouver un point \(D\) tel que \(AD=AB\) et \(D\in(Ox)\) (si possible).
Exercice 12 — Cercle donné par une équation — centre, rayon, appartenance
2nde

Consigne. On considère le cercle \(\mathcal{C}\) d’équation : \[ (x+1)^2+(y-4)^2=25. \]

  1. (a) Donner le centre et le rayon.
  2. (b) Dire si \(A(2;8)\) appartient à \(\mathcal{C}\).
  3. (c) Trouver les points d’intersection avec \((Oy)\) (c’est-à-dire \(x=0\)).
  4. (d) Trouver les points d’intersection avec \((Ox)\) (\(y=0\)), ou justifier qu’il n’y en a pas.
Exercice 13 — Lieu géométrique — points équidistants de deux points
2nde

Consigne. On donne \(A(0;2)\) et \(B(6;0)\). On considère l’ensemble des points \(M(x;y)\) tels que \(MA=MB\).

  1. (a) Écrire l’équation \(MA^2=MB^2\).
  2. (b) Simplifier pour obtenir une équation de droite.
  3. (c) Trouver l’ordonnée du point d’intersection avec \((Oy)\).
  4. (d) Vérifier que le milieu \(I\) de \([AB]\) appartient à cette droite.
Exercice 14 — Milieu + cercle — triangle isocèle (lecture)
2nde

Consigne. On donne \(A(-4;0)\), \(B(2;6)\) et \(C(8;0)\).

  1. (a) Calculer \(AB^2\) et \(BC^2\). Le triangle est-il isocèle en \(B\) ?
  2. (b) Calculer le milieu \(M\) de \([AC]\).
  3. (c) Montrer que \(BM\) est une hauteur (argument distance / symétrie).
  4. (d) Déterminer l’équation du cercle de diamètre \([AC]\) (utiliser le centre \(M\)).
Exercice 15 — Trouver un point à distance imposée — intersection de deux cercles (logique)
2nde

Consigne. On cherche les points \(M(x;y)\) tels que :

\(MA=5\) avec \(A(1;2)\) et \(MB=5\) avec \(B(7;2)\).

  1. (a) Traduire ces deux conditions par deux équations.
  2. (b) Soustraire les équations pour obtenir une équation de droite (sans développer tout).
  3. (c) En déduire les coordonnées possibles de \(M\).
  4. (d) Interprétation géométrique : quel est le lieu des points \(M\) ?
Exercice 16 — Distance minimale — point le plus proche (sans dérivée)
2nde

Consigne. On considère la droite horizontale \(d: y=3\) et le point \(A(-1;-2)\).

  1. (a) Soit \(M(x;3)\in d\). Écrire \(AM^2\) en fonction de \(x\).
  2. (b) Montrer que \(AM^2\) est minimal quand \(x=-1\).
  3. (c) En déduire la distance minimale de \(A\) à la droite \(d\).
  4. (d) Interpréter géométriquement : quel est le point \(H\) réalisant le minimum ?
Exercice 17 — Symétries — centrale et axiale (coordonnées)
2nde

Consigne. On donne \(A(3;-5)\).

  1. (a) Donner l’image \(A'\) de \(A\) par la symétrie centrale de centre \(O(0;0)\).
  2. (b) Donner l’image \(A''\) de \(A\) par la symétrie par rapport à l’axe \((Ox)\).
  3. (c) Donner l’image \(A'''\) de \(A\) par la symétrie par rapport à l’axe \((Oy)\).
  4. (d) Vérifier que la symétrie centrale de centre \(O\) est la composition des deux symétries axiales (\(Ox\) puis \(Oy\)).
Exercice 18 — Milieu + alignement — point sur une droite via équidistance
2nde

Consigne. On donne \(A(-6;2)\), \(B(2;-2)\). On cherche les points \(M(x;y)\) tels que \(MA^2-MB^2=32\).

  1. (a) Écrire \(MA^2\) et \(MB^2\).
  2. (b) Calculer \(MA^2-MB^2\) et simplifier (on doit obtenir une équation de droite).
  3. (c) Donner un point solution simple en choisissant une valeur de \(x\).
  4. (d) Vérifier la solution obtenue en remplaçant dans l’équation initiale.
Exercice 19 — Point sur un cercle — équation + comparaison
2nde

Consigne. On considère \(\mathcal{C}\) : \((x-3)^2+(y+2)^2=20\).

