Repérage dans le plan

Cours — Repérage dans le plan

1. Repère du plan

On considère un plan muni d’un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\), constitué :

• d’un point \(O\) appelé origine ;
• d’un axe horizontal (axe des abscisses) ;
• d’un axe vertical (axe des ordonnées).

Lorsque les deux axes sont perpendiculaires et gradués avec la même unité, on parle de repère orthonormé.

2. Coordonnées d’un point

À chaque point \(A\) du plan, on associe un couple de nombres réels \((x_A;y_A)\) appelés coordonnées de \(A\) dans le repère :

\[ A(x_A; y_A). \]

• \(x_A\) est l’abscisse de \(A\) (mesurée sur l’axe horizontal) ;
• \(y_A\) est l’ordonnée de \(A\) (mesurée sur l’axe vertical).

Pour placer un point \(A(x_A;y_A)\) :

1. on part de l’origine \(O\) ;
2. on se déplace de \(x_A\) unités horizontalement (droite si \(x_A>0\), gauche si \(x_A<0\)) ;
3. on se déplace de \(y_A\) unités verticalement (haut si \(y_A>0\), bas si \(y_A<0\)).

Pour lire les coordonnées d’un point déjà placé, on projette le point sur les deux axes pour lire son abscisse et son ordonnée.

3. Quadrants du plan

Les axes découpent le plan en quatre régions appelées quadrants :

• Quadrant I : \(x > 0\) et \(y > 0\) ;
• Quadrant II : \(x < 0\) et \(y > 0\) ;
• Quadrant III : \(x < 0\) et \(y < 0\) ;
• Quadrant IV : \(x > 0\) et \(y < 0\).

Savoir dans quel quadrant se trouve un point permet de vérifier rapidement si le signe de ses coordonnées est cohérent.

4. Distances simples dans le repère

Dans un repère orthonormé, on peut calculer les longueurs de segments horizontaux ou verticaux de manière très simple.

• Segment horizontal : deux points \(A(x_A;y)\) et \(B(x_B;y)\) ont la même ordonnée. Alors \[ AB = |x_B - x_A|. \]
• Segment vertical : deux points \(A(x;y_A)\) et \(B(x;y_B)\) ont la même abscisse. Alors \[ AB = |y_B - y_A|. \]

Pour un segment oblique, on peut construire un triangle rectangle et utiliser le théorème de Pythagore si besoin.

5. Milieu d’un segment

Soient deux points \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\). Le milieu \(M\) du segment \([AB]\) a pour coordonnées :

\[ M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \,;\, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right). \]

On calcule donc le milieu en faisant la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des extrémités.

6. Points particuliers et symétries

• Si \(x = 0\), le point appartient à l’axe des ordonnées.
• Si \(y = 0\), le point appartient à l’axe des abscisses.
• Le point \(O(0;0)\) appartient aux deux axes.

Symétries usuelles :

• symétrie par rapport à l’axe des abscisses : \((x;y) \mapsto (x;-y)\) ;
• symétrie par rapport à l’axe des ordonnées : \((x;y) \mapsto (-x;y)\) ;
• symétrie de centre \(O\) : \((x;y) \mapsto (-x;-y)\).

7. À retenir

• Notation d’un point : \(A(x_A;y_A)\).
• Quadrants : déterminés par le signe de \(x_A\) et de \(y_A\).
• Segments horizontaux / verticaux : distances données par une valeur absolue sur une seule coordonnée.
• Milieu : moyenne des coordonnées des extrémités.
• Symétries simples : changement de signe de l’abscisse et/ou de l’ordonnée.