Repérage dans le plan

Exercices — Repérage dans le plan

Niveau 2nde avancé : coordonnées, milieux, symétries, distances et configurations géométriques dans le repère.

1. Dans un repère orthonormé, on considère les points \[ A(3;2), \quad B(-1;5), \quad C(-4;-1). \]
   1. Pour chacun des points, indiquer le signe de l’abscisse et de l’ordonnée, puis préciser dans quel quadrant il se trouve.
   2. Calculer les coordonnées du milieu \(M\) du segment \([AB]\).
   3. On note \(A_x\) le symétrique de \(A\) par rapport à l’axe des abscisses. Donner les coordonnées de \(A_x\), puis celles du symétrique de \(A\) par rapport à l’axe des ordonnées.
   4. On note \(C'\) l’image de \(C\) par la symétrie de centre \(O(0;0)\). Donner les coordonnées de \(C'\) et expliquer la règle utilisée.
2. On considère le triangle \(ABC\) de sommets \[ A(1;1), \quad B(5;1), \quad C(3;4). \]
   1. Justifier que le segment \([AB]\) est horizontal.
   2. Calculer les distances \(AB\), \(AC\) et \(BC\) (on pourra laisser des racines).
   3. Montrer que le triangle \(ABC\) est isocèle.
   4. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ? Justifier à l’aide du théorème de Pythagore.
3. Dans un repère orthonormé, on considère les points \[ A(-2;1), \quad B(3;2), \quad C(5;-1). \] On cherche les coordonnées du point \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
   1. Rappeler une propriété vectorielle caractéristique d’un parallélogramme permettant de déterminer \(D\).
   2. En déduire une relation entre les coordonnées de \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).
   3. Calculer les coordonnées de \(D\).
   4. Vérifier que les milieux des diagonales \([AC]\) et \([BD]\) sont confondus.
4. On considère les points \[ A(0;0), \quad B(4;1), \quad C(5;5), \quad D(1;4). \]
   1. Calculer les distances \(AB\), \(BC\), \(CD\) et \(DA\).
   2. Calculer les longueurs des diagonales \(AC\) et \(BD\).
   3. Montrer que le quadrilatère \(ABCD\) est un rectangle (on pourra utiliser le théorème de Pythagore sur les diagonales).
   4. En déduire les coordonnées du centre du rectangle.
5. On considère un point \(M(x;y)\) dans le plan.
   1. On suppose que \(M\) appartient à l’axe des abscisses. Quelle relation existe-t-il entre \(x\) et \(y\) ?
   2. On suppose que \(M\) appartient à l’axe des ordonnées. Quelle relation existe-t-il entre \(x\) et \(y\) ?
   3. \(M\) appartient à la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par le point \(P(0;3)\). Quelle est alors l’ordonnée de \(M\) ?
   4. Même question si \(M\) appartient à la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point \(Q(-2;0)\).
6. Dans un repère orthonormé, on considère le point \(A(4;-2)\). On note :
   • \(A_x\) le symétrique de \(A\) par rapport à l’axe des abscisses ;
   • \(A_y\) le symétrique de \(A\) par rapport à l’axe des ordonnées ;
   • \(A_o\) le symétrique de \(A\) par rapport à l’origine \(O(0;0)\).
   1. Donner les coordonnées de \(A_x\), de \(A_y\) et de \(A_o\).
   2. Calculer les distances \(AA_x\), \(AA_y\) et \(AA_o\).
   3. Comparer ces trois distances et interpréter géométriquement le résultat.
7. On considère le triangle \(ABC\) de sommets \[ A(-1;1), \quad B(5;1), \quad C(2;7). \] On note \[ G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} \,;\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right). \]
   1. Calculer les coordonnées de \(G\).
   2. Vérifier que l’abscisse de \(G\) est la moyenne des abscisses des sommets et que son ordonnée est la moyenne des ordonnées.
   3. (Réflexion) Que représente géométriquement le point \(G\) dans un triangle ?
8. Dans un parc représenté par un repère orthonormé, trois bancs sont placés aux points \[ B_1(0;2), \quad B_2(6;2), \quad B_3(3;6). \]
   1. Calculer les distances \(B_1B_2\) et \(B_2B_3\) (on pourra laisser les racines carrées).
   2. Un lampadaire doit être placé au milieu du segment \([B_1B_3]\). Déterminer ses coordonnées.
   3. Un deuxième lampadaire doit être placé de sorte qu’il soit à la même distance de \(B_2\) et de \(B_3\) et que son abscisse soit \(x=6\). Quelle doit être son ordonnée ?