  1. (a) Donner le centre et le rayon (forme exacte).
  2. (b) Dire si \(A(1;0)\) appartient à \(\mathcal{C}\).
  3. (c) Dire si \(B(7;-2)\) appartient à \(\mathcal{C}\).
  4. (d) Trouver un point \(P\) de \(\mathcal{C}\) ayant la même ordonnée que le centre (donc \(y=-2\)).
Exercice 20 — Milieu + cercle — diamètre et angle droit (lecture)
2nde

Consigne. On considère \(A(-2;0)\), \(C(6;0)\). Soit \(\mathcal{C}\) le cercle de diamètre \([AC]\).

  1. (a) Déterminer le centre \(M\) et le rayon \(r\).
  2. (b) Écrire l’équation de \(\mathcal{C}\).
  3. (c) Dire si \(B(2;4)\) appartient à \(\mathcal{C}\).
  4. (d) Si \(B\in\mathcal{C}\), que peut-on dire de l’angle \(\widehat{ABC}\) ? (propriété du cercle de diamètre).
Exercice 21 — Point équidistant d’un point et d’une droite (sans formule avancée)
2nde

Consigne. On considère le point \(A(0;0)\) et la droite \(d: x=6\) (verticale).

  1. (a) Soit \(M(x;y)\). Exprimer la distance de \(M\) à la droite \(d\) uniquement avec \(x\).
  2. (b) Écrire la condition : « \(MA\) = distance de \(M\) à \(d\) ».
  3. (c) En déduire une équation du lieu des points \(M\) (on doit obtenir un parabole “simple”).
  4. (d) Vérifier que \(P(3;3)\) est sur ce lieu.
Exercice 22 — Trouver un point à partir d’un barycentre “milieu pondéré” (niveau +)
2nde

Consigne. On considère \(A(-2;1)\) et \(B(8;5)\). On définit \(G\) par : \[ \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}. \]

  1. (a) Montrer que cela revient à dire que \(G\) est sur \([AB]\) et divise \([AB]\) dans un rapport.
  2. (b) Trouver les coordonnées de \(G\) (sans vecteurs “avancés” : juste logique sur les coordonnées).
  3. (c) Vérifier que \(G\) est plus proche de \(B\) que de \(A\).
  4. (d) Calculer \(AG:GB\) (rapport de longueurs).
Exercice 23 — Lieu géométrique — distance fixe à un point + contrainte d’axe
2nde

Consigne. On considère \(A(2;1)\). On cherche les points \(M(x;y)\) tels que \(MA=\sqrt{10}\) et \(M\in(Oy)\).

  1. (a) Traduire \(MA=\sqrt{10}\) par une équation.
  2. (b) Traduire \(M\in(Oy)\).
  3. (c) Résoudre et donner les coordonnées des points \(M\) possibles.
  4. (d) Interpréter : combien y a-t-il de solutions et pourquoi ?
Exercice 24 — Triangle : isocèle + médiatrice — retrouver un point inconnu
2nde

Consigne. On donne \(A(-1;2)\), \(B(5;2)\). On cherche \(C(x;y)\) tel que :

  • \(CA=CB\) (triangle isocèle en \(C\)),
  • et \(y=6\) (donc \(C\) est sur la droite horizontale \(y=6\)).
  1. (a) Déterminer l’équation de la médiatrice de \([AB]\) (sans faire long).
  2. (b) En déduire l’abscisse de \(C\).
  3. (c) Donner les coordonnées de \(C\) et vérifier que \(CA=CB\) via les carrés.
  4. (d) Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
Exercice 25 — Challenge final — mix total (distances, milieu, cercle, médiatrice)
2nde

Consigne. On donne \(A(-3;1)\) et \(B(5;7)\).

  1. (a) Calculer \(AB\) (forme exacte simplifiée).
  2. (b) Calculer le milieu \(M\) de \([AB]\).
  3. (c) Déterminer l’équation de la médiatrice de \([AB]\) (forme \(ax+by+c=0\)).
  4. (d) Soit \(\mathcal{C}\) le cercle de centre \(M\) passant par \(A\). Dire si le point \(P(1;1)\) appartient à \(\mathcal{C}\).